勾股定理知识点归纳梳理

勾股定理知识点归纳梳理 1勾股定理知识点梳理1.直角三角型有哪些特殊的性质;角，直角三角型的两锐角互余；边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示在RtC ABC中，c b a222?；面积，两种计算面积的方法。 2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？有一个内角为直角的三角形是直角三角形；两个内角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长为a a、b b、c c满足c b a222?，那么这个三角形是直角三角形3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a bc?中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17；9,40,41等6.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下方法一4EFGHS SS?正方形正方形ABCD，2214()2ab ba c?，化简可证方法二四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积cbaHGFEDCB Abacbaabcab2四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S abc abc?大正方形面积为222()2S a baab b?所以222abc?方法三1()()2S abab?梯形，2112S222ADE ABESS abc?梯形，化简得证一典型例题类型一勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6，c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?类型二勾股定理的构造应用 2、如图，已知在中，.求BC的长.举一反三【变式1】如图，已知，于P.求证.abbaEDC BA3【变式2】已知如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。 求四边形ABCD的面积。 类型三勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线4举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程（三）类型四利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题猫有四只脚（正确）2原命题对顶角相等（正确）3原命题线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）54原命题角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 经典例题精析类型一勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是34，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 6【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 类型二勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？7举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。 他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 类型三数学思想方法（一）转