高考数学复习不等式推理与证明第33讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题优选学案.docx

第33讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲要求考情分析命题趋势1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2017全国卷，72017全国卷，72017全国卷，52017天津卷，16对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划知识解决实际问题.分值：5分1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)_不包括_边界直线，把边界直线画成虚线；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)_包括_边界直线，把边界直线画成实线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足AxByC0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足_AxByC0表示的平面区域在直线2xy20的下方(2)错误当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域(3)正确当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解有无穷多个(4)错误目标函数zaxby(b0)中，是直线axbyz0在y轴上的截距2点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则(B)Aa7或a24B7a24Ca7或a24D以上都不对解析点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，说明将这两点坐标代入3x2ya后，符号相反，所以(92a)(1212a)0，解得7a1.一二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为(A)ABCD(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(B)A3B1CD3解析(1)两直线方程分别为x2y20与xy10.由点(0,0)在直线x2y20右下方，可知表示的区域为x2y20，由点(0,0)在直线xy10左下方，可知表示的区域为xy10，即为所表示的可行域故选A(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)二线性目标函数的最值问题(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数(3)利用可行域及最优解求参数及其范围利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围【例2】 (1)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为(B)A4B6C10D17(2)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(D)A或1B2或C2或1D2或1解析(1)由线性约束条件画出可行域(如图(1)中阴影部分)当直线2x5yz0过点A(3,0)时，zmin23506.故选B 图(1)图(2)(2)作出可行域(如图(2)所示的ABC及其内部)由题设zyax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时，对应的直线与可行域某一边界重合又kAB1，kAC2，kBC，a1或a2或a，验证：a1或a2时，满足题意；a时，不满足题意故选D三非线性目标函数的最值问题非线性目标函数常见类型的几何意义(1)(xa)2(yb)2为点(x，y)与点(a，b)距离的平方(2)为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)|AxByC|是点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍【例3】 (1)(2018山东德州期中)已知实数x，y满足则的取值范围是(C)AB1,5CD0,5(2)(2018江西宜春樟树中学月考)若实数x，y满足不等式组则x2y2的最小值为_5_.(3)已知实数x，y满足则z|x2y6|的最大值与最小值之差为_5_.解析(1)由约束条件作出可行域如图所示可得A(3,0)，B(0,4)，的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点P(1，1)连线的斜率kPA，kPB5，的取值范围为.故选C(2)先根据约束条件画出可行域，如图zx2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，由图知，当在点A(1,2)时，z的最小值为12225.(3)画出满足条件的可行域，如图所示，因为z|x2y6|表示可行域内点P(x，y)到直线x2y60的距离的 倍，由图象知点A到直线x2y60的距离最小，点B到直线x2y60的距离最大，且点A，点B(2，1)，所以zmin1，zmax6，所以zmaxzmin5.四线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤第一步：分析题意，设出未知量；第二步：列出线性约束条件和目标函数；第三步：作出可行域并利用数形结合求解；第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的方案【例4】 (2016天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解析(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20,24)所以zmax220324112.故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元1(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是(A)A15B9C1D9解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2xy0(图略)，平移直线y2x，当直线经过点(6，3)时，其在x轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最小值zmin2(6)(3)15.故选A2若实数x，y满足不等式组目标函数tx2y的最大值为2，则实数a的值是(D)A2B0C1D2解析可行域为ABC及其内部，如图所示由图可知，当目标函数tx2y过点A时有最大值，由直线x2y2与直线x20的交点坐标为(2,0)，代入直线x2ya0，得a2.故选D3已知实数x，y满足则k的最大值为(C)ABC1D解析如图，不等式组表示的平面区域为AOB的边界及其内部区域，k表示点(x，y)和(1,0)的连线的斜率由图知，点(0,1)和点(1,0)连线的斜率最大，所以kmax1.故选C4(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_216_000_元解析设生产产品A x件，生产产品B y件，利润之和为z元，则z2 100x900y.根据题意得即作出可行域(如图中阴影部分所示)由得当直线2 100x900yz0过点M(60,100)时，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000.故所求的最大值为216 000元易错点不能准确确定最优解的位置错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系【例1】 已知约束条件目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为_.解析 画出可行域，如图中阴影部分所示由zaxby，得yx.0，一定是过点A时z取最大值由得A(4,6)，zmax4a6b12，1.2.的最小值为.答案【跟踪训练1】 设变量x，y满足约束条件若目标函数zxky(k0)的最小值为13，则实数k(C)A7B5或13C5或D13解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示由图和题意可知zxky(k0)过点A或B时取得最小值，所以k13或k13，解得k5或.课时达标第33讲解密考纲主要考查利用线性规划求目标函数的最值或解决实际应用问题，以选择题或填空题的形式出现一、选择题1若x，y满足则x2y的最大值为(D)A1B3C5D9解析作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示(三角形ABC及其内部)，三个顶点分别为A(1,1)，B(3，1)，C(3,3)，平移直线x2y0，易知当直线过点C(3,3)时，x2y取得最大值，即(x2y)max3239.2设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是(A)ABC1,6D解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由图可知，当直线z3xy过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值.故选A3设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y2的取值范围为(C)A2,8B4,13C2,13D解析作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，过点O作OA垂直直线xy2，垂足为A，设直线xy1与y2交于点B，从而可得zmin|OA|222，zmax|OB|2322213.故z2,134若实数x，y满足且zyx的最小值为2，则k的值为(B)A1B1C2D2解析将选项中的k值分别代入约束条件中，则当k1或k2时，目标函数zyx无最小值；当k2时，直线yxz过点(0,2)时有zmin2；当k1时，直线yxz过点(2,0)时有zmin2.故选B5设实数x，y满足则z的取值范围是(A)ABCD解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示解方程组得可行域的顶点分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)由于表示可行域内的点(x，y)与原点(0,0)的连线的斜率，则kOA，kOB2，kOC，所以.故选A6若关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(A)A3B6C5D4解析先作出不等式组对应的区域，如图因为直线axy10过定点(0,1)，且不等式axy10表示的区域在直线axy10的右下方，所以ABC为不等式组对应的平面区域因为A到直线BC的距离为1，所以SABC1BC2，所以BC4.当x1时，yC1a，所以yC1a4，解得a3.二、填空题7设实数x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最大值为！_25_#.解析由zx2y，得yx，作出不等式组表示的平面区域，如图所示平移直线yx，由图象可知，当直线yx经过点F时，直线yx在y轴上的截距最大，此时z最大由解得即F(7,9)，代入zx2y，得zmax72925.8若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则z2xy的最小值为！_4_#.解析曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图由z2xy，得y2xz.当直线y2xz经过点(1,2)时，直线在y轴上的截距最大，此时z的值最小，故zmin2(1)24，即2xy的最小值为4.9已知a0，实数x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a的值为！_#.解析由题意得直线ya(x3)过x1与2xy1的交点(1，1)，因此a的值为.三、解答题10画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解析(1)不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)11设x，y满足条件(1)求ux2y2的最大值与最小值；(2)求v的最大值与最小值；(3)求z|2xy4|的最大值与最小值解析画出满足条件的可行域，如图所示(1)x2y2u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图象可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小又C(3,8)，所以umax73，umin0.(2)v表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图象可知，kBD最大，kCD最小又因为C(3,8)，B(3，3)，所以vmax，vm