（试题 试卷 真题）A15 专题十五 数形结合

专题十三 数形结合的思想【考点聚焦】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。【自我检测】1 方程sin(x)=x的实数解的个数是( B )A 2 B 3 C 4 D 52. （2005福建）设的最小值是（ C ）ABC3D3 已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的两根（，则实数a、b、的大小关系为( )A ab B abC ab D ab4. ( 2006年湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( B )A. B. C. D.【重点难点热点】问题1 利用函数的图象、方程的图形数形结合例1在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0x1x21时，使f（）恒成立的函数的个数是 （ B ）A0 B1 C2 D3【解析】 用图像法，只有上凸函数才满足题意，即只有y=log2x才满足上式，故选B例2 已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）（1）求函数f（x）的表达式；（2）证明：当a3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解【分析】 用数形结合思想求f（x）f（a）=0解的个数【解】 （1）由已知，设f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1f1（x）=x2设f2（x）=（k0），则其图象与直线y=x的交点分别为A（k，k），B（k，k），由|AB|=8，得k=8，f2（x）=，故f（x）=x2+（2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+，即=x2+a2+在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=x2+a2+的大致图象（如图所示），其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解又f2（2）=4，f3（2）=4+a2+，当a3时，f3（2）f2（2）=a2+80，当a3时，在f3（x）第一象限的图象上存在一点（2，f3（2）在f2（x）图象的上方f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解故方程f（x）=f（a）有三个实数解【评析】 用数形结合思想，可把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题演变1：函数f（x）=sinx+2|sinx|，x0,2的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围 。(1k时，|x+1|x2|，当x时，|x+1|0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.21解：四边形是，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（）当时，双曲线为，设P，则，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。【挑战自我】(2006辽宁理)已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a0,d0.设1-上，处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值【解析】(I)解: 令,得当时, ;当时, 所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II) 的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2: 又c0知在上的最大值为即: 又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a