1.1.1命题

丽水市2018-2019学年第二学期期末教学质量监控高二数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：记直线的倾斜角为，故选B.考点：直线的倾斜角.2.圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】C【解析】【分析】据题意可知两个圆的圆心分别为，；半径分别为1和4；圆心距离为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系.【详解】设两个圆的半径分别为和，因为圆的方程为与圆 所以圆心坐标为，圆心距离为5，由，可知两圆外切，故选C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.3.“”是“方程表示双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】若方程表示双曲线，则有，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】因为方程表示双曲线等价于，所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A. 球B. 三棱锥C. 正方体D. 圆柱【答案】D【解析】【详解】试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图【此处有视频，请去附件查看】5.如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连结，可证明是平行四边形，则，故的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.【详解】连结，由题得 ，故是平行四边形，则的余弦值即为所求，由，可得，故有，解得，故选D.【点睛】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.6.若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆必过一个定点，该定点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直线为准线，圆心在该抛物线上，且与直线相切，则圆心到准线的距离即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点.【详解】由题得，圆心在上，它到直线的距离为圆的半径，为的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点，故选A.【点睛】本题考查抛物线的定义，属于基础题.7.某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先用捆绑法将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；将这个整体与英语，物理全排列，分析排好后的空位数目，再在空位中安排数学，最后由分步计数原理计算可得.【详解】由题得语文和化学相邻有种顺序；将语文和化学看成整体与英语物理全排列有种顺序，排好后有4个空位，数学不在第一节有3个空位可选，则不同的排课法的种数是，故选B.【点睛】本题考查分步计数原理，属于典型题.8.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若， 则D. 若， 则【答案】C【解析】【分析】通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.【详解】如图，相交，故A错误如图，相交，故B错误D.如图，相交，故D错误故选C.【点睛】本题考查直线和平面之间的位置关系，属于基础题.9.已知，用数学归纳法证明时假设当时命题成立，证明当时命题也成立，需要用到的与之间的关系式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】分别根据已知列出和，即可得两者之间的关系式.【详解】由题得，当时，当时，则有，故选C.【点睛】本题考查数学归纳法的步骤表示，属于基础题.10.如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. ，是的极大值点B. ，是的极小值点C. ，不是的极值点D. ，是是极值点【答案】B【解析】【分析】由图判断函数的单调性，结合为在点P处的切线方程，则有，由此可判断极值情况.【详解】由题得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，则有是的极小值点，故选B.【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.11.已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线，的斜率分别为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. )【答案】B【解析】【分析】因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来. 做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.【详解】因为椭圆的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有因为的取值范围是全体实数集， 所以或，即的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.12.如图，在矩形中，在线段上，且，将沿翻折在翻折过程中，记二面角的平面角为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】做辅助线，构造并找到二面角所对应的平面角，根据已知可得，进而求得其最大值.【详解】在平面图中过A作DM的垂线并延长，交于,交于.在翻折过程中A点在平面BCD上的投影的轨迹就是平面图中的AE.设翻折的角度为，在平面BCD投影为，过作于F，则即为二面角所对的平面角.然后有，.故=，求导得,设，当时， ，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以即时，有最大值，此时=,故选A.【点睛】本题的解题关键在于找到二面角的平面角,并且用了求导数的方法求最大值，有一定的难度.二、填空题：本题共7小题，其中1315题每小题6分，1619题每小题4分，共34分13.已知向量，若，则_,若,则_【答案】 (1). 2 (2). ，3【解析】【分析】若，则坐标的关系有，代入即得；直接计算可得.【详解】因为，且，所以，解得；又因为所以，解得.【点睛】本题考查空间向量运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础.14.已知复数 (是虚数单位)，则_，_【答案】 (1). ， (2). 【解析】【分析】求复数的模，计算，由可化简得值.【详解】由题得，.【点睛】本题考查复数的模和代数形式的乘法运算，属于基础题.15.若 ，则_【答案】 (1). 1 (2). ,-1【解析】【分析】观察，令可得；由可得，代入可得其值.【详解】因为 所以，可得，可得，.【点睛】此类题不要急于计算，仔细观察题中等式的特点，对x进行取值是解题关键.16.若一个三位自然数的十位上的数字最大，则称该数为“凸数”（如，）.由组成没有重复数字的三位数，其中凸数的个数为_个【答案】8【解析】【分析】根据“凸数”的特点，中间的数字只能是3,4，故分两类，第一类，当中间数字为“3”时，第二类，当中间数字为“4”时，根据分类计数原理即可解决.【详解】当中间数字为“3”时，此时有两个（132,231），当中间数字为“4”时，从123中任取两个放在4的两边，有种，则凸数的个数为个.【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题.17.已知奇函数且，为的导函数，当时，且，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件可知，当时，根据单调性可得时，则有；当时，同理进行讨论可得.【详解】由题构造函数，求导得，当时，,所以在上递增，因为，所以，则有时，那么此时； 时，那么此时；当时，为奇函数，则是偶函数，根据对称性，时，又因，故当时，；综上的解集为.【点睛】本题考查求不等式解集，运用了构造新函数的方法，根据讨论新函数的单调性求原函数的解集，有一定难度.18.如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.【详解】由题得，取中点H，中点G，连结，GH，平面，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，则为最小值.【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.19.已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，若为定值，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设，求出M，N的坐标，得出关于的式子，根据P在椭圆上得到的关系，进而求出离心率.【详解】设，则直线PM的方程为，直线PN的方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则，.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.三、解答题：本大题共4小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤20.已知圆（）若，求圆的圆心坐标及半径；（）若直线与圆交于，两点，且，求实数值【答案】()，圆心坐标为，半径为；()【解析】【分析】()将m=1代入圆C的方程，化为标准方程的形式，即可得到圆心坐标和半径；()将圆C化为标准方程，圆心到直线l的距离为，圆的半径已知，则有，解方程即得m。【详解】()当时，化简得，所以圆心坐标为，半径为。()圆:，设圆心到直线的距离为,则因为,所以即,所以所以【点睛】本题考查含有参数的圆的方程，属于基础题。21.如图，三棱柱中，平面平面，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】()见解析；()【解析】【分析】()如图做辅助线，D为AB中点，连，由是等边三角形可知，且，则是等边三角形，故平面，平面，那么得证。()建立空间直角坐标系以D为原点，先根据已知求平面的一个法向量，再求向量，设直线与平面所成的角为，则，计算即得.【详解】()取中点，连,因为，所以,所以平面因为平面所以 .()以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得, ,设平面的一个法向量为则，而.所以.又，设直线与平面所成的角,则 【点睛】本题考查两条直线的位置关系和立体几何中的向量方法，是常见考题.22.如图，已知三点，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限）， 直线过抛物线的焦点.（）若的重心为，求直线的方程；（）设，的面积分别为，求的最小值【答案】() ；()【解析】【分析】()设A,P,Q三点的坐标，将重心表示出来，且A,P,Q在抛物线上，可解得A,P两点坐标，进而求得直线AP；()设直线PQ和直线AP，进而用横坐标表示出，讨论求得最小值。【详解】()设,则，所以，所以，所以()设由得所以即又设 由得，所以所以所以即过定点所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.23.已知函数（）当时，求在上的零点个数；（）当时，若有两个零点，求证： 【答案】()有一个零点； ()见解析【解析】【分析】()对函数求导，将代入函数，根据函数在单调性讨论它的零点个数。()根据函数单调性构