（试题 试卷 真题）2015年高考数学文真题分类汇编：专题03 导数

专题三 导数1.【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，构造函数，则故在单调递增，故，则； 当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件，选B【考点定位】导数的应用【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题2.【2015高考湖南，文8】设函数，则是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数，函数的定义域为（-1，1），函数所以函数是奇函数 ，在（0,1）上 ，所以在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）年月日年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）A升 B升 C升 D升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题解题时一定要抓住重要字眼“每千米”和“平均”，否则很容易出现错误解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题4.【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【解析】试题分析：，即切线斜率，又，切点为（1，），切线过（2,7），解得1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.5.【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 【答案】3【解析】因为 ,所以.【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出由,再由可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.6.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处导函数值等于切线斜率.7.【2015高考安徽，文21】已知函数（）求的定义域，并讨论的单调性；（）若，求在内的极值.【答案】（）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-，-r）和（r，+）；（）极大值为100；无极小值.【解析】（）由题意可知 所求的定义域为.，所以当或时，当时， 因此，单调递减区间为；的单调递增区间为.（）由（）的解答可知 在上单调递增，在上单调递减.因此是的极大值点，所以在内的极大值为，内无极小值；综上，内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求和时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II）证明详见解析.由解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题利用导数求函数的单调性与极值的步骤：确定函数的定义域；对求导；求方程的所有实数根；列表格证明函数仅有一个零点的步骤：用零点存在性定理证明函数零点的存在性；用函数的单调性证明函数零点的唯一性9.【2015高考福建，文22】已知函数()求函数的单调递增区间；（）证明：当时，；（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有【答案】() ；（）详见解析；（）【解析】（I），由得解得故的单调递增区间是（II）令，则有当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（III）由（II）知，当时，不存在满足题意当时，对于，有，则，从而不存在满足题意当时，令，则有由得，解得，当时，故在内单调递增从而当时，即，综上，的取值范围是【考点定位】导数的综合应用【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点【解析】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数试题解析：（1），因为，所以，当时，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，所以与在无交点.当时，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.(ii)当时，当时， ，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图象不难得当时，与有两个交点. 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间，去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值判断函数的单调性的方法：基本初等函数的单调性；导数法判断函数零点的个数的方法：解方程法；图象法11.【2015高考湖北，文21】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中e为自然对数的底数. （）求，的解析式，并证明：当时，；（）设，证明：当时，.【答案】（），.证明：当时，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 当时，等价于 等价于 于是设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立.综合，得 .【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.12.【2015高考山东，文20】设函数fx=x+alnx，g(x)=x2ex. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.（）求的值；（）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.【答案】（I） ；(II) ；(III) .【解析】（I）由题意知，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，所以，又所以.（II）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.又所以存在，使.因为所以当时，当时，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，时，所以.当时，若若由可知故当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且.综上可得函数的最大值为.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程在内存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得到的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.13.【2015高考四川，文21】已知函数f(x)2lnxx22axa2，其中a0.()设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；()证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.【解析】()由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增()由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx则(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)当aa0时，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f (x)在区间(1，)上单调递增当x(1，x0)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0当x(x0，)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)时，f(x)0综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第()问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第()问需要证明的是：对于某个a(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，)上有且只有一个最小值点.属于难题.14.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数（I）求的单调区间;（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;（II）见试题解析;（III）见试题解析.【解析】（I）由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;（II）, ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有;（III）设方程 的根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以 .设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以 .试题解析:（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.（II）设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,所以当时,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.（III）由（II）知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即 .设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以 .【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.15.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析【解析】试题分析：（I）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II）由（I）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（I）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.16.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.试题解析：(1)当时，故其对称轴为.当时，.当时