解三角形专题复习.doc

解 三 角 形知识点梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形： ， ， = （二）余弦定理：=（求边），cosB=（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：； ；（其中，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：，特别地，（五）ABC射影定理：，（六）三角边角关系：（1）在中，； ； （2）边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）大边对大角：（七）三角形形状判别 形状 锐角 钝角 直角 等腰 等腰Rt 等边（1）角判别： （2）边判别： 少用 少用 考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在ABC中，已知,且=2, ,求的长.例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值变式1、在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值变式2、在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值变式3、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值； （II）若，求的值。 （二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？变式4、ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。例4、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小； （2）求ABC的面积变式5、已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积例5、（2009浙江）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值变式6、已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的取值范围.（三）考查三角形形状的判断例6、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1） 判断ABC的形状；（2） 求ABC的面积。变式7、在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。例7、在ABC中，已知，试判断ABC的形状。变式8、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形变式9、ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断ABC的形状。（四）考查应用：求角度、求距离、求高度例8、在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.变式11、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔脚在一直线上的三点、，测得塔的仰角分别是，求求的大小及塔的高。变式12、如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得， ，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）例9、某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距的、两地（假设、在同一平面上），测得，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是、距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 例10、在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？变式13、某船在海面处测得灯塔与相距海里，且在北偏东的方向；测得灯塔与相距海里，且在北偏西的方向，船由向正北方向航行到处，再看灯塔在南偏西的方向，灯塔与相距多少海里？在的什么方向？课后强化 1在ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( ). 2ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）（，）（，）（，） （，）3在ABC中，A为锐角，lgb+lg()=lgsinA=lg, 则ABC为（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形4在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） 5、在ABC中，已知则角（） 6、的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 8如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定9已知ABC中，（）成立的条件是（） 且 或10、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟11已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为、（）则A点离地面的高AB等于（ ）A B CD 12、已知中，则（ ） A. B C D 或13在中，的平分线把三角形面积分成两部分，则A B C D 14、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形15. 在ABC中，AB5，BC7，AC8，则的值为( )A79B69 C5D-516、如果，那么ABC是 17已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范围是_18、（2009湖南）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 19如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq= . 20、在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2c2），则C的度数是_21在ABC中，若，面积ABC，求的值22在ABC中，分别为内角，的对边，若,求的值23、在锐角三角形ABC中，A=2B，、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。24、在ABC中，求sinB的值。25、在,（1）求 (2)若点26已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根,角A、B满足，求角C、边c及ABC。27在中，已知内角，边.设内角,周长为.(1) 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值北乙甲28、如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？29、的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。30. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？31、在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积33、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, ABC的外接圆半径R=，且满足.(1) 求角B和边b的大小；(2) 求ABC的面积的最大值。34、（2005湖北）已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.35、已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，外接圆半径为.（1）求C；（2）求ABC面积的最大值.36、在ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且tanA+tanB=tanAtanB，又ABC的面积为SABC=，求a+b的值。详细解析例1、解：由正弦定理，得 又由余弦定理，得 入，得例2、【解】由于为正三角形的中心，设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值变式1、解（）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 变式2、解：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且，设BE=x在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，变式3、解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 例3、解：设，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=SAOB+ SABC 因为，所以当，即时，四边形OACB面积最大变式4、解由余弦定理,得 02当时，max =例4、解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC变式5、解：如图，连结，则四边形面积ABD+BCD=A+C=1800 sin= sin C=16 sin由余弦定理,知在ABC中，在CDB中,又120016sin例5、解 （1）因为，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得， 变式6、解：（1）由得由余弦定理得 (2) = 即.例6、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又ABC最小角的正弦值为，RtABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为SABC=16变式7、解：（1）由 可得 即C90 ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是例7、解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。变式8、变式8、解析：cos2，cosB，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B例8、解：C、关于点B对称，设云高CE = x 则CD = x - h，CD = x + h，在RtACD中， 在RtACD中，, 解得 .变式9、解：由正弦定理得：，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，ABC为等边三角形。变式11、解法一：由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4，= 。 因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m例9、解：在中，由已知可得，所以，在中，由已知可得，由正弦定理，在中，由余弦定理 所以， 施工单位应该准备电线长 .答：施工单位应该准备电线长 . 变式12、解：在ABD中，设BD=x，则， 即整理得： 解之： ，（舍去）， 由正弦定理，得： , 11(km). 答：两景点与的距离约为11.km. 例10、解 (1)在RtPAB中，APB=60 PA=1 AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，AC= (千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30 在ACD中，据正弦定理得答 此时船距岛A为千米 变式13、，南偏东1、A 2、B 3、D 4、D 5、C6、解：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。8、答案：A 解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，abc新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形9、D 10、A 11、A 12、C13、解析： 的平分线把三角形面积分成两部分, , 14、解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，矛盾.所以是钝角三角形。故