复件复件自然数与数学归纳法改讲解材料

复件复件自然数与数学归纳法改讲解材料 自然数集自然数的基数理论论自然数的序数理论论自然数的概念自然数的顺序关系自然数的运算自然数的公理化系统自然数的运算自然数的顺序关系自然数与数学归纳法自然数集的性质扩大的自然数集性质11?问题假设在教室与操场之间立摆着一列砖块，我们当然可以动手一块一块地把它们全部推倒.现在只容许动手推倒一块砖的前提下，为了保证外面的砖块都倒下下,砖应怎样摆放？应该动手推倒哪一块？因为0n是是使使()f n不成立的最小数，?只动手推倒一块砖的前提下时，砖块应按“前砖碰倒后砖”的规律来摆放。 这时只需推倒第一块。 2自然数集?自然数与数学归纳法第二数学归纳法第一数学归纳法证明令()M nf n?是真命题，n N?，则M N?，且由条件 （1）、 （2）知1M?，若k M?，则k M?.据归纳公理知M N?最小数原理最小数原理N?的任何一个非空子集必有最小数。 书（书3435页）证明用反证法。 设非空集合A N?，但A没有最小数。 令所有小于A中任何一个数的自然数组成的集合为M。 第一数学归纳法设设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1） (1)f成立；（ （2）假设()f k (1)k?成立，则可推出()f k?也成立那么，()f n对一切自然数都成立。 事实上，如果m M?，则存在1a A?，使得1a m?。 又因A中没有最小数，故存在2a A?，使得21a a m?，于是2am?，与m M?矛盾。 所以M N?。 由于A非空，至少有一个自然数0a A?，可知00()a a?不在M中，所以M N?矛盾，所以集A有最小数（归纳公理）第二数学归纳法4由 （2）知0()f n矛盾。 也成立，即0n M?，6,7,8n?假设符合上述条件的 （1）、 （2）的()f n对某些自然数并不成立，故对于小于0n的一切自然数()f n都成立，这样,0c b?,c B?,6n?NoImage四个命题等价性的简要说明关于自然数集的四个命题?归纳公理?第一数学归纳法?最小数原理?第二数学归纳法实质上这四个命题是彼此等价的。 由最小数原理推出归纳公理设M N?，且（ （1）1M?；（ （2）若若a M?，则则a M?，则M N?证明于是B中有最小数0b,且且01b?,故存在自然数c,使使0bc?.第一数学归纳法设设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1） (1)f成立；因为1是自然数集N?的最小数，而A没有最小数，所以1A?，这说明1M?。 （ （2）假设()f k成立，则可推出()f k?也成立由 （2）知0c bM?,设M N?，且 （1）1M?； （2）若a M?，则a M?，但但M N?第一数学归纳法第二数学归纳法第二数学归纳法设设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1） (1)f成立；（ （2）假设()f n对所有小于 (1)k k?的自然数m都成立，则可推出()f k也成立那么，()f n对一切自然数都成立。 设假设m M?，现在以可以明证明m M?。 ?问题?两种基本形式的数学归纳法有哪些变形形式？证明 （1）奠基当当6n?，7，8时可按图示方式分割，命题显然成立。 （ （2）归纳假设6n k?已经分割成功，那么只要再将其中一个小正方形一分为4，即得3n k?个正方形。 所以，对于所有自然数6n?，命题显然成立。 第一数学归纳法形变形1设设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1）()f a成立；（ （2）假设()f k()k a?成立，则可推出()f k?也成立那么，()f n对一切大于或等于a的自然数n都成立你你能能给出数学归纳法的的变形形式吗吗？?问题第一数学归纳法设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1） (1)f成立；（ （2）假设()f k成立，则可推出()f k?也成立那么，()f n对一切自然数都成立。 5第一数学归纳法变形设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1）()f a， (1)f a?，?， (1)f al?成立；（ （2）假设()f k()k a?成立，则可推出()f kl?也成立。 那么，()f n对一切大于或等于a的自然数都成立。 例题求证用面值3分和5分的邮票可支付任何 (8)n n?分。 证明用第一数学归纳法（ （1）奠基当当8n?，9，10时命题显然成立。 这是因为835?，9333?，1055?。 （ （2）归纳假设当n k?(,8)k Nk?时命题成立。 这时对于3n k?，因为k可表示为若干个3和5的和（由假设得知），所以当3n k?时也能表示为若干个3和5的和。 故对一切n大于或等于8的自然数原命题成立。 用第一数学归纳法(变形)证明用第一数学归纳法（ （1）奠基当当8n?，9，10时命题显然成立。 这是因为835?，9333?，1055?。 （ （2）归纳假设当n k?(,8)k Nk?时命题成立。 这时对于3n k?，因为k可表示为若干个3和5的和（由假设得知），所以当3n k?时也能表示为若干个3和5的和。 故对一切n大于或等于8的自然数原命题成立。 形变形2设设()f n是一个与自然数有关的命题，如果（ （1） (1)f， (2)f，?，()f l成立；（ （2）假设()f k成立，则可推出()f kl?也成立那么，()f n对一切自然数都成立。 练习试证任一正方形可以分割成任意个数多于个的正方形。 55设设n为不小于为不小于3的正整数，证明可以将一个的正整数，证明可以将一个等等边边三角形分割成三角形分割成n个等腰三角形个等腰三角形分析?把一个正方形分割成个正方形，这是不难办到的，只要分别连接它的两组对边的中点就可以了，因此，在归纳步骤中，由成立去推证成立比较容易。 出于这样的考虑，在奠基步骤中宜证明三种情形。 显然显然B非空非空.3k?因而M有最小数0n，01n?.7n?8n?试证任一正方形可以分割成任意个数多于个的正方形。 设设n为不小于为不小于3的正整数，证明可以将一个的正整数，证明可以将一个等等边边三角形分割成三角形分割成n个等腰三角形个等腰三角形55与与0b B?矛盾,所以M N?.挑战练习55扩大的自然数集因为空集是任何非空集合的真子集，所以任何自然数都大于关于加法和乘法运算，规定00a a a?000a a?关于减法和除法运算，仍按加法和乘法的逆运算来定义，有0a a?，0aa?，000