中考数学真题分类汇编第二期专题23直角三角形与勾股定理试题含解析.doc

直角三角形与勾股定理 一.选择题1.（2018江苏淮安3分）如图、菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6和8、则这个菱形的周长是（）A20B24C40D48【分析】由菱形对角线的性质、相互垂直平分即可得出菱形的边长、菱形四边相等即可得出周长【解答】解：由菱形对角线性质知、AO=AC=3、BO=BD=4、且AOBO、则AB=5、故这个菱形的周长L=4AB=20故选：A【点评】本题考查了菱形面积的计算、考查了勾股定理在直角三角形中的运用、考查了菱形各边长相等的性质、本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键、难度一般2.（2018山东东营市3分）如图所示、圆柱的高AB=3、底面直径BC=3、现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食、则它爬行的最短距离是（）ABCD【分析】要求最短路径、首先要把圆柱的侧面展开、利用两点之间线段最短、然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圆柱侧面展开、展开图如右图所示、点A.C的最短距离为线段AC的长在RtADC中、ADC=90、CD=AB=3、AD为底面半圆弧长、AD=1.5、所以AC=、故选：C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题、解题的关键是会将圆柱的侧面展开、并利用勾股定理解答3.(2018湖州3分）如图、已知在ABC中、BAC90、点D为BC的中点、点E在AC上、将CDE沿DE折叠、使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处、连结AD、则下列结论不一定正确的是（）A. AE=EF B. AB=2DEC. ADF和ADE的面积相等 D. ADE和FDE的面积相等【答案】C【解析】分析：先判断出BFC是直角三角形、再利用三角形的外角判断出A正确、进而判断出AE=CE、得出CE是ABC的中位线判断出B正确、利用等式的性质判断出D正确详解：如图、连接CF、点D是BC中点、BD=CD、由折叠知、ACB=DFE、CD=DF、BD=CD=DF、BFC是直角三角形、BFC=90、B=BFD、EAF=B+ACB=BFD+DFE=AFE、AE=EF、故A正确、由折叠知、EF=CE、AE=CE、BD=CD、DE是ABC的中位线、AB=2DE、故B正确、BD=DF、AE=CE、SADE=SCDE、由折叠知、CDEFDE、SCDE=SFDE、SADE=SFDE、故D正确、C选项不正确、故选：C点睛：此题主要考查了折叠的性质、直角三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、作出辅助线是解本题的关键4. （2018广西北海3分）如图、矩形纸片 ABCD、AB4、BC3、点 P 在 BC 边上、将CDP 沿 DP 折叠、点 C落在点 E 处、PE.DE 分别交 AB 于点 O、F、且 OPOF、则 cosADF 的值为11131517A.B.C.D.13151719【答案】C【考点】折叠问题：勾股定理列方程、解三角形、三角函数值【解析】由题意得：RtDCPRtDEP、所以 DCDE4、CPEP在 RtOEF 和 RtOBP 中、EOFBOP、BE、OPOFRtOEFRtOBP(AAS)、所以 OEOB、EFBP设 EF 为 x、则 BPx、DFDEEF4x、又因为 BFOFOBOPOEPEPC、PCBCBP3x30 / 30所以、AFABBF4(3x)1x在 RtDAF 中、AF2AD2DF2、也就是(1x)232(4x)233317解之得、x5、所以 EF5、DF45 5AD15最终,在 RtDAF 中、cosADFDF17【点评】本题由题意可知、RtDCPRtDEP 并推理出 RtOEFRtOBP、寻找出合适的线段设未知数、运用勾股定理列方程求解、并代入求解出所求cos 值即可得。5（2018年湖南省娄底市）如图、由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169、小正方形的面积为49、则sincos=（）ABCD【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长、再利用勾股定理列式求出AC、然后根据正弦和余弦的定义即可求sin和cos的值、进而可求出sincos的值【解答】解：小正方形面积为49、大正方形面积为169、小正方形的边长是7、大正方形的边长是13、在RtABC中、AC2+BC2=AB2、即AC2+（7+AC）2=132、整理得、AC2+7AC60=0、解得AC=5、AC=12（舍去）、BC=12、sin=、cos=、sincos=、故选：D【点评】本题考查了勾股定理的证明、锐角三角形函数的定义、利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键6. （2018湖南长沙3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块、有三斜、其中小斜五里、中斜十二里、大斜十三里、欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田、三条边长分别为5里、12里、13里、问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位、1里=500米、则该沙田的面积为（）A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案【解答】解：52+122=132、三条边长分别为5里、12里、13里、构成了直角三角形、这块沙田面积为：550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）故选：A【点评】此题主要考查了勾股定理的应用、正确得出三角形的形状是解题关键二.填空题1. （2018湖北襄阳3分）已知CD是ABC的边AB上的高、若CD=、AD=1、AB=2AC、则BC的长为2或2【分析】分两种情况：当ABC是锐角三角形、如图1、当ABC是钝角三角形、如图2、分别根据勾股定理计算AC和BC即可【解答】解：分两种情况：当ABC是锐角三角形、如图1、CDAB、CDA=90、CD=、AD=1、AC=2、AB=2AC、AB=4、BD=41=3、BC=2；当ABC是钝角三角形、如图2、同理得：AC=2、AB=4、BC=2；综上所述、BC的长为2或2故答案为：2或2【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用、在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长、要熟练掌握2.（2018江苏徐州3分）边长为a的正三角形的面积等于【分析】根据正三角形的性质求解【解答】解：过点A作ADBC于点D、ADBC、BD=CD=a、AD=a、面积则是：aa=a2【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法、比较简单3.（2018江苏徐州3分）如图、RtABC中、B=90、AB=3cm、AC=5cm、将ABC折叠、使点C与A重合、得折痕DE、则ABE的周长等于7cm【分析】根据勾股定理、可得BC的长、根据翻折的性质、可得AE与CE的关系、根据三角形的周长公式、可得答案【解答】解：在RtABC中、B=90、AB=3cm、AC=5cm、由勾股定理、得BC=4由翻折的性质、得CE=AEABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7故答案为：7【点评】本题考查了翻折的性质、利用了勾股定理、利用翻折的性质得出CE与AE的关系是阶梯关键、又利用了等量代换4.（2018江苏无锡2分）已知ABC中、AB=10、AC=2、B=30、则ABC的面积等于15或10【分析】作ADBC交BC（或BC延长线）于点D、分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况、先在RtABD中求得AD.BD的值、再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长、继而就两种情况分别求出BC的长、根据三角形的面积公式求解可得【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D、如图1、当AB.AC位于AD异侧时、在RtABD中、B=30、AB=10、AD=ABsinB=5、BD=ABcosB=5、在RtACD中、AC=2、CD=、则BC=BD+CD=6、SABC=BCAD=65=15；如图2、当AB.AC在AD的同侧时、由知、BD=5、CD=、则BC=BDCD=4、SABC=BCAD=45=10综上、ABC的面积是15或10、故答案为15或10【点评】本题主要考查解直角三角形、解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理5.（2018江苏无锡2分）如图、已知XOY=60、点A在边OX上、OA=2过点A作ACOY于点C、以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC、点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点、过点P作PDOY交OX于点D、作PEOX交OY于点E设OD=a、OE=b、则a+2b的取值范围是2a+2b5【分析】作辅助线、构建30度的直角三角形、先证明四边形EODP是平行四边形、得EP=OD=a、在RtHEP中、EPH=30、可得EH的长、计算a+2b=2OH、确认OH最大和最小值的位置、可得结论【解答】解：过P作PHOY交于点H、PDOY、PEOX、四边形EODP是平行四边形、HEP=XOY=60、EP=OD=a、RtHEP中、EPH=30、EH=EP=a、a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH、当P在AC边上时、H与C重合、此时OH的最小值=OC=OA=1、即a+2b的最小值是2；当P在点B时、OH的最大值是：1+=、即（a+2b）的最大值是5、2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质、有难度、掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围6.（2018江苏淮安3分）如图、在RtABC中、C=90、AC=3、BC=5、分别以点A.B为圆心、大于AB的长为半径画弧、两弧交点分别为点P、Q、过P、Q两点作直线交BC于点D、则CD的长是【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB、推出DA=DB、设DA=DB=x、在RtACD中、C=90、根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；【解答】解：连接ADPQ垂直平分线段AB、DA=DB、设DA=DB=x、在RtACD中、C=90、AD2=AC2+CD2、x2=32+（5x）2、解得x=、CD=BCDB=5=、故答案为【点评】本题考查基本作图、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识、解题的关键是学会添加常用辅助线、构造直角三角形解决问题7.（2018江苏苏州3分）如图、88的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD、点O、A、B、C、D均在格点上若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面、记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面、记这个圆锥的底面半径为r2、则的值为【分析】由2r1=、2r2=知r1=、r2=、据此可得=、利用勾股定理计算可得【解答】解：2r1=、2r2=、r1=、r2=、=、故答案为：【点评】本题主要考查圆锥的计算、解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理8.（2018江苏苏州3分）如图、在RtABC中、B=90、AB=2、BC=将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ABC、连接BC、则sinACB=【分析】根据勾股定理求出AC、过C作CMAB于M、过A作ANCB于N、求出BM、CM、根据勾股定理求出BC、根据三角形面积公式求出AN、解直角三角形求出即可【解答】解：在RtABC中、由勾股定理得：AC=5、过C作CMAB于M、过A作ANCB于N、根据旋转得出AB=AB=2、BAB=90、即CMA=MAB=B=90、CM=AB=2、AM=BC=、BM=2=、在RtBMC中、由勾股定理得：BC=5、SABC=、5AN=22、解得：AN=4、sinACB=、故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定、能正确作出辅助线是解此题的关键9.（2018江苏苏州3分）如图、已知AB=8、P为线段AB上的一个动点、分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE、点P、C、E在一条直线上、DAP=60M、N分别是对角线AC、BE的中点当点P在线段AB上移动时、点M、N之间的距离最短为2（结果留根号）【分析】连接PM、PN首先证明MPN=90设PA=2a、则PB=82a、PM=a、PN=（4a）、构建二次函数、利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN四边形APCD、四边形PBFE是菱形、DAP=60、APC=120、EPB=60、M、N分别是对角线AC、BE的中点、CPM=APC=60、EPN=EPB=30、MPN=60+30=90、设PA=2a、则PB=82a、PM=a、PN=（4a）、MN=、a=3时、MN有最小值、最小值为2、故答案为2【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识、解题的关键是学会添加常用辅助线、构建二次函数解决最值问题10. （2018杭州4分）折叠矩形纸片ABCD时、发现可以进行如下操作：把ADE翻折、点A落在DC边上的点F处、折痕为DE、点E在AB边上；把纸片展开并铺平；把CDG翻折、点C落在直线AE上的点H处、折痕为DG、点G在BC边上、若AB=AD+2、EH=1、则AD=_。【答案】或3 【考点】勾股定理、矩形的性质、正方形的性质、翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】当点H在线段AE上时把ADE翻折、点A落在DC边上的点F处、折痕为DE、点E在AB边上四边形ADFE是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG翻折、点C落在直线AE上的点H处、折痕为DG、点G在BC边上DC=DH=AB=AD+2在RtADH中、AD2+AH2=DH2AD2+（AD-1）2=（AD+2）2解之：AD=3+2 、AD=3-2 （舍去）AD=3+2 当点H在线段BE上时则AH=AE-EH=AD+1在RtADH中、AD2+AH2=DH2AD2+（AD+1）2=（AD+2）2解之：AD=3、AD=-1（舍去）故答案为： 或3【分析】分两种情况：当点H在线段AE上；当点H在线段BE上。根据的折叠、可得出四边形ADFE是正方形、根据正方形的性质可得出AD=AE、从又ABC=ACBBDECAD（2）AB=13、BC=10BD=CD= BC=5、AD2+BD2=AB2AD=12BDECAD 、即 DE= 而可得出AH=AD-1（或AH=AD+1）、再根据的折叠可得出DH=AD+2、然后根据勾股定理求出AD的长。11 （2018湖州4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中、每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边、向内作四个全等的直角三角形、使四个直角顶点E、F、G、H都是格点、且四边形EFGH为正方形、我们把这样的图形称为格点弦图例如、在如图1所示的格点弦图中、正方形ABCD的边长为、此时正方形EFGH的而积为5问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时、正方形EFGH的面积的所有可能值是13或49（不包括5）【分析】当DG=、CG=2时、满足DG2+CG2=CD2、此时HG=、可得正方形EFGH的面积为13当DG=8、CG=1时、满足DG2+CG2=CD2、此时HG=7、可得正方形EFGH的面积为49【解答】解：当DG=、CG=2时、满足DG2+CG2=CD2、此时HG=、可得正方形EFGH的面积为13当DG=8、CG=1时、满足DG2+CG2=CD2、此时HG=7、可得正方形EFGH的面积为49故答案为13或49【点评】本题考查作图应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识、解题的关键是学会利12.（2018福建A卷4分）如图、RtABC中、ACB=90、AB=6、D是AB的中点、则CD=3【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：ACB=90、D为AB的中点、CD=AB=6=3故答案为：3【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、熟记性质是解题的关键13.（2018福建A卷4分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置、其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A、且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上若AB=、则CD=1【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2、BF=AF=1、再利用勾股定理求出DF、即可得出结论【解答】解：如图、过点A作AFBC于F、在RtABC中、B=45、BC=AB=2、BF=AF=AB=1、两个同样大小的含45角的三角尺、AD=BC=2、在RtADF中、根据勾股定理得、DF=CD=BF+DFBC=1+2=1、故答案为：1【点评】此题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、正确作出辅助线是解本题的关键14.（2018福建B卷4分）如图、RtABC中、ACB=90、AB=6、D是AB的中点、则CD=3【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：ACB=90、D为AB的中点、CD=AB=6=3故答案为：3【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、熟记性质是解题的关键15.（2018福建B卷4分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置、其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A、且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上若AB=、则CD=1【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2、BF=AF=1、再利用勾股定理求出DF、即可得出结论【解答】解：如图、过点A作AFBC于F、在RtABC中、B=45、BC=AB=2、BF=AF=AB=1、两个同样大小的含45角的三角尺、AD=BC=2、在RtADF中、根据勾股定理得、DF=CD=BF+DFBC=1+2=1、故答案为：1【点评】此题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、正确作出辅助线是解本题的关键三.解答题1.（2018江苏苏州8分）如图、已知抛物线y=x24与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧）、C为顶点、直线y=x+m经过点A、与y轴交于点D（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线、设新抛物线的顶点为C若新抛物线经过点D、并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD、求新抛物线对应的函数表达式【分析】（1）解方程求出点A的坐标、根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2、根据二次函数的性质求出点C的坐标、根据题意求出直线CC的解析式、代入计算即可【解答】解：（1）由x24=0得、x1=2、x2=2、点A位于点B的左侧、A（2、0）、直线y=x+m经过点A、2+m=0、解得、m=2、点D的坐标为（0、2）、AD=2；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2、y=x2+bx+2=（x+）2+2、则点C的坐标为（、2）、CC平行于直线AD、且经过C（0、4）、直线CC的解析式为：y=x4、2=4、解得、b1=4、b2=6、新抛物线对应的函数表达式为：y=x24x+2或y=x2+6x+2【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键2.（2018江苏淮安12分）如果三角形的两个内角与满足2+=90、那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”、C90、A=60、则B=15；（2）如图、在RtABC中、ACB=90、AC=4、BC=5若AD是BAC的平分线、不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D）、使得ABE也是“准互余三角形”？若存在、请求出BE的长；若不存在、请说明理由（3）如图、在四边形ABCD中、AB=7、CD=12、BDCD、ABD=2BCD、且ABC是“准互余三角形”、求对角线AC的长【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA、可得CA2=CECB、由此即可解决问题；（3）如图中、将BCD沿BC翻折得到BCF只要证明FCBFAC、可得CF2=FBFA、设FB=x、则有：x（x+7）=122、推出x=9或16（舍弃）、再利用勾股定理求出AC即可；【解答】解：（1）ABC是“准互余三角形”、C90、A=60、2B+A=60、解得、B=15、故答案为：15；（2）如图中、在RtABC中、B+BAC=90、BAC=2BAD、B+2BAD=90、ABD是“准互余三角形”、ABE也是“准互余三角形”、只有2A+BAE=90、A+BAE+EAC=90、CAE=B、C=C=90、CAECBA、可得CA2=CECB、CE=、BE=5=（3）如图中、将BCD沿BC翻折得到BCFCF=CD=12、BCF=BCD、CBF=CBD、ABD=2BCD、BCD+CBD=90、ABD+DBC+CBF=180、A.B.F共线、A+ACF=902ACB+CAB90、只有2BAC+ACB=90、FCB=FAC、F=F、FCBFAC、CF2=FBFA、设FB=x、则有：x（x+7）=122、x=9或16（舍弃）、AF=7+9=16、在RtACF中、AC=20【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识、解题的关键是理解题意、学会利用翻折变换添加辅助线、构造相似三角形解决问题、学会利用已知模型构建辅助线解决问题、属于中考压轴题3.（2018江苏无锡8分）如图、四边形ABCD内接于O、AB=17、CD=10、A=90、cosB=、求AD的长【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出C=90、ABC+ADC=180作AEBC于E、DFAE于F、则CDFE是矩形、EF=CD=10解RtAEB、得出BE=ABcosABE=、AE=、那么AF=AEEF=再证明ABC+ADF=90、根据互余角的互余函数相等得出sinADF=cosABC=解RtADF、即可求出AD=6【解答】解：四边形ABCD内接于O、A=90、C=180A=90、ABC+ADC=180作AEBC于E、DFAE于F、则CDFE是矩形、EF=CD=10在RtAEB中、AEB=90、AB=17、cosABC=、BE=ABcosABE=、AE=、AF=AEEF=10=ABC+ADC=180、CDF=90、ABC+ADF=90、cosABC=、sinADF=cosABC=在RtADF中、AFD=90、sinADF=、AD=6【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、求出AF=以及sinADF=是解题的关键4.（2018江苏宿迁12分）如图、在边长为1的正方形ABCD中、动点E.F分别在边AB.CD上、将正方形ABCD沿直线EF折叠、使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A.D重合）、点C落在点N处、MN与CD交于点P、设BE=x、（1）当AM= 时、求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化、PDM的周长是否发生变化？如变化、请说明理由；如不变、请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S、求S与x之间的函数表达式、并求出S的最小值. 【分析】（1）由折叠性质可知BE=ME=x、结合已知条件知AE=1-x、在RtAME中、根据勾股定理得（1-x）2+ =x2 、 解得：x= .（2）PDM的周长不会发生变化、且为定值2.连接BM、BP、过点B作BHMN、根据折叠性质知BE=ME、由等边对等角得EBM=EMB、由等角的余角相等得MBC=BMN、由全等三角形的判定AAS得RtABMRtHBM、根据全等三角形的性质得AM=HM、AB=HB=BC、又根据全等三角形的判定HL得RtBHPRtBCP、根据全等三角形的性质得HP=CP、由三角形周长和等量代换即可得出PDM周长为定值2.（3）过F作FQAB、连接BM、由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF、由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE、由全等三角形的判定ASA得RtABMRtQFE、据全等三角形的性质得AM=QE；设AM长为a、在RtAEM中、根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得AM=QE= ,BQ=CF=x- 、根据梯形得面积公式代入即可得出S与x的函数关系式；又由（1-x）2+a2=x2,得x= =AM=BE、BQ=CF= -a（0a1）、代入梯形面积公式即可转为关于a的二次函数、配方从而求得S的最小值.【详解】解：（1）由折叠性质可知：BE=ME=x、正方形ABCD边长为1、AE=1-x、在RtAME中、AE2+AM2=ME2 、 即（1-x）2+ =x2 、 解得：x= .（2）PDM的周长不会发生变化、且为定值2.连接BM、BP、过点B作BHMN、BE=ME、EBM=EMB、又EBC=EMN=90、即EBM+MBC=EMB+BMN=90、MBC=BMN、又正方形ABCD、ADBC、AB=BC、AMB=MBC=BMN、在RtABM和RtHBM中、 ,RtABMRtHBM（AAS）、AM=HM、AB=HB=BC、在RtBHP和RtBCP中、 , RtBHPRtBCP（HL）、HP=CP、又CPDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2.PDM的周长不会发生变化、且为定值2.（3）解：过F作FQAB、连接BM、由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF、EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE、在RtABM和RtQFE中、 ,RtABMRtQFE（ASA）、AM=QE、设AM长为a、在RtAEM中、AE2+AM2=EM2,即（1-x）2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- 、S= （CF+BE）BC = （x- +x）1= （2x- ）,又（1-x）2+a2=x2, x= =AM=BE、BQ=CF= -a、S= （ -a+ ）1= （a2-a+1）= （a- ）2+ 、0a1、当a= 时、S最小值= . 【点睛】二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、翻折变换（折叠问题）. 5.（2018江苏无锡10分）已知：如图、一次函数y=kx1的图象经过点A（3、m）（m0）、与y轴交于点B点C在线段AB上、且BC=2AC、过点C作x轴的垂线、垂足为点D若AC=CD（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A、它的顶点为P、若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（、0）、求这条抛物线的函数表达式【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程、求AC和m（2）由APQ=90、构造PQDAPE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式【解答】解：（1）过点A作AFx轴、过点B作BFCD于H、交AF于点F、过点C作CEAF于点E设AC=n、则CD=n点B坐标为（0、1）、CD=n+1、AF=m+1CHAF、BC=2AC、即：整理得：n=RtAEC中、CE2+AE2=AC2、5+（mn）2=n2把n=代入5+（m）2=（）2解得m1=2、m2=3（舍去）、n=1把A（3、2）代入y=kx1得k=y=x1（2）如图、过点A作AECD于点E设点P坐标为（2、n）、由已知n0由已知、PDx轴PQDAPE、解得n1=5、n2=3（舍去）设抛物线解析式为y=a（xh）2+k、y=a（x2）2+5把A（3、2）代入y=a（x2）2+5、解得a=抛物线解析式为：y=【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中、应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程、求出未知量6.（2018江苏苏州10分）如图、AB是O的直径、点C在O上、AD垂直于过点C的切线、垂足为D、CE垂直AB、垂足为E延长DA交O于点F、连接FC、FC与AB相交于点G、连接OC（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE、求证：CEO是等腰直角三角形【分析】（1）连接AC、根据切线的性质和已知得：ADOC、得DAC=ACO、根据AAS证明CDACEA（AAS）、可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA、得DCA=ECA、由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG、在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5、可得结论；证法二：设F=x、则AOC=2F=2x、根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180、则3x+3x+2x=180、可得结论【解答】证明：（1）连接AC、CD是O的切线、OCCD、ADCD、DCO=D=90、ADOC、DAC=ACO、OC=OA、CAO=ACO、DAC=CAO、CEAB、CEA=90、在CDA和CEA中、CDACEA（AAS）、CD=CE；（2）证法一：连接BC、CDACEA、DCA=ECA、CEAG、AE=EG、CA=CG、ECA=ECG、AB是O的直径、ACB=90、CEAB、ACE=B、B=F、F=ACE=DCA=ECG、D=90、DCF+F=90、F=DCA=ACE=ECG=22.5、AOC=2F=45、CEO是等腰直角三角形；证法二：设F=x、则AOC=2F=2x、ADOC、OAF=AOC=2x、CGA=OAF+F=3x、CEAG、AE=EG、CA=CG、EAC=CGA、CEAG、AE=EG、CA=CG、EAC=CGA、DAC=EAC=CGA=3x、DAC+EAC+OAF=180、3x+3x+2x=180、x=22.5、AOC=2x=45、CEO是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中、本题相等的角较多、注意各角之间的关系、注意掌握数形结合思想的应用7.（2018江苏苏州10分）如图、直线l表示一条东西走向的笔直公路、四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地、点A、D在直线l上、小明从点A出发、沿公路l向西走了若干米后到达点E处、然后转身沿射线EB方向走到点F处、接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处、最后沿公路l回到点A处设AE=x米（其中x0）、GA=y米、已知y与x之间的函数关系如图所示、（1）求图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处、所走过的路径（即EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以、求出相应x的值；如果不可以、说明理由【分析】（1）根据点M、N的坐标、利用待定系数法即可求出图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立、连接EC、通过计算可得出ED=GD、结合CDEG、可得出CE=CG、根据等腰三角形的性质可得出CGE=CEG、FEGCGE、进而可得出FEFG；考虑FG=EG是否成立、由正方形的性质可得出BCEG、进而可得出FBCFEG、根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC、进而可得出CG、DG的长度、在RtCDG中、利用勾股定理即可求出x的值；考虑EF=EG是否成立、同理可得出若EF=EG则FB=BC、进而可得出BE的长度、在RtABE中、利用勾股定理即可求出x的值综上即可得出结论【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b、将M（30、230）、N（100、300）代入y=kx+b、解得：、线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200（2）分三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立、连接EC、如图所示AE=x、AD=100、GA=x+200、ED=GD=x+100又CDEG、CE=CG、CGE=CEG、FEGCGE、FEFG；考虑FG=EG是否成立四边形ABCD是正方形、BCEG、FBCFEG假设FG=EG成立、则FC=BC成立、FC=BC=100AE=x、GA=x+200、FG=EG=AE+GA=2x+200、CG=FGFC=2x+200100=2x+100在RtCDG中、CD=100、GD=x+100、CG=2x+100、1002+（x+100）2=（2x+100）2、解得：x1=100（不合题意、舍去）、x2=；考虑EF=EG是否成立同理、假设EF=EG成立、则FB=BC成立、BE=EFFB=2x+200100=2x+100在RtABE中、AE=x、AB=100、BE=2x+100、1002+x2=（2x+100）2、解得：x1=0（不合题意、舍去）、x2=（不合题意、舍去）综上所述：当x=时、EFG是一个等腰三角形【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理、解题的关键是：（1）根据点的坐标、利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值8. （2018杭州8分）如图、在ABC中、AB=AC、AD为BC边上的中线DEAB于点E。（1）求证：BDECAD。 （2）若AB=13、BC=10、求线段DE的长 【答案】（1）证明：AB=AC、ABC=ACB、ABC为等腰三角形AD是BC边上中线BD=CD、ADBC又DEABDEB=ADC【考点】等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据已知易证ABC为等腰三角形、再根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明DEB=ADC、根据两组角对应相等的两三角形是相似三角形、即可证得结论。(2）根据等腰三角形的性质求出BD的长、再根据勾股定理求出AD的长、再根据相似三角形的性质、得出对应边成比例