北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析（12）：圆锥曲线.doc

十二、圆锥曲线1. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ D ）A B. C. D. 2. （2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理5）双曲线的渐近线与圆相切，则等于（ A ）A B. C. D. 3.（2012年昌平区高三期末考试文8） 一圆形纸片的圆心为点,点是圆内异于点的一定点，点是圆周上一点.把纸片折叠使点与重合，然后展平纸片，折痕与交于点.当点运动时点的轨迹是（ B ）A圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线4. （2012年海淀区高三期末考试文9）双曲线的离心率为 . 答案：。5.（2012年东城区高三期末考试理13）如图，已知椭圆的左顶yxAFOB点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 . 答案：。6.（2012年昌平区高三期末考试文12）已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 .答案：3。7.（2012年西城区高三期末考试理10）若双曲线的一个焦点是，则实数_答案：.8.（2012年西城区高三期末考试文10）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是_答案：.9.（2012年海淀区高三期末考试理11）物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为 . 答案：10. （顺义区2012届高三尖子生综合素质展示9）已知为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，若则= .答案：17。11.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文10）两条分别平行于轴和轴的直线与椭圆：交于、四点，则四边形面积的最大值为 。答案：30。12.（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）已知椭圆的一个顶点为，离心率（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解：（）设，依题意得 ， 解得. 所以椭圆的方程为. .6分 （）当.7分 当与轴不垂直时，设直线的方程为，由已知得 . 8分代入椭圆方程，整理得于是 .9分故当且仅当时等号成立，此时 12分当 .13分 综上：， 面积取最大值 .14分13.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文18）设椭圆：的离心率为，点（，0），（0，），原点到直线的距离为（）求椭圆的方程；（）设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程解：（）由得 2分由点（，0），（0，）知直线的方程为，于是可得直线的方程为 4分因此，得，所以椭圆的方程为 6分（）由（）知、的坐标依次为（2，0）、，因为直线经过点，所以，得，即得直线的方程为 8分因为，所以，即 9分设的坐标为，则得，即直线的斜率为4 12分又点的坐标为，因此直线的方程为 13分14.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示19）已知的顶点A、B在椭圆（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积；（）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.解：（）因为且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为由得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。 2分又的距离。 5分 （）设AB所在直线的方程为由因为A，B两点在椭圆上，所以即 7分设A，B两点坐标分别为，则且 8分 9分又的距离，即 边最长。（显然） 12分所以，AB所在直线的方程为 13分15.（2012年昌平区高三期末考试文19）已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量.求：（I）椭圆的方程；（II）的最小值及此时直线的方程.解：()由题意可知，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为 5分（）设直线的方程为：，消去得： 7分直线与曲线有且只有一个公共点，即 9分 11分 将式代入得： 当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为： . 14分16.（2012年朝阳区高三期末考试文19）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.解：（）因为，所以，. 1分设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得， 3分所以椭圆方程为. 4分（）易知直线的斜率存在, 设的方程为， 5分由消去整理，得， 6分由题意知，解得. 7分设，则， ， . .因为与的面积相等，所以，所以. 10分由消去得. 将代入得. 将代入，整理化简得，解得，经检验成立. 12分所以直线的方程为. 13分17.（2012年海淀区高三期末考试文19）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.（）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.解：（）由题意可知：，所以. 所以 . 所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是. 4分（）根据题意可设直线的方程为，.由可得：.，.7分所以 的面积9分.10分因为的面积为， 所以.令，则.解得（舍），.所以. 所以直线的方程为或.13分18.（2012年西城区高三期末考试理18）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.（）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分 因为椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 .7分设，线段的中点为，则 . 8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 10分当时，；当时，.所以，或. 12分综上，的取值范围是. 13分19.（2012年海淀区高三期末考试理19）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（）求椭圆的标准方程；（）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（）若直线垂直于轴，求的大小;（）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.解：（）设椭圆的标准方程为，且.由题意可知：，. 2分所以. 所以，椭圆的标准方程为. 3分（）由（）得.设.（）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.5分则直线的斜率，直线的斜率.因为 ，所以 .所以 . 6分（）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为 点在椭圆的内部，显然. 8分因为 ，所以 .所以 . 所以 为直角三角形. 11分假设存在直线使得为等腰三角形，则.取的中点，连接，则.记点为.另一方面，点的横坐标，所以 点的纵坐标. 所以 .所以 与不垂直，矛盾.所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.13分20.（2012年东城区高三期末考试文19）已知椭圆的左、右焦点分别为， 点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点（）解：（）由已知可得 ， 所求椭圆方程为 5分（）若直线的斜率存在，设方程为，依题意设，由 得 7分则 由已知，所以，即 10分所以，整理得 故直线的方程为，即（）所以直线过定点（） 12分若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知，得此时方程为，显然过点（）综上，直线过定点（） 13分21.（2012年朝阳区高三期末考试理19） 已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.解: （）由题得过两点，直线的方程为. 1分 因为，所以，. 设椭圆方程为, 由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以,解得. 所以椭圆方程为. 5分（）易知直线的斜率存在,设直线的方程为， 6分 由消去，整理得. 7分 由题意知， 解得. 8分 设，则，. 9分又直线与椭圆相切， 由解得，所以. 10分 则. 所以. 又 所以，解得.经检验成立. 13分 所以直线的方程为. 14分22.（2012年东城区高三期末考试理19）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线交椭圆于，两点， 且