高手教师归纳等差数列的性质

高手教师归纳等差数列的性质 等差数列的性质通项公式d n a a n)1(1?，()(,)n ma a n m d n mN?前n项和公式1 (1)2nn nS na d?，1()2nnn a aS?计算公差d的方法:1n nd a a?11na adn?1 (1)2nn nS na d?n ma adn m?假设三个数成等差,n n na d a a d?或,2n n na a da d?；四个数成等差2,2a da da dad?性质若n mp q?，则n mp qa a a a?（其中,m np qN?）。 反之未必成立；常用变式?23121n n na a a a a ann n n nna na n a ana a nS)12 (22)12 (2)(12 (2)(12(12112?常用变式等差中项性质112;2;,2n n k n k n n na ba a a a a aA aA b?成等差数列例1在等差数列na中,已知3a4a5a6a7a450,28a a?；9S例2已知a、b、c的倒数成等差数列，求证a c ba?，b a cb?，c b ac?的倒数也成等差数列。 证明因为a、b、c的倒数成等差数列211b ac?即2ac=b(a+c)222222()()()2()2()2()2()222222()b c a a b c c bc a a bc a b ac c a ac ac ac a a bac acacacac bacb b?（01全国）na是递增等差数列，前3项和为12，前3项积为48，求它的首项与公差分别为（02全国）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，所有项和为390，则该数列共项（04福建文）设S n是等差数列?na的前n项和，若?5935,95SSaa则（05福建）已知等差数列na中，12497,1,16a a a a则?的值是15（05湖南）已知数列)1(log*2N nan?为等差数列，且.9,331?a a，求得.12?nna（06福建）在等差数列?na中，已知1232,13,a a a?则456a a a?等于42（06全国）设?na是公差为正数的等差数列，若12315a a a?，12380aa a?，则111213a a a?105（07海南）已知?na是等差数列，466a a?，其前5项和510S?，则其公差d?12（07重庆）若等差数列na的前三项和93?S且11?a，则2a=3（07江西）已知等差数列?na的前n项和为nS，若1221S?，则25811a a a a?7（07福建）等差数列na前n项和为1312932nS aS?，得212 (2)n na n Sn n?，（07湖北）两等差数列nanb前n项和分别为A n和nB，7453nnA nBn?，使nnab为整数的n个数5（08全国）已知等差数列?na满足244a a?，3510a a?，则它的前10项的和10S?95（09湖南文）设nS是等差数列?na的前n项和，已知23a?，611a?，则7S等于49(09全国2理)设等差数列?na的前n项和为nS，若535a a?则95SS?9（09湖北文）已知na是一个公差大于0的等差数列，16,557263?a a a a,求na的通项公式12?nan（09海南理）等比数列?na的前n项和为ns，且41a，22a，3a成等差数列。 若1a=1，则4s=15（09海南）等差数列?na的前n项和为nS，已知2110m mma a a?，2138mS?,则m?10（09全国2文）已知等差数列na中，0,166473?a a a a求na前n项和n n Sn n Sn n9922或?（09辽宁文）等比数列na的前n项和为ns，1S,3S,2S成等差数列，21?q；1a3a3时）（nn21138?S性质在等差数列?na中，依次k个项之和仍组成一个等差数列。 即kS，k kS S?2，k kS S23?，k)l(lkS S1?，（2?k，?N k）也成等差数列例1等差数列an前n项的和为nS，且3S3?，7S6?，则9S的值是例2已知na是等差数列，前m项和为30mS?，前2m项和为2100mS?，求前3m项和3mS?（06全国II）设nS是等差数列?na的前n项和，若3613SS?，则612SS?310（07陕西）等差数列na的前n项和为nS，若等于则642,10,2S S S?24（07辽宁）设等差数列na的前n项和为nS，若39S?，636S?，则789a a a?45（08陕西）已知na是等差数列，124a a?，7828a a?，则该数列前10项和10S等于100.性质2nS anbn c?能表示等差数列前n项和的充要条件是0c?.).()2 (22)1(121?N n nda ndd n nna Sn，nS是n的二次函数(常数项为0),有性质:nS的图象是过原点的抛物线上一些孤立点,对称轴为daabn1212?n取最接近于da121?的正整数时，当d0时nS有最小值.当d0时nS有最大值例1设等差数列?na满足13853a a?且01?a,nS为其前n项和,则nS中最大的是20S例2等差数列?na中,nS为其前n项和,且8776,S S S S?,则正确的是 (1), (2), (3)(填入序号). (1)此数列公差d0 (2)9S一定小于6S. (3)7S一定是nS中最大值, (4)7a是各项中最大一项解:由性质,等差数列前n项和nS的图象是过原点的抛物线上一些孤立点,又8776,S S S S?,所以只可画右图,抛物线开口向下,?d0,对于公比为负的情况不能包括）典例四个实数中前三个数依次成等比它们的积是8?，后三个数依次成等差它们积是80?求这四个数（90全国文）有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数0,4,8,16或15,9,3,1（05福建文）已知na是公比为q的等比数列，且231,aaa成等差数列，求得112qq?或（07全国）等比数列na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为13q?（07山东文）na是公比大于1的等比数列，37S?，123334aaa?，成等差数列，求得12nna?（07全国文）na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，111ab?，3521ab?，5313ab?求得1 (1)21nandn?和112n nnbq?（08全国二文）等差数列?