高中数学 （主干知识+典例精析）2.4一次函数和二次函数课件 理 新人教B版.ppt

第四节一次函数和二次函数 三年4考高考指数 1 会用基本初等函数的图象理解 分析 研究函数的性质 2 会用一次函数 二次函数模型解决实际问题 1 二次函数图象的应用及求最值是高考的热点 2 常将二次函数及相应的一元二次不等式 一元二次方程交汇在一起命题 重点考查三者之间的综合应用 3 题型以选择题 填空题为主 若与导数 解析几何知识交汇 则以解答题的形式出现 1 一次函数与二次函数的解析式 1 一次函数的解析式函数 叫做一次函数 y kx b k 0 2 二次函数的解析式 即时应用 1 判断下列函数是否为正比例函数 填 是 或 否 y 2x y x 1 2 判断下列函数是否为二次函数 填 是 或 否 y x4 x2 y 3 x 2 x 3 y 2sin2x sinx 3 3 已知一次函数通过点a 1 2 b 4 5 则这个函数的解析式为 4 若二次函数的图象的最高点为 1 3 且过点 0 4 则其解析式为 解析 1 根据正比例函数的定义知 是正比例函数 不是正比例函数 2 根据二次函数的定义知 是二次函数 不是二次函数 3 设一次函数的解析式为y kx b k 0 则有 4 设y a x 1 2 3 又过点 0 4 4 a 0 1 2 3 解得a 1 y x 1 2 3 x2 2x 4 答案 1 是 是 否 2 否 是 否 3 y x 1 4 y x2 2x 4 2 一次函数 二次函数的图象与性质 k 0k 0 a 0a 0 r r 在 上是增函数 在 上是减函数 在 上是减函数 在 上是增函数 在 上是增函数 在 上是减函数 当b 0时 非奇非偶函数 当b 0时 奇函数 当b 0时 非奇非偶函数 当b 0时 偶函数 非周期函数 即时应用 1 已知二次函数f x 的图象的对称轴是x x0 它在区间 a b 上的值域为 f b f a 判断下列命题的真假 填 真 或 假 x0 b x0 a x0 a b x0 a b 2 函数y 2k 1 x b在r上是减函数 则k的取值范围是 3 已知函数f x 3x2 12x 5 当x 0 3 时 f x min f x max 4 如果函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 则函数f x 的最小值为 解析 1 二次函数f x 在 a b 上的值域为 f b f a a b 应在二次函数对称轴的某一侧 x0 a或x0 b 又 x x0为其对称轴方程 x0 a b 故 真 假 假 假 2 函数y 2k 1 x b在r上是减函数 2k 1 0 即 3 f x 3 x 2 2 7 f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 f x min f 2 7 f x max f 0 5 4 函数f x x2 a 2 x b的对称轴为又 函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 a 4 b 6 f x x2 2x 6 x 4 6 因此 当x 1时该函数取最小值5 答案 1 假 假 假 真 2 3 75 4 5 一次函数的概念及性质的应用 方法点睛 对一次函数y kx b中斜率k与截距b的认识 1 一次函数y kx b中的k满足k 0这一条件 当k 0时 函数y b 它不再是一次函数 通常称为常数函数 它的图象是一条与x轴平行或重合的直线 2 直线y kx b k 0 在y轴上 x轴上的截距分别是b与 截距为实数 可以是正数 负数或零 它不是直线与坐标轴交点到原点o的距离 例1 已知函数y 2m 1 x 1 3m m为何值时 1 这个函数为正比例函数 2 这个函数为一次函数 3 函数值y随x的增大而减小 4 这个函数图象与直线y x 1的交点在x轴上 解题指南 本题已知函数的解析式 在函数为正比例函数 一次函数 减函数及图象与直线y x 1的交点在x轴上时 求m的值 在解题方法上可从相关的定义出发 确定m的值 规范解答 1 由题意 得 2 函数为一次函数 只需且必须2m 1 0 即 3 据题意 2m 1 0 4 由方程组得 2m 2 y 5m 2 2m 2 0 否则 式不成立 反思 感悟 在一次函数y kx b中 当b 0时 y kx为正比例函数 其单调性与常数k有关 当k 0时 y kx在 上为增函数 当k 0时 y kx在 上为减函数 变式训练 若是一次函数 求m的值 解析 是一次函数 m应满足由 得m 2 由 解得m 1或m 2 综上得m 1 求二次函数的解析式 方法点睛 求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 例2 2012 德州模拟 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且图象在y轴上的截距为1 在x轴上截得的线段长为求f x 的解析式 解题指南 二次函数f x 满足f x t f t x 则其对称轴方程为x t 图象在x轴上截得的线段长度公式为 x1 x2 本题可设f x 的一般式 亦可设顶点式 规范解答 设f x 的两零点分别为x1 x2 方法一 设f x ax2 bx c 则由题知 c 1 且对称轴为x 2 即b 4a f x ax2 4ax 1 b 4a 2 函数f x 的解析式为 方法二 f x 2 f x 2 二次函数f x 的对称轴为x 2 设f x a x 2 2 b 且f 0 1 4a b 1 f x a x 2 2 1 4a ax2 4ax 1 反思 感悟 用待定系数法求二次函数的解析式步骤 1 设二次函数的解析式 2 根据已知条件 得到关于待定系数的方程组 3 解方程组 求出待定系数的值 从而写出函数的解析式 变式训练 如图 抛物线与直线y k x 4 都经过坐标轴的正半轴上a b两点 该抛物线的对称轴x 1与x轴相交于点c 且 abc 90 求 1 直线ab的方程 2 抛物线的方程 解析 1 由已知得 a 4 0 b 0 4k c 1 0 又 cba boc 90 ob2 co ao 4k 2 1 4 又 由图知k 0 所求直线的方程为 2 设抛物线的方程为y ax2 bx c 则解得 所求抛物线的方程为 变式备选 已知二次函数f x 同时满足条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根立方和等于17 求f x 的解析式 解析 依条件 设f x a x 1 2 15 a 0 即f x ax2 2ax a 15 令f x 0 即ax2 2ax a 15 0 设两根为x1 x2 则而x13 x23 x1 x2 3 3x1x2 x1 x2 则a 6 f x 6x2 12x 9 二次函数的图象与性质的应用 方法点睛 1 求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解 在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值 2 二次函数单调性问题的解法主要结合二次函数图象的升 降对对称轴进行分析讨论求解 提醒 配方法是解决二次函数最值问题的常用方法 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系 例3 2012 盐城模拟 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 解题指南 解答 1 和 2 可根据对称轴与区间的关系 结合图象或单调性直接求解 对于 3 应先将函数化为分段函数 再求单调区间 规范解答 1 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 2 函数f x x2 2ax 3的对称轴为 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 3 当a 1时 f x x2 2 x 3其图象如图所示 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 1 2 1 2 o x y 互动探究 若将本例 2 中单调变为不单调 则结果如何 解析 需 4 a 6 解得 6 a 4 反思 感悟 1 影响二次函数f x 在区间 m n 上最值的要素有三个 即抛物线的开口方向 对称轴位置 闭区间 常用数形结合思想求解 但当三要素中有一要素不明确时 要分情况讨论 2 二次函数单调性的确定与应用 常与二次函数的图象数形结合求解 变式备选 已知f x x2 3x 5 x t t 1 若f x 的最小值为h t 写出h t 的解析式 求h t 的最小值 解析 f x x2 3x 5的对称轴为 当即时 h t f t 1 t 1 2 3 t 1 5 当即时 当时 综上可知 当时 当时 当时 即对于任意的实数t恒有即h t 有最小值 满分指导 二次函数解答题的规范解答 典例 12分 2012 临沂模拟 已知函数f x ax2 x 2a 1 a为实常数 1 若a 1 作函数f x 的图象 2 设f x 在区间 1 2 上的最小值为g a 求g a 的表达式 3 设若函数h x 在区间 1 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解题指南 解答本题 1 需将f x 化为分段函数 从而转化为画二次函数图象的问题 但要注意函数的定义域 2 分a 0 a 0两种情况讨论 而a 0 又需按对称轴与区间 1 2 的关系 再次分类讨论 3 可由h x 0在 1 2 上恒成立求解 规范解答 1 当a 1时 1分作图 如图所示 2分 2 当x 1 2 时 f x ax2 x 2a 1 若a 0 则f x x 1在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 3 3分若a 0 则f x 图象的对称轴是直线当a 0时 f x 在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 6a 3 4分 当即时 f x 在区间 1 2 上是增函数 g a f 1 3a 2 当时 当时 f x 在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 6a 3 5分综上可得 6分 3 当x 1 2 时 又 h x 在 1 2 上为增函数 h x 0在 1 2 上恒成立 7分令当2a 1 0即时 x 在 1 2 上为减函数 由h x 0 得 又故 8分 当2a 1 0 即时 显然在 1 2 上为增函数 9分当2a 1 0 即时 x 在 1 2 上为增函数 x min 1 a 1 由已知得 a 1 0 解得 a 1 又故 11分综上可知 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 德州模拟 设b 0 二次函数y ax2 bx a2 1的图象为下列之一 则a的值为 解析 选b 结合图象可知是 由f 0 a2 1 0 解得a 1或1 舍 2 2012 淄博模拟 若定义在r上的二次函数f x ax2 4ax b在区间 0 2 上是增函数 且f m f 0 则实数m的取值范围是 a 0 m 4 b 0 m 2 c m 0 d m 0或m 4 解析 选a f x a x 2 2 b 4a 对称轴为x 2 由已知得a 0 结合二次函数图象知 要使f m f 0 需满足0 m 4 3 2011 湖南高考 函数y ax2 bx与 a b 在同一直角坐标系中的图象可能是 解析 选d 在a中由抛物线的开口向上得到a 0 由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足不能得到 a不正确 在b中由抛物线的开口向下得到a0 由抛物线与x轴的另一个