07---2004天津市高考数学试卷(理科).doc

2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页。第卷3至10页。考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共60分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。参考公式：如果事件A、B互斥，那么柱体(棱柱、圆柱)的体积公式P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，P（AB）=P（A）P（B）表示柱体的高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 是虚数单位，(A) (B) (C) (D) (2) 不等式的解集为(A) (B) (C) (D) (3)若平面向量与向量的夹角是，且，则(A) (B) (C) (D) (4)设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点。若，则(A) 或 (B) 6 (C) 7 (D)9(5)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则=(A) (B) (C) (D)(6)如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于(A) (B) (C) (D)(7)若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是(A) (B)(C) (D)(8)已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(9)函数)为增函数的区间是(A) (B) (C) (D)(10)如图，在长方体中，分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，。若，则截面的面积为(A) (B) (C) (D)(11)函数的反函数是(A) (B)(C) (D)(12)定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，则的值为(A) (B) (C) (D)第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.(13)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量(14)如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是_(15)若 ，则 。(用数字作答)(16)从中任取2个数字，从中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个。(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分） 已知 (I)求的值；(II)求的值。18（本小题满分12分） 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。设随机变量表示所选3人中女生的人数。(I) 求的分布列；(II) 求的数学期望；(III) 求“所选3人中女生人数”的概率。19（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明 平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小。20（本小题满分12分） 已知函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。21（本小题满分12分） 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件： ， 其中为常数，为非零常数。(I)令，证明数列是等比数列；(II)求数列的通项公式；(III)当时，求22（本小题满分14分） 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若求直线PQ的方程；(III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。1.D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。1380 14 152004 16300三、解答题17本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查运算能力.满分12分. 解： (I)解：由 ，有 解得 。4分(II)解法一： 。6分 。12分 解法二：由(I)，得 。6分 于是 。8分 。10分代入得 。12分(18)本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。(I)解：可能取的值为。所以，的分布列为012P 。6分(II)解：由(I)，的数学期望为 。9分(II)解：由(I)，“所选3人中女生人数”的概率为 。12分(19)本小题考查直线一平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。方法一：(I) 证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。 。3分(II)证明：底在ABCD且底面ABCD， 同样由底面ABCD，得底面ABCD是正方形，有平面PDC而平面PDC， 。6分由和推得平面PBC而平面PBC，又且，所以平面EFD 。8分(III)解：由(II)知，故是二面角的平面角由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则在中， 。10分在中，所以，二面角的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且 。这表明。而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(II)证明：依题意得。又故由已知，且所以平面EFD。(III)解：设点F的坐标为则从而 所以由条件知，即 解得 。点F的坐标为 且即，故是二面角的平面角。且 所以，二面角的大小为(20)本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分。(I)解：依题意，即解得 令 得 。4分若 则，故 在上是增函数，在上是增函数。若 则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。 。8分(II)解：曲线方程为点不在曲线上。设切点为则点M的坐标满足 因故切线的方程为 注意到点在切线上，有 化简得解得所以，切点为切线方程为 。12分(21)本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12分。(I)证明：由可得由数学归纳法可证 由题设条件，当时 因此，数列是一个公比为的等比数列。4分(II)解：由(I)知， 当 时 当 时 而 所以，当时 上式对也成立。所以，数列的通项公式为 当时 上式对也成立。所以，数列的通项公式为 。(III)解：当时 。12分(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。