平面向量数量积(改).doc

平面向量平面向量数量积与实际应用教学目标： 1.理解平面向量数量积的含义； 2.了解平面向量数量积与向量投影的关系；3.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积 表示两个向量的夹角，判断两个向量的垂直关系； 4.理解用向量的方法解决某些简单的平面几何问题； 5.了解用向量的方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题。知识清单：一平面向量的数量积1.向量数量积的定义： 1）两个向量的夹角： 2）向量在轴上的正射影： 3）向量数量积（内积）的定义：ab=|a|b|cos 4）向量数量积的性质：2.向量数量积的运算律： 1）交换律：ab=ba 2）数乘结合律：（ab）=（a）b 3）分配率：（a+b）c=ac+bc3.向量数量积的坐标运算与度量公式： 1）向量内积的坐标运算：ab= 2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：ab= 3）向量的长度、距离和夹角公式：|a|= |= cos= 二向量的应用1.向量在平面几何中的应用：2.向量在解析几何中的应用：3向量在物理中的应用：典型例题：题型一 向量数量积坐标运算与度量公式的应用例1已知a=（-1，3），b=（3，-1）求ab，|a|，|b|，a与b的夹角.解： 例2.已知ab=（2，8），ab=（8，16），求ab及a与b的夹角解：由ab=（2，8），ab=（8，16），二式相加，解得a=（3，4）；二式相减，解得b=（5，12）于是 ab=（3）54（12）=63求a，b的夹角也可用坐标表示式计算题型二 利用向量数量积判断图形形状例3已知A(1,2)，B(2,3)，C(-2,5)，试判断ABC的形状，并给出证明.解：ABC是直角三角形. 证明如下： ， ABC是直角三角形 题型三 利用平面向量数量积求坐标 例4.如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x-5， y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 B点坐标或；=或题型四 利用向量数量积解决平面几何问题例5.如图532，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，ABC=60，自A向对角线BD引垂 线，并延长交BC于E，求BEEC解：设 =a， =c，BEEC=mn，则 又 = + =c+a， 且 ， =0， 4mn（m+n）=0 3m=2n mn=23 故BEEC=23题型五 利用平面向量数量积解决垂直问题例6.已知两个向量a=（3，4），b=（2，1），当a+xb与ab垂直时，求x的值解法一：（a+xb）（ab）， （a+xb）（ab）=0 ab=324（1）=2， 25+（x1）25x=0 解法二： a=（3，4），b=（2，1）， a+xb=（3，4）+x（2，1）=（2x+3，4x）， ab=（3，4）（2，1）=（1，5） 由于（a+xb）（ab）， （a+xb）（ab）=0， 从而（2x+3）1（4x）5=0， 2x+3+205x=0， 课堂练习：一.选择题 1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|ab（ ）A A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC为（ ）A A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）D A.（ ,)或( ,) B.（ ,)或( - ,- ) C.( ,- )或( - ,) D.( ,- )或( - ,) 4已知a=（3，4），b=（5，12），a与b 则夹角的余弦为（ ）A A B C D 5.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+ 3b| =（ ）C A B C D4二.填空题 6.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(ab)(ab)= .-77.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，- )在线段AB的中垂线上，则x= .8.向量a、b满足|a|=1,|b|=,(a+b)(2a-b),则向量a与b的夹角为 .909.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 010.已知向量a,b的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b）a=_1311.设a=(2,3),b=(x,2x),且3ab=4,则x等于_.- 三解答题12.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|0,|b|0，求向量a和b的夹角。解：因为a-4b与7a-2b垂直，所以（a-4b）（7a-2b)=0； 因为a+3b与7a-5b垂直，所以（a+3b）（7a-5b）=0。 于是有7a2-30ab+8b2=0, 7a2+16ab-15b2=0, 得2ab=b2 将代入得a2=b2, 所以|a|=|b|. 所以cos=(ab)/(|a|b|)=. 因为0180， 所以=60 注：(ab)/(|a|b|)=（2ab）/（2|a|b|)=b2/(2b2)= 13.在直角OAB中，求实数k的值 解：若，则 若，则 而 若，则 而 14.平面内三点A，B，C在一条直线上， =（2，m）， =（n，1）， =（5，1），且 ，求实数m，n的值 解：A，B，C三点在一条直线上， 向量 与 共线 于是，存在实数，使 = 又 =（2，m）， =（n，1）， =（5，1）， = =（7，1m）， = =（n+2，1m） （7，1m）=（n+2，1m） 故有 二式相除，消去，得 mn5m+n+9=0 又 ， =0， 即 （2）n+m1=0， m2n=0 由得m=2n，代入，得 相应的 m=6，m=3 15.如图533，在ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CHAB 证法一：ADBC，H在AD上， 而 = ， （ ） =0 =0 又 ， =0， 即 （ ） =0， =0 注意到，式中 = ，故，得 （ ）=0， 即 （ ）=0， =0 ， 即 CHAB 证法二：如图534，在平面内任取一点O = ， ， =0， 即 （ ）（ ）=0 （ ）= （ ） 同理，由 ，可得 （ ）= （ ） +，得 （ ）= ， 即 （ ）= （ ）， （ ）（ ）=0， =0， ， 故 CHAB16.设平面内有两个向量a=（cos，sin）， b（cos，sin），且0 （1）证明（ab）（ab）； （2）若两个向量kab与akb的模相等，求的值（k0，kR） 解：（1）a=（cos，sin），b=（cos，sin）， ab（coscos