高考数学总复习 第二章 第八节反比例函数与幂函数课件 文.ppt

第八节反比例函数与幂函数 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 了解幂函数的概念 2 结合函数y x y x2 y x3 y y x的图象 了解它们的变化情况 课前自修 知识梳理 一 反比例函数1 反比例函数的定义 形如y k r k是常数 k 0 的函数叫做 函数 其定义域为 x x r且x 0 2 反比例函数的图象和性质 1 图象 双曲线 它们的渐近线是两条坐标轴 对称中心是 2 性质 当k 0时 函数在区间和上是减函数 当k 0时 函数在区间 和 上是增函数 反比例 原点 0 0 二 幂函数1 幂函数的定义 形如y x r 是常数 x是自变量 的函数叫做幂函数 其特征是以幂的底为自变量 指数为常数 其定义域随着常数 取值的不同而不同 2 幂函数的图象都过定点 3 幂函数y x 为常数 在第一象限内的单调性 当 0时 在第一象限内为增函数 当 0时 在第一象限内为减函数 且以两条坐标轴为渐近线 4 幂函数的图象一定会出现在 象限 一定不会出现在第 象限 幂函数的图象最多只能同时出现在 个象限 1 1 第一 四 两 5 作幂函数的图象时 要联系函数的定义域 单调性 奇偶性等 先作出幂函数在第一象限的图象 然后根据函数的性质就可作出它在定义域内完整的图象 6 幂函数图象的分布规律 在直线x 1的右侧 随着幂指数的由小到大 函数图象 分布 7 在幂函数y x y x2 y x3 y x y x 1中 是奇函数的有 是偶函数的有 定义域是r的有 定义域是 0 的有 在第一象限内是增函数的有 在第一象限内是减函数的有 自下向上 y x y x3 y x 1 y x2 y x y x2 y x3 y x y x y x2 y x3 y x 1 y x 基础自测 1 函数y 的图象可看成是由幂函数y x的图象 a 向左平移1个单位长度得到b 向右平移1个单位长度得到c 向上平移1个单位长度得到d 向下平移1个单位长度得到 解析 y x 故选b 答案 b 2 已知幂函数f x x 部分对应值见下表 则不等式f x 2的解集是 3 2012 广州市一模 已知幂函数y m2 5m 7 在区间 0 上单调递增 则实数m的值为 4 幂函数f x 的图象经过点 则f的值为 考点探究 考点一 幂函数的定义 例1 2011 茂名市检测 给出下列函数 y y 3x 2 y x4 x2 y 其中是幂函数的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 变式探究 1 2012 湛江二中月考 幂函数f x x 的图象经过点 则f的值为 a 4b 3c 2d 1 考点二 与幂函数相关的基本初等函数概念的应用 例2 已知f x m2 m 当m取什么值时 1 f x 是正比例函数 2 f x 是反比例函数 3 在第一象限内它的图象是上升的曲线 自主解答 点评 熟悉一些常见的函数的一般形式 并注意系数不为0 杜绝解题中的遗漏 变式探究 2 函数f x m2 m 1 是幂函数 且当x 0 时是减函数 则实数m 解析 函数f x 是幂函数 m2 m 1 1 得m 1或m 2 当m 1时 函数f x 1 不符合要求 当m 2时 函数f x x 3 它在 0 上是减函数 故m 2 考点三 幂函数 指数函数的单调性的运用 点评 比较幂函数形式的两个数的大小 一般的思路是 1 若能化为同指数 则用幂函数的单调性 2 若能化为同底数 则用指数函数的单调性 3 若既不能化为同指数 也不能化为同底数 则需寻找一个恰当的数 比如1 作为桥梁来比较大小 变式探究 3 1 2012 汕头市质量测评 下列各式中错误的是 a 0 83 0 73b log0 50 4 log0 50 6c 0 75 0 1lg1 4 2 若a a 则a的取值范围是 a a 1b a 0c 1 a 0d 1 a 0 解析 1 对于a 由幂函数y x3为增函数知 a正确 对于b d 由对数函数y log0 5x为减函数 y lgx为增函数知 b d都正确 对于c 由指数函数y 0 75x为减函数 知c错误 答案 1 c 2 c 考点四 反比例函数的图象和性质 例4 1 如果y 是 0 上的增函数 那么m的取值范围是 a m 2 反比例函数y mxm 2的图象在 a 第一 二象限b 第一 三象限c 第二 四象限d 第三 四象限 解析 1 依题意1 2m 故选d 2 m 2 1 y x 1 其图象在第二 四象限 故选c 答案 1 d 2 c 变式探究 4 1 一次函数y kx和反比例函数y 在同一坐标系中的图象可能是 2 已知函数f x 其图象关于点 3 2 对称 则f 2 的值是 解析 1 选项a中 一次函数和反比例函数中的k都为正数 选项b c中的两个k符号相反 选项d中的一次函数不是y kx 故选a 答案 1 a 2 考点五 幂函数与其他知识的综合 点评 本题在两个函数f x 和g x 的基础上定义了一个新函数h x 函数h x 的实质是取f x 和g x 中的较小者 这类问题借助函数图象来解决 直观形象 其最值和单调区间容易求出 所以要重视数形结合思想的运用 变式探究 5 2011 安徽泗县质检 已知函数f x x 01 则f x 1 若0 x2 x1 若f x1 f x2 则x1 x2 若0 x1 x2 则x2f x1 x1f x2 若0 x1 x2 则 其中正确的命题序号是 解析 由幂函数的定义和性质知 当f x x 00 所以命题 错误 对命题 根据单调递增函数的定义 函数值大 对应的自变量也大 因此命题 正确 对命题 函数 x 1 1 0 函数单调递减 故命题 错误 对命题 函数是凸函数 因此中点的函数值 比两端点的函数和的一半要大 故命题 正确 答案 课时升华 1 写反比例函数的单调区间时 不能把多个单调区间取并集 如当k 0时 函数的单调递减区间是 0 和 0 当k0且a 1 的区别 幂函数是以幂的底为自变量 指数为常数 而指数函数的底数是常数 自变量则处在幂指数位置 3 现阶段只研究幂函数y x r 是常数 中的 是有理数的情形 且考纲明确要求掌握如下几种特殊的幂函数y x 1 2 3 1 2 的图象及特征 幂函数f x x 具有的性质 f x y f x f y f f 1 4 形如y x m n的函数图象可由y xn的图象向左 m 0 或右 m 0 平移 m 个单位长度得到 如y 可由函数y 的图象向左平移2个单位长度得到 5 在研究幂函数的性质时 通常将分式指数幂化为根式形式 负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论 6 对于幂函数y x 我们首先应该分析函数的定义域 值域和奇偶性 由此确定图象的位置 即所在象限 其次确定曲线的类型 即 0 0 1和 1三种情况下曲线的基本形状 还要注意 0 1三种曲线的形状 对于幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以用口诀来记忆 正抛负双 大竖小横 即 0 1 时 图象是抛物线型 0时 图象是双曲线型 1时 图象是竖直抛物线型 0 1时 图象是横卧抛物线型 7 幂函数中既有奇函数 又有偶函数 也存在非奇非偶函数 8 利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小 具体方法如下 1 当幂的底数相同 指数不同时 可以利用指数函数的单调性比较 2 当幂的底数不同 指数相同时 可以利用幂函数的单调性比较 3 当幂的底数和指数都不同时 一种方法是作商 通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小 可以利用幂函数的单调性比较 另一种方法是运用媒介法 即找到一个中间值 如1 通过比较两个幂值与中间值的大小 确定两个幂值的大小 4 比较多个幂值的大小 一般也是运用媒介法 即先判断这组数中每个幂值与0 1等数的大小关系 据此将它们分成若干组 然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较 最后确定各数之间的大小关系 感悟高考 品味高考 1 2011 陕西卷 函数y x的图象是 2 在平面直角坐标系xoy中 过坐标原点的一条直线与函数f x 的图象交于p q两点 则线段pq长的最小值是 高考预测 1 2012 河南四校联考 已知函数f x x x 0 m 0 若不等式f x 4的解集非空 则 a m 4b m 2c m 4d m 2 解析 因为f x x x 0 m 0 所以f x x 2 即函数f x min 2 若不等式f x 4有解 则有2 4 解得m 4 故选c 答案 c 2 2012 青岛市期末 在平面直角坐标系中 横