考研数学高数真题分类—一元函数积分学.docx

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7分】设函数在上可导，且其反函数为.若，求.【小结】：不定积分的计算思路比较灵活，只有多练、多想、多总结才能熟练掌握.一方面，考生要记住各种常见的函数积分的处理方式，保证在大多数情况下都能较快地找到计算思路；另一方面，考生也要灵活掌握各种积分法的基本思路，活学活用，才能应对各种情况.常考题型二：对定积分定义及性质的考查25.【121，2，3 4分】设,则有（）26.【9412 3分】设，则有（）27. 【11-13 4分】设，则的大小关系是( )(A) (B)(C) (D)28.【093 4分】使不等式成立的的范围是（）.29.【971，2 3分】（）为正常数.为负常数. 恒为零.不为常数.30.【022 3分】_.31.【142 11分】设函数，定义函数列，设是曲线，直线所围图形的面积求极限.32.【962 3分】_.33.【012 3分】_.34【141 4分】若函数，则（）（）（）（）35.【15-1，2 4分】36【141，2 4分】设为周期为4的可导奇函数，且，则37.【101，3 10分】(1) 比较与的大小，并说明理由;(2) 记u n= (n =1, 2, ) , 求极限.38.【023 8分】设函数在上连续，且，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点，使得【小结】：1.当积分区间关于原点对称时，可以考虑利用函数的奇偶性简化计算，具体公式如下：如果是偶函数，则有；如果是奇函数，则有.很多时候，不会整个函数都是奇函数或偶函数，往往是函数的一部分为奇函数，另一部分为偶函数或不具有奇偶性.这种情况下，应对函数的这几部分分别计算.如计算定积分，其中为奇函数，为偶函数，则有2.根据定积分比较定理，比较同一区间上的积分与可以转化为比较其被积函数与的大小关系。常考题型三：定积分的计算39【121 4分】_.40.【143 4分】设，则41.【001 3分】_.42.【071 4分】_.43.【101 4分】_.44.【083 4分】设，则.45.【993 3分】设有一个原函数，则_.46.【043 4分】设，则.47.【052 4分】_.48.【921 5分】设，求.49.【051 11分】如图，曲线的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，其交点为. 设函数具有三阶连续导数，计算定积分.50.【922 5分】求51.【932 5分】求52.【942 5分】计算53.【952 8分】设，计算. 54.【962 5分】计算.55.【982 6分】计算积分.56.【082 9分】求积分.57.【09-2 4分】.58.【953 6分】设、在区间上连续. 为偶函数，且满足条件（为常数）（1）证明.（2）利用（1）的结论，计算定积分.59.【002 5分】设平面上有正方形及直线.若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求.60.【131 10分】计算其中.61.【02-2 7分】设求函数的表达式.【小结】：根据微积分基本定理，不定积分是计算定积分的基础.计算定积分时对各种被积函数的处理方式与不定积分中是完全相同的.常考题型四：广义积分62.【132 4分】设函数，若反常积分收敛，则（）（A）（B）（C）（D）63.【953 3分】下列广义积分发散的是（）. . . 64.【15-2 4分】下列反常积分收敛的是（ ）65.【101，2 4分】设m , n 是正整数, 则反常积分的收敛性（）仅m与值有关. 仅n与值有关. 与m , n值都有关. 与m , n值都无关. 66.【142 4分】67.【922 3分】_.68.【021 3分】_.69.【062 4分】广义积分_.70.【092 4分】已知,则_.71.【002 3分】_.72.【042 4分】_.73.【003 3分】_.74.【932 5分】75.【992 6分】计算76.【963 6分】计算.77.【97-2 3分】.78.【11-2 4分】设函数则79.【1313 4分】【小结】：1. 广义积分实质上是定积分的极限，因此，它的计算也就是求定积分与求极限二者的结合.广义积分实际上是极限，在运用分部积分法或者将积分拆成几部分时，如果出现某一部分积分是发散的，就应该回到该定义上，先计算出，再计算极限。2.设非负反常积分和都以为瑕点，如果，则收敛.如果，则发散.常考题型五：对变限积分的讨论80.【09123 4分】设函数在区间上的图形为：则函数的图形为（）(A) (B)(C) (D)81.【06-2 4分】设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是()(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在间断的奇函数(D)在间断的偶函数82.【981 3分】设连续，则（）83.【991 3分】_.84.【993 6分】设函数连续，且.已知，求的值.85.【971 6分】设函数连续，且（为常数），求并讨论在处的连续性.86.【07-2 10分】设是区间上的单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.87.【0813 10分】设是连续函数，（1）利用定义证明函数可导，且；（2）当是以为周期的周期函数时，证明函数也是以为周期的周期函数.88.【042 11分】设,()证明是以为周期的周期函数;()求的值域.89.【013 3分】设函数，其中，则在区间内（）无界递减不连续连续90.【132 4分】设函数，则（）（A）是函数的跳跃间断点（B）是函数的可去间断点（C）在处连续但不可导（D）在处可导【小结】：1.当连续时，有；在的间断点处，不一定可导，但一定是连续的。2. 当被积函数连续时，变上限积分与的关系也就是原函数与导数的关系，故可以运用原函数与其导数的关系来解决相关的问题.常考题型六：含有积分的方程91.【973 3分】若，则_.常考题型七：定积分的应用1、几何应用92.【931 3分】双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（）93.【971，2 3分】设在区间上，.令，则（）94.【962 3分】设，在区间上连续，且（为常数），由曲线及所围平面图形绕直线旋转体体积为（）.95.【083 4分】曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（）yC(0, f(a) A(a, f(a)y=f(x)OB(a,0) xD曲边梯形面积.梯形面积.OB(a,0) xD曲边三角形面积.三角形面积.yC(0, f(a) A(a, f(a)y=f(x)OB(a,0) xDyC(0, f(a) A(a, f(a)y=f(x)OB(a,0) xDyC(0, f(a) A(a, f(a)y=f(x)OB(a,0) xD96.【0713 4分】如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是（）97.【142 4分】一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标98.【96-2 3分】由曲线及所围图形的面积.99.【123 4分】由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为_.100.【143 4分】设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为_.101.【922 3分】由曲线与直线所围成的图形的面积_.102.【103 4分】设位于曲线( ex+ )下方, x轴上方的无界区域为G, 则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为 _.103.【982 3分】曲线与轴所围成的图形的面积_.104.【022 3分】位于曲线（）下方，轴上方的无界图形的面积为_.105.【032 4分】设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_.106.【102 4分】当时, 对数螺线 的弧长为 _.107.【11-12 4分】曲线的弧长108.【992 3分】函数在区间上的平均值为_.109.【11-3 4分】曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 .110.【121 10分】已知曲线，其中函数具有连续导数，且，。若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积。111.【121，2 11分】过点点作曲线的切线，切点为，又与轴交于点，区域由与直线及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积。112.【961 5分】求心形线的全长，其中是常数.113.【922 9分】计算曲线上相应于的一段弧的长度114.【952 5分】求摆线一拱的弧长.115.【023 7分】设是由抛物线和，及所围成的平面区域；是由抛物线和直线，所围成的平面区域，其中。（1）试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴旋转而成的旋转体体积；（2）问当为何值时，取得最大值？试求此最大值。116.【013 8分】已知抛物线（其中）在第一象限内与直线相切，且此抛物线与轴所围成的平面图形的面积为。（1）问为何值时，达到最大？（2）求此的最大值。117.【031 10分】过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形.（1）求的面积；（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.118.【091 11分】椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.（）求及的方程（）求与之间的立体体积.119.【981 6分】设是区间上的任一非负连续函数。（1）试证明存在 ,使得在区间上以为高的矩形面积等于在区间上以为曲边的梯形面积.（2）又设在区间内可导，且，证明（1）中的是唯一的.120.【922 9分】求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成平面图形面积最小.121.【932 9分】设平面图形由与所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积.122.【942 9分】求曲线与轴围成封闭图形绕旋转所得的旋转体的体积.123.【962 5分】设有一正椭圆柱体，其底面的长短轴分别为，用过此柱体底面的短轴与底面成角的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积.124.【972 8分】设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并满足，又曲线与所围的图形的面积值为，求函数并问为何值时，图形一周所得的旋转体的体积最小.125.【982 8分】设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 126.【00-2 8分】设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形.问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？127.【01-2 7分】设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值.(在直角坐标系下曲率公式为)128.【04-2 12分】曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.(I)求的值; ()计算极限.129【06-2 12分】已知曲线的方程(I) 讨论的凹凸性;(II) 过点引的切线，求切点，并写出切线的方程;(III)求此切线与(对应的部分)及轴所围成的平面图形的面积.130.【072 11分】设是位于曲线下方、轴上方的无界区域.（）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（）当为何值时，最小？并求此最小值.131.【092 10分】设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为，求绕轴旋转所得旋转体体积.132.【142 11分】函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积133.【132 4分】设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为134.【1323 10分】设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。135.【15-2 11分】设，是由曲线段及直线所围成的平面区域，分别表示绕轴与绕轴旋转所成旋转体的体积，若,求的值.【小结】：1.曲线与轴，直线和组成的平面区域的面积为，平面区域绕轴旋转所成的旋转体的体积.2.在极坐标下，曲线与射线和所围成的平面区域的面积.如果曲线本身是闭合的，则一般不会给出上下限和，这种时候可以通过求解不等式求出的范围.3.*（数一、数二）曲线弧长的计算中，弧长微分公式是基本，其它公式都可以看作它的推论.对于数一的考生来说，掌握这个公式还是后面正确理解曲线积分的基础.2物理应用*（数一、数二）136.【9912 6分】为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井里，抓起污泥后提出井口.已知井深，抓斗自重，缆绳每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度为，在提升过程中，污泥以的速度从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功?（说明：（1）；分别表示米、牛顿、秒、焦耳；（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计）137.【031 10分】某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为，）. 汽锤第一次击打将桩打进地下，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数.问（1）汽锤击打桩次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注表示长度单位米）.138.【022 7分】某闸门的形状与大小如图所示，其中直线为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次曲线与线段所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压与闸门下部承受的水压之比为，闸门矩形部分的高应为多少m（米）？139.【102 10分】一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a ，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图), 计算油的质量.（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数） .140.【11-2 11分】一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：，重力加速度为，水的密度为)141.【132 10分】设曲线的方程为，（1）求的弧长；（2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。【小结】：设物体在力及其它力的牵引下沿轴从运动到，力在轴上的分量为，则在该过程中力对该物体做功为.常考题型八：积分恒等式或不等式的证明142.【932 6分】设在上具有连续的导数，且. 证明：，其中.143.【942 9分】设在上连续且单调递减，证明：当时，.144.【043 8分】设在上连续，且满足，.证明：.145.【1423 10分】设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（1） ；（2） 146.【053 8分】设在上的导数连续，且,.证明：对任何,有147.【083 10分】设是周期为的连续函数，（1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为的周期函数参考答案：1.【041 4分】2.【942 3分】,其中为任意常数3.【953 3分】4.【963 3分】5.【983 3分】6.【972 3分】或7.【982 3分】8.【992 3分】9.【931 5分】10.【941 5分】11.【011 6分】12.【922 5分】，其中为任意常数.13.【023 8分】14.【952 5分】15.【962 5分】或16.【962 8分】17.【972 5分】18.【002 5分】19.【012 6分】20.【012 6分】21.【062 10分】22.【0923 10分】23.【11-3 10分】24.【01-2 7分】25.【12123 4分】26.【9412 3分】27. 【11-13 4分】28.【093 4分】29.【9712 3分】30.【022 3分】31.【142 11分】 132.【962 3分】233.【012 3分】34.【141 4分】35.【15-1，2 4分】36.【141,2 4分】1.37.【1013 10-分】(1) ；(2) .38.【023 8分】略39.【121 4分】40.【143 4分】41.【001 3分】42.【071 4分】43.【101 4分】44.【083 4分】45.【993 3分】46.【043 4分】47.【052 4分】48.【921 5分】49.【051 11分】50.【922 5分】51.【932 5分】52.【942 5分】53.【952 8分】54.【962 5分】55.【982 6分】56.【082 9分】57.【09-2 4分】58.【953 6分】59.【002 5分】60.【131 10分】61.【02-2 7分】62.【132 4分】63.【953 3分】64.【15-2 4分】65.【101,2 4分】66.【142 4分】67.【922 3分】68.【021 3分】69.【062 4分】70.【092 4分】71.【002 3分】72.【042 4分】73.【003 3分】74.【932 5分】75.【992 6分】76.【963 6分】77.【97-2 3分】78.【11-2 4分】79.【1313 4分】80.【09123 4分】81.【06-2 4分】82.【981 3分】83.【991 3分】84.【993 6分】85.【971 6分】;在处连续.86.【07-2 10分】.87.【0813 10分】略88.【042 11分】89.【013 3分】90.【132 4分】91.【973 3分】92.【931 3分】93.【971 3分】94