第七章 空间问题的基本理论.doc

第七章 空间问题的基本理论（说明）7-1 平衡微分方程在一般空间问题中，共有15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，而且它们都是x，y，z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在给定约束或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。现在首先来考虑区域内静力学方面条件，导出空间问题的平衡微分方程。在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，而棱边的长度为，图7-1。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后面的正应力是，由于坐标x改变了dx，作用在前面的正应力应当是，余类推。由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。首先，以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程：除以dxdydz，合并相同的项，得。略去微量以后，得。同样可以得出。这些是以前已有的结果，只是又一次证明了切应力的互等性。其次，以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得由其余2个平衡方程，可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后，除以dxdydz，得（7-1）这就是空间问题的平衡微分方程。7-2 物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量 为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，图7-2。当四面体PABC无限减小而趋于P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。命平面ABC的外法线为n，其方向余弦为。设三角形ABC的面积为dS，则三角形BPC，CPA，APB的面积分别为ldS，mdS，ndS。四面体PABC的体积用dV代表。三角形ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用代表。 根据四面体的平衡，平衡得。除以dS，并移项，得当四面体PABC无限减小而趋于P点时，由于dV是比dS更高一阶的微量，所以趋近于零。于是得出下面式（7-2）中的第一式。其余二式可分别由平衡条件同样地得出（7-2）设三角形ABC上的正应力为，则。将式（7-2）代入，并分别用，即得设三角形ABC上的切应力为，则由于而有。 （7-4）由式（7-3）及（7-4）可见，在物体的任意一点，如果已知6个坐标面上的应力分量 ，就可以求得任一斜面上的正应力和切应力。因此，可以说，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC是物体上受面力作用的边界面，则成为面力分量，于是由式（7-2）得出（在上）（7-5）其中是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。*7-3 主应力 最大与最小的应力设经过任一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为将式（7-2）代入，即得（a）此外还有方向余弦的关系式。（b）如果将式（a）与（b）联立求解，能够得出，的一组解答，就得到P点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解，比较方便。将式（a）改写为（c）这是的3个齐次线性方程。因为由式（b）可见不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式应该等于零，即。用，将行列式展开，得的三次方程（7-6）求解这个方程，如果能得出的三个实根，这些就是P点的三个主应力。为了求得与主应力相应的方向余弦，可以利用式（c）中的任意两式，例如其中的前两式。由此得将上列两式均除以，得可以从而解出比值。于是由式（b）得出，并由已知的比值。同样可以求得与主应力相应的，以及与相应的。下面来考察：在受力物体内的任意一点，究意是否存在着主应力？存在着几个主应力？它们之间又有什么关系？我们知道，实系数的三次方程（7-6）至少有1个实根，因而至少存在着1个主应力以及与之对应的应力主面。把这个主应力称为，并将z轴放在这个应力主向，则。于是平行六面体上的应力如图7-3所示（垂直于图平面的没有画出）。根据2-3中的分析，可以断定有两个主应力，作用在互相垂直而且垂直于图平面的两个应力主面上，如图所示。这就证明：在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。三次方程（7-6）又可以写成根式方程，即。（d）将式（d）展开，并与式（7-6）比较项的系数，就有（7-7）显然，在一定的应力状态下，物体内任一点处的主应力不会随着坐标系而改变（尽管应力分量随着坐标系而改变），所以方程（7-7）左边的不会随坐标系而改变，因而右边的，也不会随坐标系而改变。于是可见，在受力物体内的任意一点，三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量（不随坐标系而变的量），并且等于该点的三个主应力之和。可以证明，三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。由此可见在三个主应力相等的特殊情况下，所有各截面上的正应力都相同（也就等于主应力），而切应力都等于零。还可以证明，最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主应力的夹角”的平面上。7-4 几何方程及物理方程现在来考虑空间问题的几何学方面。在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列六个方程，即空间问题的几何方程：（7-8）其中的第一式、第二式和第六式已知2-4中导出，其余三式可用同样的方法导出。此外，在物体的给定约束位移的边界上，位移分量还应当满足下列三个位移边界条件，即空间问题的位移边界条件：。（在上）（7-9）此三式的等号左边是位移分量的边界值，等号右边是该边界上的约束位移分量的已知值。附带说明一下体应变的概念。设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为。在变形之前，它的体积是dxdydz；在变形之后，它的体积将成为。因此，它的每单位体积的体积改变，也就是所谓体应变，是由位移和形变是微小的假定，可略去应变的乘积项（更高阶的微量），则上式简化为（7-10）将几何方程（7-8）中的前三式代入，得（7-11）它表明体应变与位移分量之间的简单微分关系。现在来考虑空间问题的物理学方面。各向同性体中的形变分量与应力分量之间的关系已在2-5中给出如下：（7-12）这是空间问题的物理方程的基本形式，其中形变分量是用应力分量表示的，可用于按应力求解的方法。将式（7-12）中的前三式相加，得。应用式（7-10）并命，则上式可以简写为。（7-13）前面已经说明，是体应变。现在又看到，体应变是和成正比的。因此，也就称为体积应力，而和之间的比例常数也就称为体积模量。为了以后用起来方便，下面来导出物理方程的另一种形式，即，将应力分量用形变分量来表示。由方程（7-12）中的第一式可得求解，得。将由式（7-13）得来的代入，得。对于，也可以导出与此相似的两个方程。此外，再由式（7-12）中的后三式求解切应力分量，总共得出如下的6个方程：（7-14）这是空间问题物理方程的第二种形式，其中应力分量是用形变分量表示的，可用于按位移求解的方法。总结起来，对于空间问题，我们共有15个未知函数：6个应力分量；6个形变分量；3个位移分量u，v，w。这15个未知函数在弹性体区域内应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程（7-1）；6个几何方程（7-8）；6个物理方程（7-12）或（7-14）。此外，在给定约束位移的边界上，还应当满足位移边界条件在给定面力的边界上，还应当满足应力边界条件（7-5）。7-5 轴对称问题的基本方程在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时，宜采用圆柱坐标。这首先是因为，如果以弹性体的对称轴为z轴，图7-4，则所有的应力分量、形变分量和位移分量都将只是和z的函数，不随而变。其次，具有方向性的各物理量应当对称于通过z轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量必然不存在，它们应当等于零。首先来导出轴对称问题的平衡微分方程。用相距的两个圆柱面，互成角的两个铅直面及相距的两个水平面，从弹性体割取一个微小六面体PABC，图7-4。沿方向的正应力，称为径向正应力，用代表；沿方向的正应力，称为环向正应力，用代表；沿方向的正应力，称为轴向正应力，仍然用代表；作用在圆柱面上而沿方向作用的切应力代表，作用在水平面上而沿方向作用的切应力用代表。根据切应力的互等性，=。由于对称性=及=都不存在。这样，总共只有四个应力分量：，一般都是和的函数。如果六面体的内圆柱面上的正应力是，则外圆柱面上的正应力应当是。由于对称，在水平面之内没有增量。如果六面体下面的正应力是，则上面的正应力应当是。同样，内面及外面的切应力分别为及，下面及上面的切应力分别为及。径向的体力用代表，轴向的体力，即方向的体力，用代表。将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上，取及分别近似地等于及1，得平衡方程。归项以后，除以，然后略去微量，得将六面体所受的各力投影到z轴上，得平衡方程。归项以后，除以，然后略去微量，得。于是得空间轴对称问题的平衡微分方程如下：（7-15）现在来导出轴对称问题的几何方程。沿方向的线应变，称为径向线应变，用代表；沿方向的线应变，称为环向线应变，用代表；沿方向的线应变，称为轴向线应变，仍然用代表；方向与方向之间的直角的改变用代表。由于对称，及都等于零。沿方向的位移分量称为径向位移，用代表；沿z方向的位移分量称为轴向位移，用代表。由于对