新青岛版九年级上册数学一图形的相似学案.doc

1 九年级上册数学第九年级上册数学第 1 章图形的相似章图形的相似 1 1 相似多边形相似多边形 学习目标学习目标 1 了解相似形 相似多边形的有关概念和性质 2 能举例说明相似形 能准确的用 符号表示相似多边形的相似及对应关系 3 能说出相似三角形的相似比 能根据相似比求长度 培养学生的运用能力 重点 重点 深刻理解和掌握相似多边形的对应点 对应角 对应边以及表示方式 难点难点 找对应边及对应角 根据定义求线段长和角度 复习旧知 复习旧知 1 什么叫做全等三角形 它在形状上 大小上有何特征 2 两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系 预习效果反馈 预习效果反馈 下面是中华人民共和国国旗 上有五颗五角星 它们形状相同吗 大 小相等吗 在现实生活中 你还见过形状相同 但大小未必相等的图形吗 探究新知 探究新知 1 情境引入情境引入 1 从 08 奥运会游泳馆水立方和自由体操场地中抽象出的两个正方形形状相同吗 2 A BC D A1 B1C1 D1 两个正方形边 角之间的关系如下 角 边 2 以上两个五边形相似吗 利用直尺和量角器想法说明它们是否相似 如果两个多边形相似 那么它们的对应角有什么关系 对应边呢 2 2 生成概念生成概念 定义 叫相似形 定义 叫 做相似多边形 记法 叫做相似比 相似多边形的性质 如果两个多边形相似 那么它们的对应角 对应边 相似多边形面积的比等于 3 3 议一 议一议 议 观察下面两组图形 图中的两个图形相似吗 为什么 3 图中的两个图形相似吗 为什么 如果两个多边形不相似 那么它们的对应角可能都相等吗 对应边可能都成比例吗 你能说出全等形与相似形的关系吗 如何表示多边形相似 记两个多边形相似时 应注意什么 三 深化概念 三 深化概念 1 填空填空 如图所示的两个矩形相似 它们的相似比是 A1D1 A BC D A1 B1C1 D1 2 4 3 2 判断正误 判断正误 错误的请举例说明 1 两个等边三角形一定相似 2 两个全等多边形一定相似 3 各边对应成比例的两个四边形一定相似 4 各角对应相等的两个四边形一定相似 四 精讲例题 四 精讲例题 1 如图 矩形的草坪长 20m 宽 10m 沿草坪四周外围有 1m 的环行小路 小路的 内外边缘所成的矩形相似吗 为什么 4 五 当堂达标检测 五 当堂达标检测 1 两个相似多边形一组对应边分别为 3cm 4 5cm 那么它们的相似比为 A B C D 3 2 2 3 9 4 4 9 2 在矩形 ABCD 中 E F 分别为 AB CD 的中点 如果矩形 ABCD 矩形 EFCB 那么 它们的相似比为 A B C 2 D 2 2 2 2 1 3 一个多边形的边长为 2 3 4 5 6 另一个和它相似的多边形的最长边为 24 则 这个多边形的最短边长为 A 6 B 8 C 12 D 10 4 如图 两个正六边形的边长分别为 a 和 b 它们相似吗 为什么 5 如图所示的相似四边形中 你还能求哪些边和角 试试看 F C E G H B DA 790 16 20 47 1170 32 33 770 6 E F 分别为矩形 ABCD 的边 AD BC 的中点 若矩形 ABCD 矩形 EABF AB 1 求矩形 5 ABCD 的面积 7 梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别为 AB CD 上一点 且梯形 AEFD 梯形 EBCF 若 AD 4 BC 9 试求 AE EB 的值 8 对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗 两个多边形的对应边的比值都相等 这样的两个多边形也是相似多边形吗 试分别举例说明 六六 课堂总结 提高认识课堂总结 提高认识 本节收获 本节不足 教后感 6 1 21 2 怎样判定三角形相似怎样判定三角形相似 1 1 学习目标学习目标 知识与技能 1 初步掌握相似三角形的判定定理 1 并且能够运用它们进行简单的 证明及计算 2 通过习题的引申练习 培养学生解决问题的能力 3 渗透图形运动的思想 培养学生思维能力 过程与方法 经历相似三角形与全等三角形的类比过程 进一步体验类比思想 特殊 与一般的辨证思想 情感态度与价值观 积极参与数学活动 体验数学活动充满探索与创造 形成实事求 是的态度及独立思考的习惯 教学过程教学过程 一 新课讲解 从图 1 可知 当 AD BE CF 且 AB BC 时 则 DE EF 也就是1 BC AB EF DE 接着象教材一样 说明 时 也有 3 2 BC AB 3 2 BC AB EF DE 为有理数时 上面的结论也成立 BC AB 为无理数时 上面的结论也成立 BC AB 综上可得 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 说明 1 画出定理的各种基本图形 对照图形写出相应的结论 2 写出其它的对应线段成比例的情况 对应线段成比例可用下面的语言形象表示 7 等等 右全 左全 右上 左上 全 上 全 上 下 上 下 上 3 由下面的定理的基本图形 1 和 2 得出推论 1 2 3 4 推论推论 平行于三角形一边 并且与其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三平行于三角形一边 并且与其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三 角形的三边对应成比例角形的三边对应成比例 基本图形 基本图形 A 型基本图形 X 型基本图形 二 示例 二 示例 如图 在 ABC 中 EF DC DE BC 问 问 AF AD AD AB 吗 为什么 三 课堂练习 1 已知 如图 10 D E F 分别在 ABC 的边 AB AC BC 上 且 FCED 是平行四 A BC E D F 8 边形 若 BD 7 2 BF 6 AC 8 AD 4 求的周长 2 已知 如图 11 在 ABC 中 D 是 AB 的中点 F 是 BC 延长线上的点 连 结 DF 交 AC 于 E 求证 CF BF CE AE 4 回顾总结 本节收获 本节不足 5 作业 P11 1 2 教后感 9 A B1 B C1 C C1 A BC B1 1 2 1 2 相似三角形的判定 相似三角形的判定 2 2 学习目标学习目标 知识与技能 1 初步掌握相似三角形的判定定理 1 并且能够运用它们进行简单的 证明及计算 2 通过习题的引申练习 培养学生解决问题的能力 3 渗透图形运动的思想 培养学生思维能力 过程与方法 经历相似三角形与全等三角形的类比过程 进一步体验类比思想 特殊 与一般的辨证思想 情感态度与价值观 积极参与数学活动 体验数学活动充满探索与创造 形成实事求 是的态度及独立思考的习惯 学习重点学习重点 相似三角形判定定理 1 学习难点学习难点 理解相似三角形判定 1 的探究过程 并能归纳出 两角对应相等 两三 角形相似 学习过程学习过程 一 创设问题情境 一 创设问题情境 在图一 图二中 即在相似三角形的预备定理中我们知道 由于 BC B1C1 ABC A B1 C1 图一 图二 若将 A B1 C1旋转一定的角度或将 AB1与 AC 边重合 将 AC1边与 AB 重合 如图三 图 四 而 ABC 与 AB1C1由于只改变了 AB1C1的位置 所以 ABC 与 AB1C1肯定仍然相 10 A B C A B C C1 B1 A BC A BC C1 B1 似 那么 用什么方法可以判定两个三角形的相似 图三 图四 判定方法一 结合图形用数学符号语言表示 A A B B ABC A B C 二 精讲例题二 精讲例题 例 1 已知 ABC 和 DEF 中 A 40 B 80 E 80 F 60 求证 ABC DEF 11 1 A B C E D 例 2 自学课本 13 页例 1 三 自我训练三 自我训练 1 下列三角形中哪些是相似的 2 若 4 与 1 相似 求 A 的度数 3 已知 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 且 1 B 1 求证 ADE ABC 2 若 A 50 C 70 求 1 的度数 3 若 AE 4 BE 2 求 AC 的长 1 40 65 2 40 75 4 65 3 45 65 12 四 知识拓展四 知识拓展 如图所示 在直角三角形 ABC 中 C 90 能否过直角三角形的一个顶点画一条直线 l 使分成的两个三角形相似 若没有可能 请说明理由 若有可能 请画出图形 并加 以说明 五 小结五 小结 1 知识上的收获 2 数学思想方法的领悟 3 能力上的提高 4 谈谈学习过程的体验和感受 也可以对本堂课进行质疑 六 当堂测试六 当堂测试 1 判断题 1 两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形 2 两个等腰直角三角形是相似三角形 3 底角相等的两个等腰三角形是相似三角形 4 两个直角三角形一定是相似三角形 5 一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似 A C B 13 A BC 75 66 75 5 5 5 5 55 5 55 30 40 A B CD 6 有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形 7 有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形 8 三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似 9 所有的正三角形都相似 10 两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似 2 填空 填上 不 不一定 或 一定 两个等腰三角形都有一个角为 45 这两个等腰三角形 相似 如果都有一 个角为 95 这两个等腰三角形 相似 3 已知 ABC 如右图 则下列 4 个三角形中 与 ABC 相似的是 4 如图 分别为 的中点 交于点 则 ADE 相似比 K1 ODE 5 如图 点 C D 在线段 AB 上 且 PCD 是等边三角 形 1 当 AC CD DB 满足怎样的关系时 ACP PDB 2 当 PDB ACP 时 试求 APB 的度数 教后感 O ED CB A 14 30 36 54 45 FE C B A 1 2 1 2 怎样判定三角形相似 怎样判定三角形相似 3 3 学习目标学习目标 1 知识目标 通过激励 引导 类比 讨论 使学生自己发现 总结相似三角形 判定的第二预备定理和三角形相似的判定定理 1 2 能力目标 在课堂教学过程中 培养学生深入思考 适当变式和思维发散的能 力 使学生感受数学对称美 发展学生创造性 3 情感 态度与价值观 培养学生积极的思考 动手 观察的能力 使学生感悟 几何知识在生活中的价值 重难点 关键重难点 关键 1 重点 会应用相似三角形的两个判定方法 2 难点 怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似 3 关键 抓住判定方法的条件 通过已知条件的分析 把握图形的结构特点 学习过程学习过程 一 自主探究一 自主探究 1 阅读教材 14 页观察与思考 总结相似三角形的判定方法二 2 2 证明图中 AEB 和 FEC 相似 二 自我训练二 自我训练 15 在 ABC 中 E 是 AB 上一点 D 是 AC 上一点 AE 6cm AC 15cm AD 8cm AB 20cm 求证 AED ACB 三 合作互动合作互动 阅读教材 16 页观察与思考 总结相似三角形的判定方法三 四 精讲例题四 精讲例题 自学 17 页例 3 写出解题过程 五 拓展延伸五 拓展延伸 如图 已知 Q 是正方形 ABCD 中 CD 边的中点 P 是 BC 边上一点 且 BP 3PC 请问 DAQ 是否与 PQC 相似 说明理由 Q D CPB A 当堂达标训练当堂达标训练 一 填空题 CB A D E 16 1 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AB AC 上 已知 AB 6 AC 9 BC 12 AD 3 AE 2 那么 DE 2 一个直角三角形的两边长分别为 3 和 6 另一个直角三角形的两边长分别为 2 和 4 那 么这两个直角三角形 相似 填 一定 不一定 或 一定不 二 选择题 1 已知相同时刻的物高与影长成比例 如果一电线杆在地面上的影长为 50m 同时 高 为 1m 的测杆的影长为 2m 那么电线杆的高度为 A 100m B 50m C 48m D 25m 2 在 ABC 中 BC 5cm CA 45cm AB 46cm 另一个与它相似的三角形的最短边是 15cm 则最长边是 A 138cm B cm C 135cm D 不确定 3 46 3 ABC 中 D E F 分别是在 AB AC BC 上的点 DE BC EF AB 那么下列各式 正确的是 A B C D DB AD EC BF AC AB FC EF DB AD FC BF EC AE BF AD 4 在 ABC 中 AB AC A 36 ABC 的平分线交 AC 于 D 则构成的三个三角形中 相似的是 A ABD BCD B ABC BDC C ABC ABD D 不存在 5 下列判断中 正确的是 A 有一个角为 30 的两个等腰三角形相似 B 邻边之比都等于 2 的两个平行四边形相似 C 底角为 40 的两个等腰梯形相似 D 有一个角为 120 的两个等腰三角形相似 三 解答题 1 已知 ABC CDB 90 AC a BC b 当 BD 与 a b 之间满足怎样的 17 关系时 ABC CDB 10 分 2 以各小正方形的顶点为顶点的三角形称为格点三角形 如图中的 ABC 请在图中画出 与 ABC 相似但不全等的三角形 课堂总结 提高认识课堂总结 提高认识 1 教师提问 1 相似三角形的判定有几种方法 如何选择这些方法 2 相似三角形具有哪些性质 通常可以用来证明哪些问题 3 你通过这两节课内容的学习 在推理方面是否有提高 2 归纳 判定三角形相似的主要思路 1 有两对边成比例的 一般有两个途径 一是夹角相等 二是找第三边成比 例 2 有一对等角的 一般有两个途径 一是找另一对等角 二是找到夹边成比 例 教后感 B A C 18 1 2 1 2 怎样判定三角形相似 怎样判定三角形相似 4 4 学习目标学习目标 1 通过测量建筑物的高度的活动 巩固相似三角形有关知识 积累数学 活动的经验 2 熟悉测量工具的使用技能 了解小镜子使用的物理原理 学习重点学习重点 1 测量建筑物高度的数学依据 2 有序安排测量活动 学习难点学习难点 镜子的适当调节 工具准备工具准备 小镜子 标杆 皮尺等测量工具各 3 套 1 预习导航预习导航 数学知识和现实生活息息相关 利用数学知识可以使问题简单化 比如 我不过河 就能知道河的宽度 不上树 就能求出树的高度 不去田地 就 能测出田地的面积 不入敌营 就能歼灭敌人 解决这些问题需要今天所讲 的知识 方法 1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度 原理是什么 需要测出哪些数 据 1 需要测出哪些数据 2 证明原理 19 方法 2 利用镜子的反射 测量旗杆的高度 1 可以测出哪些数据 2 证明原理 二 小组活动二 小组活动 要求 每小组中有观测员 测量员 记录员 运算员 复查员 活动内容 测量我校操场上的旗杆高度 方法 1 利用阳光下的影子 具体操作 每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处 其他同学分为两组 一 组测量该同学的影长 另一组测量同一时刻旗杆的影长 根据测量数据 求出旗杆的高 度 方法 2 利用标杆 具体操作 每个小组选一名同学作为观测者 在观测者与旗杆之间的地 20 面上直立一根高度适当的标杆 观测者适当调整自己所处的位置 当旗杆的 顶部 标杆的顶端 观测者的眼睛恰好在一条直线上时 其他同学立即测出 观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的脚到标杆底部的距离 然后测出 标杆的高 根据测量数据 求出旗杆的高度 要求 观测者眼 标杆顶端 旗杆顶端 三点共线 标杆与地面要 垂直 方法 3 利用镜子的反射 具体操作 每个小组选一名同学作为观测者 在观测者与旗杆之间的地面上平放一 面镜子 在镜子上做一个标记 观测者看着镜子来回移动 直至看到旗杆顶端在镜子中 的像与镜子上的标记重合 测量所需的数据 根据所测的结果求出旗杆的高度 三 数据统计三 数据统计 方法一方法二方法三 讨论下列问题 1 你还有哪些测量旗杆高度的方法 2 通过上表对照说明测量数据的误差情况 以及测量方法的优劣性 总 结今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点 四 课堂练习四 课堂练习 1 小刚测得 1m 高的标杆在太阳光下的影长为 0 6m 同时又测得一颗树的影长为 6m 请你计算出这棵树的高度 21 2 如图 在距离 AB 18 米的地面上平放着一面镜子 E 人退后到距镜子 2 1 米的 D 处 在镜子里恰看见树顶 若人眼距地面 1 4 米 求树高 D B A C E 3 如图 A B 两点分别位于一个池塘的两端 小芳想用绳子测量 A B 两点之间的距 离 但绳子的长度不够 一位同学帮她想了一个主意 先在地上取一个可以直接到达 A B 点的点 C 找到 AC BC 的中点 D E 并且 DE 的长为 5m 则 A B 两点的距 离是多少 C B A E D 4 活动与探究 雨后初晴 同学们在操场上玩耍 可看到积水中的影子 你能否利用积 水测量旗杆的高度 其中原理是什么 借鉴课本中测量旗杆的高度的方法 2 22 教后感 教后感 1 3 1 3 相似三角形的性质相似三角形的性质 一 教学目标一 教学目标 知识与技能 知道相似三角形的性质 能应用性质解决简单问题 过程与方法 经历相似三角形各条性质的简单推理过程 进一步深化对相似三角形的 认识 情感态度价值观 经历讨论与交流 猜想与验证 发展说理习惯与能力 在观察 操作 推理 归纳等探索过程中 发展合理推理能力 提高学习数学的兴趣和自信 心 二 教学重难点二 教学重难点 重点 相似三角形的性质 难点 探究相似三角形的性质 授课授课 一 复习引入 1 师 什么叫相似三角形 相似比指的是什么 找两个基础差一点的 学生 2 师 全等三角形是相似三角形吗 全等三角形的相似比是多少啊 此问题可以设为让学生抢答 3 师 相似三角形的判定方法有哪些 此问题让多个同学补充回答 4 学生小组讨论 全等三角形除对应角 对应边相等外 其它元素如对 应高 对应中线 对应角平分线 对应周长 对应面积也相等 23 学生和老师一起总结 类比全等三角形的定义已知相似三角形具有性质 对应角相等 对应边成比例 师 相似三角形还有其它的性质吗 本节我们就来探索相似三角形的其 它性质 板书课题 相似三角形的性质 二 做一做 根据图中标的数据 解答下列问题 F A BC D E 1 5 2 3 4 师 1 这两个三角形相似性相似吗 如果相似 相似比是多少 让 学生把证明相似的方法说出来 找中等的同学 师 2 求这两个三角形周长的比 小组合作 找代表回答 师 3 求这两个三角形面积的比 小组合作 找代表回答 三 一起探究合作探究 看大屏幕 引出一般的相似三角形 例如 ABC A B C 相似比AB A B k AD A D 分别为 BC B C 边上的高 1 对应高AD A D 与相似比 k 之间有什么关系 C D B A A BC D 小组讨论 找基础好一点的同学详细的说明解答过程 不足之处再让 其他的同学补充 老师给出答案 你是这样想的吗 24 ABD和 A B D 都是直角三角形 而 B B 因为有两个角对 应相等 所以这两个三角形相似 那么 师 由此可以得出结论 生 相似三角形对应高的比等于相似比 生 相似三角形对应高的比等于相似比 师 和全等三角形类似我们可以把对应高改成 哪些对应元素 小组讨论 生 生 变化一 如果把对应的高改为对应边上的中线 变化一 如果把对应的高改为对应边上的中线 变化二 如果把对应的高改为对应角的角平分线 变化二 如果把对应的高改为对应角的角平分线 此处两个变花的证明过程都由学生来完成 图中 ABC和 A B C 相似 AD A D 分别为对应边上的中线 BE B E 分别为对应角的角平分线 那么它们之间与相似比有什么关系呢 可以得到的结论是 可以得到的结论是 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 对应中 线的比也等于相似比 师 我们还可以想到那些对应元素与相似比之间还有关系呢 学生思考 有能力的同学主动站起来回答 老师给予一定的肯定和帮助 2 相似三角形的周长比与相似比有什么关系 k BA AB DA AD 25 ABC A B C ABC A B C ACCBBA CABCAB CACBBA CkACkBBkA k 生集体回答 结论 结论 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比 3 相似三角形的面积比与相似比有什么关系 解 作 AD BC 于点 D A D B C 于点 D ABC A B C k CB BC DA AD 相似三角形对应高的比等于相似比 CBA ABC S S 2 1 2 1 DACB ADBC C D B A A BC D DA AD CB BC 2 kkk 生 结论 生 结论 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 四 练习 k AC CA CB BC BA AB k C C CBA ABC CkAACCkBBCBkAAB 26 课堂学习自我检查 基础差的同学读一遍题 简单题让他们来回答 1 如果两个三角形相似 相似比为 3 5 则对应角的角平分线的比等于多 少 2 相似三角形对应边的比为 0 4 那么相似比为 对应角的角 平分线的比为 周长的比为 面积的比为 3 把一个三角形改成和它相似的三角形 如果某一条边扩大到原来的 100 倍 那么周长扩大到原来的 倍 4 如图 在正方形网格上有 A1B1C1 和 A2B2C2 这两个三角形相似吗 如果相似 求出 A1B1C1 和 A2B2C2 的面积比 5 如图 点 D E 分别是 ABC 边 AB AC 上的点 且 DE BC BD 2AD 那么 ADE 的周长 ABC 的周长 ADE 的面积 ABC 的面积 6 如图 这是按 1 1000 的比例画出的一块三角形草坪的图形 草坪的实际 面积是多少 平方米 C C A A B B 3cm 2cm 7 ABC A B C 相似比为 3 4 ABC 的周长是 24cm A B C 的周长是 五 小结 第 4 题 27 教后感 1 4 1 4 图形的位似 图形的位似 1 1 一 学习目标 1 知道位似图形及其有关概念 知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比 2 利用图形的位似解决一些简单的实际问题 并在有关的学习和运用过程中发展 自己的数学应用意识和动手操作能力 二 学习重点 难点 二 学习重点 难点 重点 利用位似图形的定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运 用 难点 判断位似图形 三 学习过程 1 在我们生活中经常见到很多这样一类相似的图形 比如 相底上的景与其洗出 相片上的景 放映机通过光把幻灯片上的图放大到屏幕上等等 不管是放大的还是缩小 的都没有改变图形形状 与原图形是相似的 2 请观察下列图形 并归纳有什么特征 B C A D D A C B O D A C B O D A C B D A C B O 3 位似图形 位似图形 如果两个多边形不仅 而且对应顶点的连线 对应边 像这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做 4 位似图的性质 位似图的性质 28 1 对应线段 2 任意一对对应点和位似中心在 它们到位似中心的距离之比等于 5 利用位似将图形放大或缩小 利用位似将图形放大或缩小 例如 以 O 为位似中心 把 ABC 放大 2 倍 以 O 为位似中心 把 ABC 缩小到原来的 1 2 6 练习 练习 1 如图 D E 分别是 AB AC 上的点 1 如果 DE BC 那么 ADE 和 ABC 是位似图形吗 为什么 2 如果 ADE 和 ABC 是位似图形 那么 DE BC 吗 为什么 2 下列说法中正确的是 A 位似图形可以通过平移而相互得到 B 位似图形的对应边平行且相等 C 位似图形的位似中心不只有一个 D 位似中心到对应点的距离之比都相等 3 下列图形中位似中心在图形上的是 O B C A O B C A O B C A O B C A A DE CB 29 E 2 如图 正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位 似变换得到的 若 2 3AB FG 则下列结论正确的是 A 23DEMN B 32DEM