浙江高考数学复习专题五函数与导数、不等式第2讲不等式问题学案.docx

第2讲不等式问题高考定位1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大真 题 感 悟 1(2016浙江卷)已知实数a，b，c()A若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100B若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100C若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100D若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100解析由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项对选项A，当ab10，c110时，可排除此选项；对选项B，当a10，b100，c0时，可排除此选项；对选项C，当a10，b10，c0时，可排除此选项故选D.答案D2(2018北京卷)能说明“若ab，则b，但是，故答案可以为1，1.(答案不唯一，满足a0，b0，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号答案4(2018浙江卷)若x，y满足约束条件则zx3y的最小值是_，最大值是_解析由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值zmin462，最大值zmax268.答案285(2017浙江卷)已知aR，函数f(x)|xa|a在区间1，4上的最大值是5，则a的取值范围是_解析当x1，4时，x4，5，下面对a分三种情况讨论：当a5时，f(x)axa2ax，函数的最大值为2a45，解得a(舍去)；当a4时，f(x)xaax5，此时满足题意；当4a5时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则或解得a或4a.综上，a的取值范围是.答案考 点 整 合1简单分式不等式的解法(1)0(0)f(x)g(x)0(0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.2(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；讨论根与定义域的关系(2)四个常用结论ax2bxc0(a0)恒成立的条件是ax2bxc0(a0)恒成立的条件是af(x)恒成立af(x)max.af(x)恒成立af(x)min.3利用基本不等式求最值已知x，yR，则(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2(xy22)4二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值5|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想6不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一利用基本不等式求最值 考法1基本不等式的简单应用【例11】 (1)若直线1(a0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_(2)已知函数f(x)2x，若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，则实数m的最大值为_解析(1)直线1(a0，b0)过点(1，2)，1(a0，且b0)，则2ab(2ab)4428，当且仅当，即a2，b4时上式等号成立因此2ab的最小值为8.(2)由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，m对于xR恒成立又f(x)24，且4，m4，故实数m的最大值为4.答案(1)8(2)4探究提高1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得2特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错考法2带有约束条件的基本不等式问题【例12】 (1)已知两个正数x，y满足x4y5xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为()A5，5 B10， C10，5 D10，10(2)(2018学军中学模拟)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析(1)x0，y0，x4y5xy25，即xy450，可求xy25，当且仅当x4y时取等号，即x10，y.(2)4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，(2xy)21，解之得(2xy)2，即2xy.等号当且仅当2xy0，即x，y时成立答案(1)B(2)探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解【训练1】 (1)若a，bR，ab0，则的最小值为_(2)已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_解析(1)a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号(2)设等比数列an的公比为q，a7a62a5，a5q2a5q2a5，q2q20，解得q2或q1(舍去)4a1，平方得2mn21624，mn6，(mn)(54)，当且仅当，即n2m，亦即m2，n4时取等号答案(1)4(2)热点二含参不等式恒成立问题考法1分离参数法解决恒成立问题【例21】 (1)关于x的不等式x1a22a0对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围为_(2)已知x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围是_解析(1)设f(x)x，因为x0，所以f(x)x24.又关于x的不等式x1a22a0对x(0，)恒成立，所以a22a14，解得1a3，所以实数a的取值范围为(1，3)(2)要使(xy)2a(xy)10恒成立，则有(xy)21a(xy)，即a(xy)恒成立由xy3xy，得xy3xy，即(xy)24(xy)120，解得xy6或xy2(舍去)设txy，则t6，(xy)t.设f(t)t，则在t6时，f(t)单调递增，所以f(t)t的最小值为6，所以a，即实数a的取值范围是.答案(1)(1，3)(2)探究提高对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.考法2函数法解决恒成立问题【例22】 (1)已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围为_(2)已知二次函数f(x)ax2x1对x0，2恒有f(x)0.则实数a的取值范围为_解析(1)法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa，当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得2a1.1a1.综上所述，所求a的取值范围为3a1.法二设g(x)f(x)a，则g(x)x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.(2)法一函数法若a0，则对称轴x0，故f(x)在0，2上为增函数，且f(0)1，因此在x0，2上恒有f(x)0成立若a0，则应有f(2)0，即4a30，a.a0.综上所述，a的取值范围是a且a0.法二分离参数法当x0时，f(x)10成立当x0时，ax2x10变为a，令g(x).当时，g(x).a，a.又a0，a的取值范围是a且a0.答案(1)3，1(2)(0，)探究提高参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题【训练2】 (1)若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_(2)已知不等式|a2a|对于x2，6恒成立，则a的取值范围是_解析(1)因为a2，2，可把原式看作关于a的函数，即g(a)xax210，由题意可知解之得xR.(2)设y，y0，故y在x2，6上单调递减，即ymin，故不等式|a2a|对于x2，6恒成立等价于|a2a|恒成立，化简得解得1a2，故a的取值范围是1，2答案(1)R(2)1，2热点三线性规划问题【例3】 (1)(2017浙江卷)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0，6 B0，4 C6，) D4，)(2)(2018金华一中模拟)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示由解得A(2，1)线性目标函数zx2y在点A处取得最小值4，无最大值(2)由约束条件画出可行域(如图所示的ABC及其内部)，由得A(1，2a)，当直线2xyz0过点A时，z2xy取得最小值，所以1212a，解得a.答案(1)D(2)B探究提高对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可【训练3】 (1)(2018北京卷)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_(2)(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析(1)法一x1y2x表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z2yx，易知z2yx在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.法二由题意知则2yx3(xy)(2xy)3，所以2yx的最小值为3.(2)作出可行域为如图所示的ABC所表示的阴影区域，作出直线3x2y0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z3x2y取得最大值，且zmax32206.答案(1)3(2)6热点四绝对值不等式的综合应用【例4】 (2016浙江卷)已知a3，函数F(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中minp，q(1)求使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)；求F(x)在区间0，6上的最大值M(a)解(1)由于a3，故当x1时，(x22ax4a2)2|x1|x22(a1)(2x)0，当x1时，(x22ax4a2)2|x1|(x2)(x2a)所以使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围是2，2a(2)设函数f(x)2|x1|，g(x)x22ax4a2，则f(x)minf(1)0，g(x)ming(a)a24a2，所以，由F(x)的定义知m(a)min，即m(a)当0x2时，F(x)f(x)max2F(2)当2x6时，F(x)g(x)maxmaxmax.所以M(a)探究提高1.处理函数问题，数形结合和分类讨论是最常见的思想方法，准确地画出图象可以回避许多冗长的计算，从而直指问题的核心最值函数是浙江省高考的特色2高考对函数的考查主要集中在两个方面，在知识方面一般考查求函数的最值，研究函数的零点、单调性等问题；在思想方法上一般考查分类讨论思想和数形结合思想【训练4】 (2017浙江五校联考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，记M(a，b)是|f(x)|在区间1，1上的最大值(1)证明：当|a|2时，M(a，b)2；(2)当a，b满足M(a，b)2时，求|a|b|的最大值(1)证明由f(x)b，得对称轴为直线x.由|a|2，得|1，故f(x)在1，1上单调，所以M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.当a2时，由f(1)f(1)2a4， 得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.综上，当|a|2时，M(a，b)2.(2)解由M(a，b)2得|1ab|f(1)|2，|1ab|f(1)|2，故|ab|3，|ab|3.由|a|b|得|a|b|3.当a2，b1时，|a|b|3，且|x22x1|在1，1上的最大值为2，即M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为3.1多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法2基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用3解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决4解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等)在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1(2018天津卷)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由，得0x1，所以0x31；由x31，得x1，不能推出0x1.所以“”是“x31”的充分而不必要条件故选A.答案A2已知a2，b3，c25，则()Abac BabcCbca Dcab解析a2，b3，c25，所以bac.答案A3(2018天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A6 B19 C21 D45解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线yx，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2，3)，所以zmax325321，故选C.答案C4(2016浙江卷)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0解析由a，b0且a1，b1，及logab1logaa可得：当a1时，ba1，当0a1时，0ba1，代入验证只有D满足题意答案D5已知当x0时，2x2mx10恒成立，则m的取值范围为()A2，) B(，2C(2，) D(，2)解析由2x2mx10，得mx2x21，因为x0，所以m2x.而2x22.当且仅当2x，即x时取等号，所以m2.答案C6(2018杭州质检)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x4y5axbyc3x4y5，则()Aabc的最小值为2Babc的最小值为4Cabc的最大值为4Dabc的最大值为6解析由题意可得5(a3)x(b4)yc5恒成立，所以a3，b4，5c5，则2abc12，即abc的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；6abc4，则abc的最小值是6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.答案A7(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)解析当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x1的x的取值范围是_解析当x0时，f(x)f(x1)，原不等式化为2x1，解得x0；当01，该式恒成立；当x时，f(x)f 2x2x，又x时，2x2x22011恒成立综上可知，不等式的解集为.答案11(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又目标函数zxy，结合图象易知y3x3z过直线x2与直线x2y40的交点A(2，3)时，zxy取得最大值，即zmax233.答案312(2017北京卷改编)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的最小值为_，最大值为_解析法一x0，y0且xy1，2xy1，当且仅当xy时取等号，从而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21.法二可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围AB