平面向量的数量积.doc

平面向量的数量积一周强化一、一周知识概述平面向量的数量积是平面向量的重要内容之一，其难点是数量积定义的正确理解，以及运算律的证明与正确使用通过本节的学习，使同学们知道数量积是向量之间的乘法，与数的乘法是有区别的，数乘向量为向量，平面向量的数量积是数量.二、知识归纳1、平面向量数量积及相关概念（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a和b的数量积（内积），记作ab，即ab=|a|b|cos.（2）向量的夹角：如图所示，已知两个非零向量a和b，作则AOB=（0180）叫作向量a和b的夹角.当a、b同向时，=0；当a、b异向时，=180. （3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2、数量积的重要性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与e的夹角，根据定义可推得如下性质.（1）ea=ae=|a|cos.（2）当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特别地，aa=|a|2，或.（3）当ab时，ab=0；反之也成立，即.（4）（向量夹角的公式）.（5）| ab |a|b|.3、向量数量积的运算律交换律ab = ba与实数相乘的结合律（a）b =（ab）= ab分配律（ab）c= acbc4、向量垂直的充要条件向量式ab坐标式ab三、难点剖析1、关于平面向量的数量积的定义及几何意义，要注意：（1）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆. a、b中的点“”一般不能省略.（2）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角范围是0180.（3）当a0时，由ab =0不能推出b一定是零向量，这是因为任意一个与a垂直的非零向量b，都有ab =0.这由向量的几何意义就可以理解.2、向量的数量积的性质有，因此，用平面向量的数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题.3、关于向量数量积的运算性质，要注意：（1）二向量的数量积不是向量而是数量.要准确区分二向量数量积的运算性质与数乘向量、实数与实数的积之间的差异.（2）若a、b、c（b0）为实数，则，但对于向量就不正确，即.（3）数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即（ab）c不一定等于a（bc）.这是由于（ab）c表示一个与c共线的向量，而a（bc）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.也就有a（bc）与（ab）c不一定相等.四、例题讲解例1、已知：|a|=3，|b|=6，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.分析：ab时，若a与b同向，则它们的夹角=0，ab =| a | b|cos0=361=18；若a与b反向，则它们的夹角=180，ab =| a | b|cos180=36（1）=18；ab时，它们的夹角=90，ab =0；a与b的夹解是60时，有例2、已知a、b都是非零向量，且a3 b与7a5 b垂直，a4 b与7a2 b垂直，求a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，只要求出ab与| a |，| b|即可.解：由已知（a3b）（7a5 b）（a3b）（7a5 b）=07a216ab15b2=0又（a4 b）（7a2 b）（a4 b）（7a2 b）=07a230ab8b2=0得：46 ab=23b2即有，将它代入可得：7|a|28|b|215|b|2=0即|a|2=|b|2有|a|=|b| 若记a与b的夹角为，则，又0，180，=60，