全国高考数学复习导数在研究函数中的应用第五课时利用导数研究函数零点专题习题理.docx

第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图象研究函数零点1利用函数性质研究函数零点3,4构造函数研究函数零点21.导学号 18702145已知函数f(x)=-ln x+ax2+bx.(1)若b=1-a,讨论f(x)的单调性;(2)若a=0时函数有两个不同的零点,求实数b的取值范围.解:(1)若b=1-a,则f(x)=-ln x+ax2+(1-a)x,f(x)=-+ax+1-a=(x0).()当a0时,x(0,1),f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增.()当a1,即-1a0时,x(0,1)或x(-,+)时,f(x)0,f(x)单调递增.当-1,即a-1时,x(0,-)或x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增.当-=1,即a=-1时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减,综上当a0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当-1a0时,f(x)在(0,1),(-,+)上单调递减,在(1,-)上单调递增;当a-1时,f(x)在(0,-),(1,+)上单调递减,在(-,1)上单调递增;当a=-1时,f(x)在(0,+)上单调递减.(2)若a=0,f(x)=-ln x+bx,令f(x)=0,得b=.设g(x)=,则g(x)=,所以当0x0;当xe时,g(x)e时,g(x)0恒成立;当0x1时,g(x)0,所以(x)在(0,+)上单调递增,由零点存在定理, (x)在(0,+)至多一个零点,与题设发生矛盾.(2)当a0即可,得a2,又因为a0,所以-a0,所以当m0时,函数f(x)的单调递增区间为R.当m0,即ex+m0,可得xln(-m),令f(x)0,即ex+m0,可得xln(-m),所以当m0).易得g(x)=-1,令g(x)0,可得0x1,令g(x)1,故g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值.即g(x)g(1)=-1,所以|g(x)|1.令h(x)=+,所以h(x)=,令h(x)0,可得0xe,令h(x)e,故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值.所以h(x)h(e)=+0(x0),所以函数f(x)在(-,+)上单调递增;当a0时,x(-,-)(0,+)时,f(x)0,x(-,0)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,-),(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减;当a0,x(0,-)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,0),(-,+)上单调递增,在(0,-)上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-)=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f(-)=b(a3+b)0时,a3-a+c0或当a0时,a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-,-3)(1,)(,+),则在(-,-3)上g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-10,且g()=c-10,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根