高中数学 第1章 计数原理章末归纳总结课件 北师大版选修23.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 3 计数原理 第一章 章末归纳总结 第一章 排列与组合 以计数问题为特征 是组合数学的最初步的知识 内容独特 应用广泛 是学习概率与统计知识的预备知识 而且思想方法较为独特灵活 也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材 教材首先研究了分类与分步计数原理 并将原理的应用贯穿于全章学习的始终 两个原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法 将问题分类和分步解决 教材以两个基本原理为基础 介绍了排列 组合的概念 排列数公式 组合数公式及其在计算问题上的应用 然后运用分步计数原理推导了二项式定理 同时通过研究二项式系数的性质深化对组合数的认识 1 两个计数原理与排列 组合两个原理不仅是推导排列数公式与组合数公式的基础 而且应用贯穿本章的始终 两个原理的区别在于 分类计数原理与分类有关 分步计数原理与分步有关 排列与组合主要研究从不同元素中 任取部分或全部元素进行排列或组合 求共有多少种方法的问题 区别二者的关键是看是否与顺序有关 4 数学思想与方法 1 分类讨论与 正难则反 思想 分类讨论是本章最基本的数学思想 在分析较复杂的排列 组合问题时 对问题分类讨论是基本的策略 在分类时 一定要注意不重不漏 若分类讨论种类较多 可利用 间接法 将具体问题抽象为排列问题或组合问题 是解排列 组合应用题的关键一步 1 正确分类或分步 恰当选择两个计数原理 2 有限制条件的排列组合问题应优先考虑 受限元素 或 受限位置 而排列组合讨论的问题共同点是 元素不相同 不同点是排列与顺序有关 组合与顺序无关 1 特殊元素特殊位置 优先安排法 对于带有特殊元素或特殊位置的排列组合问题 一般应先考虑特殊元素或特殊位置 再考虑其他元素 排列与组合应用题求解策略 有1 2 3 4 5这五个数字 可以组成比20000大 并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数 共有 个 2 总体淘汰法对于含有否定字眼的问题 还可以从总体中把不符合要求的除去 此时应注意既不能多减也不能少减 2013 山东理 10 用0 1 9十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 a 243b 252c 261d 279 3 合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题 应按元素的性质进行分类 按事情发生的连续过程分步 做到分类标准明确 分步层次清楚 不重不漏 将5列车停在5条不同的轨道上 其中a列车不停在第一轨道上 b列车不停在第二轨道上 那么不同的停放方法有 a 120种b 96种c 78种d 72种 答案 c 4 混合应用问题 先选后排法 对于排列与组合的混合问题 可采用先选出元素 然后再进行排列的方法 从班委会5名成员中选出3名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 5 相邻问题 捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题 可先将相邻的元素 捆绑 起来 看作一个 大 元素与其他元素排列 然后再对相邻元素内部之间进行排列 a b c d四人排成一排 a b必须相邻的排法有 种 6 不相邻问题 插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题 可先将其他元素排好 然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可 7个人站成一排照相 要求甲 乙 丙两两不相邻有多少种排法 7 等价转化法一些常见类型方法为自己熟知之后 对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题 或者有些问题从正面入手情况较多 不易解决 这时可考虑能否进行等价转化 从反面入手 或构造模型 将其转化为一个较简单的问题来处理 马路上有12只路灯 为节约用电又不影响正常的照明 可把其中的三只灯关掉 但不能同时关掉相邻的两只或三只 也不能关掉两端的路灯 那么满足条件的关灯方法共有 种 8 顺序固定问题用 除法 或 自动上位法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其他元素一同进行排列 然后用总排列数除以这几个元素的全排列数 今有2个红球 3个黄球和4个白球 同色球不加以区分 将这9个球排成1列 有 种不同的方法 用数字作答 9 构造 隔板 模型法对相同元素的有序分组问题 可通过设计另一情景 构造一个 隔板 模型来帮助解决问题 高一年级7个班级要组成年级篮球队 共需10名队员 每个班至少要出一名 则不同的组成方式共有多少种 点评 本题还有其他很多不同的叙述方式 如 某运输公司中有7个车队 每个车队的车都多于4辆且型号相同 现要从这7个车队中抽出10辆车组成运输队 每个车队至少抽1辆车 则不同的抽法有多少种 10 小团体 问题 先整体后局部法 对于 小团体 排列问题 与 相邻问题 相似 可先将小团体看作一个元素与其余元素排列 最后再进行小团体内部的排列 7人站成一排照相 要求甲 乙之间恰好间隔2人的站法有多少种 二项式定理关键是掌握通项公式及展开规律 利用赋值法或待定系数法求解 1 利用通项公式求展开式的特定项或特定项的系数 二项式定理及其应用 2 二项式系数的性质的应用在二项式 x 1 11的展开式中 系数最小的项的系数为 结果用数值表示 2 2x 6 a0 a1x a2x2 a6x6 那么a1 a2 a6的值等于 a 26b 26c 24d 24 解析 令x 0 则有 2 2 0 6 a0 a0 26 再令x 1 则有 2 2 1 6 a0 a1 a2 a6 a0 a1 a2 a6 0 a1 a2 a6 0 a0 26 答案 a 点评 求展开式中各项系数的和的一个有效方法是赋值代入 3 利用二项式定理证明整除问题或近似计算求证 32n 2 8n 9 n n 能被64整除 分析 可将32n 2写成 8 1 n 1 然后利用二项式定理展开 点评 利用二项式定理证明有关多项式的整除问题 关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式 使其展开后的各项均含有除式 一 选择题1 某小组共有10名学生 其中女生3名 现选举2名代表 则至少有1名女生当选的不同的选法有 a 27种b 48种c 21种d 24种 答案 d 2 从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作 若这3人中至少有1名女生 则选派的方案共有 a 108种b 186种c 216种d 270种 答案 b 3 2013 全国大纲理 7 1 x 8 1 y 4的展开式中x2y2的系数是 a 56b 84c 112d 168 答案 d 二 填空题4 2013 四川理 11 二项式 x y 5的展开式中 含x2y3的项的系数是 用数字作答 答案 10 5 有n个球队参加单循环足球赛 其中两个队各比赛了三场就退出了比赛 这两队之间