启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题 Word版含解析

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学试卷（测试内容：三角、平面向量、复数）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1.若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为_.【答案】1【解析】【分析】利用复数的运算法则求出，根据虚部的概念即可得出【详解】，的虚部为，故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限【答案】二【解析】【分析】由点P（tan，cos）在第三象限，得到tan0，cos0，从而得到所在的象限【详解】因为点P（tan，cos）在第三象限，所以tan0，cos0，则角的终边在第二象限，故答案为二点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号3.设向量 =（1,0）， =（1,m）,若，则m=_.【答案】-1.【解析】【分析】根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.【详解】，由得：，即.【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则；.4.已知复数z满足（是虚数单位），则=_.【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则求出，根据模长的概念即可得出结果【详解】复数z满足（为虚数单位），则，故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.化简：_.【答案】1【解析】【分析】逆用两角和的正切公式：即可求得答案【详解】，故答案为1.【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题6.若 ，则 _.【答案】【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成， 分子分母同时除以，最后把的值代入即可求得答案【详解】 即答案为.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决7.在锐角ABC中，若ABC的面积为，则的长是_【答案】【解析】由题可知：，又为锐角三角形，所以，由余弦定理8.已知，且则的值为_.【答案】【解析】【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求和，根据诱导公式化简所求后即可代入求值【详解】，且，故答案.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_.【答案】【解析】【分析】先根据函数在区间上最小值是确定的取值范围，求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是，而的取值范围是，当，时，函数有最小值，且，的最小值等于，故答案为【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用考查基础知识的运用能力，属于中档题.10.设为锐角，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果【详解】为锐角，故，故答案为.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题11.已知函数若函数 的图象关于直线x2对称，且在区间上是单调函数，则的取值集合为_.【答案】【解析】是一条对称轴，得，又在区间上单调，得，且，得，集合表示为。12.设点在所在平面内，若，则与的面积比为_.【答案】【解析】【分析】画出图形，结合图形，得出和面积比为，根据题意，得出与的关系，从而求出两三角形的面积比【详解】如图，；设直线AO与直线BC的交点为点M，则和面积比为，设，由平面向量的基本定理得，解得，和的面积比为，故答案为【点睛】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，解题时应按照平面向量的运算法则进行解答，属于中档题13.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据得出的终点在线段BC上，即，求出，又O是MN的中点，得出，求的最小值即可【详解】根据题意，的终点在线段BC上，；又O是MN的中点，的最小值是【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理应用问题，是中档题14.已知等腰直角三角形中，半径为的圆在三角形外与斜边BC相切，P为圆上任意一点，且满足，则的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】建立直角坐标系，找出点P的横纵坐标与的关系，根据直线与圆的位置关系结合图象可得的最大值【详解】如图以A点为原点，AB为轴，AC为轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，2），C（2，0），斜边BC所在直线的方程为，设，则，P为半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切上的任意一点，与圆O相切且与直线BC平行的直线L的方程为：，根据上图可知，的最大值为2，故答案为2.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，关键是利用坐标运算的应用，属中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数的图像的一部分如图所示，是图像与轴的交点，分别是图像的最高点与最低点且（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设，由，解得：，利用周期公式可求，由，结合范围，可求的值，即可得解函数解析式；（2）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值【详解】（1）由函数及分别是图像的最高点与最低点，设， 因为，所以，由此解得：，所以函数的最小正周期为，所以 因为是图像与轴交点，所以，因为，所以，所以，所以 所以函数的解析式为 （2）函数因为， 所以 ，所以时，即时，函数取最大值为【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想，属于中档题16.在平面直角坐标系中，设向量，（1）若，求的值；（2）设，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可【详解】解：（1）因为，所以，且. 因为，所以，即， 所以，即 （2）因为，所以依题意， 因为，所以 化简得，所以 因为，所以所以，即【点睛】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力，属于中档题.17.已知函数.（1）求的最小值并写出此时的取值集合； （2）若，求出的单调减区间；（3）若的一个零点，求的值.【答案】（1）最小值为,的取值集合；（2）和；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，诱导公式和辅助角公式化简可得，根据三角函数的性质即可得结果；（2）先求出在整个定义域上的单调性，结合即可得结果；（3）根据的一个零点，即，利用的范围，求解内层函数范围，即可求的值【详解】解：（1） 所以的最小正为，此时的取值集合为； （2）由，得所以的单调减区间为 因为，当时，减区间为；当时，减区间为。综上：时的单调减区间为和. （3），所以又，所以，所以【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题.18.已知矩形所在的平面与地面垂直，点在地面上，设，与地面成角（），如图所示，垂直地面，垂足为，点、到的距离分别为，记（1）若，求的最大值，并求此时的值；（2）若的最大值为，求的值 【答案】（1）时；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合三角函数的性质可得最值以及的值；（2）化简可得，根据最值求出.【详解】（1）又 ,当且仅当,即时（2） 当且仅当,即 时, 的最大值为,【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.19.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设（1）若观景长廊AD4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；（2）当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；（3）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由【答案】（1）平方百米；（2）平方百米；（3）当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值， 最大值为32平方百米.【解析】【分析】（1）分别在和中运用余弦定理，求出，进而可得和，根据即可得结果；（2）在中，可得，令，在中，运用余弦定理可得，由基本不等式可得，由即可得结果；（3）先求出，计算出，进而可得结果.【详解】解：（1）四边形ABCD内接于圆O，ABC+ADC=在中，在中，解得，（平方百米） 答：四边形ABCD内的湖面面积是平方百米.（2）=60，在中，=112令， 在中，=112=112（当且仅当x=y时，取等号） （平方百米）答：三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米 （3）点P和点D关于直线AC对称，APC=ADC，PC=CD=8由（1）知ABC+ADC=，ABC+APC=ABC=，APC=点P在区域内， 在中，在中， 解得或（舍去） ，四边形ABCP内的湖面面积有最大值， 答：当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.20.已知函数（1）若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，证明：对于，总有【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出的导数，将其转化为在区间内存在区间使得即在上能成立，根据函数的最小值即可确定的范围；（2）问题转化为证明，在上恒成立，构造函数，求出的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论【详解】（1）由题，因为函数在存在单调增区间，故在区间内存在区间使得成立，即能成立，即在上能成立，而在的最小值是，故； （2）若，则，而，又因为，所以，要证