大学物理——机械振动PPT幻灯片课件

广义振动 任一物理量 如位移 电流等 在某一数值附近反复变化 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 1 弹簧振子 简谐振动微分方程 一 简谐振动的基本特征 6 1简谐振动 simpleharmonicmotion 其通解为 谐振动运动方程 运动学定义 动力学定义 1 简谐振动的定义 2 运动方程 振幅A物体离开平衡位置的最大距离 决定于初条件 频率 单位时间内振动的次数 角频率 周期T物体完成一次全振动所需时间 初相位 相位 t 决定谐振动物体的运动状态 2 描述简谐振动的特征量 3 3 振动速度及加速度 简谐振动的加速度和位移成正比而反向 4 4 振动初相及振幅由初始条件决定 初始条件 当t 0时 x x0 v v0 代入 得 arctan 5 例6 1 一质点沿x轴作简谐振动 振幅A 0 12m 周期T 2s 当t 0时 质点对平衡位置的位移x0 0 06m 此时刻质点向x正向运动 求此简谐振动的表达式 解 取平衡位置为坐标原点 由题设T 2s 则 A 0 12m 由初条件x0 0 06m v0 0 得 简谐振动的表达式为 设简谐振动的表达式为 6 例6 2 如图所示 倔强系数为8 103N m 1的轻质弹簧一端固定于A 另一端系一质量为M 4 99kg的木块静止于水平光滑桌面上 质量m 0 01kg的子弹以水平速度v 103m s 1射入木块使其作简谐振动 若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时 取平衡位置为坐标原点 向右为x轴正方向 求其振动方程 7 解 mv m M V 0 01 103 4 99 0 01 V V 2m s 1 A 0 05m 8 二 简谐振动的旋转矢量表示法 1 简谐振动与匀速圆周运动 匀速圆周运动在x轴上的投影 或分运动 为简谐振动 2 简谐振动的旋转矢量表示法 9 3 两同频率简谐振动的相位差 phasedifference 两个谐振动 相位差 两同频率的谐振动的相位差等于它们的初相差 2 1 0 x2超前x1 0 同相 反相 10 4 谐振动的位移 速度 加速度之间的位相关系 11 例6 3 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示 求此简谐振动的表达式 解 设简谐振动方程为 x0 A 2 v0 0 由旋转矢量表示法 v0 0 旋转矢量以 匀角速由t 0到t 1s转过了4 3 t 1s 角频率的计算 t 1s时 对应图示的旋转矢量 12 例6 4 已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示 试求其振动方程 解 方法1 用解析法求解 设振动方程为 13 故振动方程为 14 v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位 由图知 方法2 用旋转矢量法辅助求解 15 固有角频率 三 简谐振动实例 1 弹簧振子 block springsystem 平衡位置 弹簧为原长时 振动物体所处的位置 x 0 F 0 位移为x处 由牛顿第二定律 角频率 完全由振动系统本身的性质决定 固有周期 固有频率 16 2 单摆 simplependulum 当 5 0 0873rad 时 摆球相对于平衡位置的角位移为 时 切向合外力 平衡位置 摆线与竖直方向夹角 0 由牛顿第二定律 得 或 谐振动微分方程 结论 单摆的小角度摆动是简谐振动 17 3 复摆 compoundpendulum 绕不过质心的水平固定轴转动的刚体 令 小幅摆动时 角位移 回复力矩 M mghsin M mgh 由刚体的转动定律 或 得 谐振动微分方程 18 线性谐振动 角谐振动 简谐振动的判断及振动方程的确定 归纳与总结 例 判断下列运动是否为简谐振动 1 乒乓球在地面上的上下跳动 19 2 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 O 切向运动 简谐振动 振动的角频率和周期分别为 20 四 简谐振动的能量 谐振动系统的能量 系统的动能Ek 系统的势能Ep 某一时刻 谐振子速度为v 位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 系统的机械能守恒 21 振动能量曲线 22 例 如图m 2 10 2kg 弹簧的静止形变为 l 9 8cmt 0时x0 9 8cm v0 0 1 取开始振动时为计时零点 写出振动方程 2 若取x0 0 v0 0为计时零点 写出振动方程 并计算振动频率 解 确定平衡位置mg k l取为原点k mg l令向下有位移x 则f mg k l x kx 作谐振动设振动方程为 23 初条件 由x0 Acos 0 0 098 0 cos 0 0 取 0 振动方程为 x 9 8 10 2cos 10t m x0 Acos 0 0 098m v0 A sin 0 0 t 0时x0 0 098m v0 0 24 2 按题意 t 0时x0 0 v0 0 x0 Acos 0 0 cos 0 0 0 2 3 2 v0 A sin 0 sin 0 0 取 0 3 2 x 9 8 10 2cos 10t 3 2 m 对同一谐振动取不同的计时起点 不同 但 A不变 固有频率 25 例 如图所示 振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧 一半径为R 转动惯量为J的定滑轮和一质量为m的物体所组成 使物体略偏离平衡位置后放手 任其振动 试证物体作简谐振动 并求其周期T 解 取位移轴ox m在平衡位置时 设弹簧伸长量为 l 则 26 当m有位移x时 联立得 27 一 同方向 同频率谐振动的合成 合振动是简谐振动 其频率仍为 合振动 6 2简谐振动的合成 28 如A1 A2 则A 0 两个等幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态 合振动的振幅取得最大 两分振动相互加强 合振幅最小 两分振动相互减弱 分析 29 二 两个同方向频率相近简谐振动的合成拍 如果我们先后听到频率很接近的声音 如552和564Hz 我们很难区分它们频率的差异 如果这两种声音同时到达我们的耳朵 我们听到声音频率为558Hz 552 564 2 其强度以12Hz 564 552 的频率变化 这种现象称为拍 12Hz为拍频 30 分振动 合振动 1 拍及拍频 令 则 拍 2 2 1 拍 2 1 拍 拍频 单位时间内振动加强或减弱的次数 合振动忽强忽弱的现象 31 拍的现象常被用于校正乐器 例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率 因为音调有微小差别就会出现拍音 调整到拍音消失 钢琴的一个键就被校准了 2 拍的应用 32 三 两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 合振动 分振动 合振动质点的轨迹方程 33 合振动的轨迹为通过原点且在第一 第三象限内的直线 质点离开平衡位置的位移 讨论 34 合振动的轨迹为通过原点且在第二 第四象限内的直线 质点离开平衡位置的位移 35 合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的 合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的 36 37 四 两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为李萨如图形 对于两个频率不相同的谐振动 其相位差 不断地随时间变化 因而合振动不一定有稳定的轨迹 只有在两振动的频率成简单的整数比时 才有稳定的轨迹 38 若已知一个分振动的周期 可根据合振动的李萨如图形求出另一个分振动的周期 这种方法常用来测定频率 39 五 简谐振动的分解频谱 振动的分解 把一个复杂振动分解为若干个简谐振动 若周期振动的频率为 0 则各分振动的频率为 0 2 0 3 0 基频 二次谐频 三次谐频 按傅里叶级数展开 任何一个复杂的周期性振动 都可看作是若干个简谐振动的合成 40 方波的分解 方波可按傅里叶级数展开为 例如 0 41 42 43 例如 锯齿波可按傅里叶级数展开为 44 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动 45 一 阻尼振动 dampedvibration 阻尼振动 1 阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动 摩擦阻尼 系统克服阻力作功 系统的动能转化为热能 辐射阻尼 振动以波的形式向外传波 使振动能量向周围辐射出去 6 3阻尼振动受迫振动和共振 简谐振动是物体在回复力作用下的一种无阻尼自由振动 当振动系统受到阻力作用时 在回复力和阻力作用下振动 称为阻尼振动 46 弹簧振子动力学方程 系统固有角频率 阻尼因子 物体以不大的速率在粘性介质中运动时 介质对物体的阻力与速度的一次方成正比 阻力系数 2 阻尼振动的振动方程 以摩擦阻尼为例 47 1 弱阻尼振动 阻尼对振动的影响 1 A减小2 T增大 非简谐振动 3 弱阻尼振动 过阻尼振动 临界阻尼振动 48 2 临界阻尼振动 系统不作往复运动 而是较快地回到平衡位置并停下来 3 过阻尼振动 系统不作往复运动 而是非常缓慢地回到平衡位置 49 二 受迫振动 受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动 弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程 周期性外力 策动力 令 50 稳定解 51 稳定解 1 频率 等于策动力的频率 3 初相 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 2 振幅 受迫振动振幅的大小 与系统的初始条件无关 而决定于振动系统的性质 固有角频率 质量 阻尼的大小和策动力的特征 52 三 共振 在一定条件下 振幅出现极大值 振动剧烈的现象 1 位移共振 1 共振频率 2 共振振幅 53 2 速度共振 一定条件下 速度幅vm A极大的现象 速度共振时 系统的动能也达到最大 此时系统从外界吸收能量最多 54 共振的利与弊 钢琴 小提琴等乐器的木制琴身 利用共振现象使其成为了一共鸣盒