高中数学 第一讲 基本不等式2课件 新人教A版选修45.ppt

2 基本不等式 1 两个定理及算术平均与几何平均 2ab a b a b 不小于 于 即大于或等 中线 高 2 利用基本不等式求最值 对两个正实数x y 1 如果它们的和s是定值 则当且仅当 时 它们的积p取得 2 如果它们的积p是定值 则当且仅当 时 它们的和s取得 x y 最大值 x y 最小值 1 函数的最小值是2吗 提示 函数的最小值不是2 当x 0时 当且仅当x 1时取等号 当x 0时 当且仅当x 1时取等号 显然f x 无最小值 也无最大值 2 若a 1 则的最小值是 解析 因为a 1 所以a 1 0 所以当且仅当a 2时取等号 答案 3 3 设x 0 则函数的最大值是 解析 当且仅当即时等号成立 所以答案 1 利用求最值的条件利用基本不等式求最值的条件是 一正 二定 三相等 即 1 各项或各因式为正 2 和或积为定值 3 各项或各因式能取得相等的值 注 一正也可以拓展为一同号 即a b都为正时 可求最小值 a b都为负时 可求最大值 口诀变为 一同号 二定值 三相等 2 重要不等式与基本不等式的异同 3 两个不等式定理的常见变形 1 2 3 4 5 上述不等式中等号成立的充要条件均为a b 类型一利用基本不等式比较大小 典型例题 1 设a 0 b 0 则a2 b2与的大小关系为 2 若a b 1 试比较p q r的大小关系 解题探究 1 之间有什么样的关系 2 题2中a b 1的作用是什么 探究提示 1 故2 由a b 1 可以得到 解析 1 因为由a2 b2 2ab 得2 a2 b2 a b 2 又a 0 b 0 所以当且仅当a b时 等号成立 所以答案 2 因为a b 1 所以所以又而所以即q r 所以p q r 拓展提升 1 巧用基本不等式比较大小要想运用基本不等式 必须把题目中的条件或要解决的问题 化归 到不等式的形式并让其符合不等式成立的条件 化归的方法是把题目中给出的条件配凑变形 或利用一些基本公式和一些常见的代换 讲究一个巧字 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配得恰到好处 才能顺利地进行运算 2 利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点 1 在应用基本不等式时 一定要注意其前提条件是否满足 即a 0 b 0 2 若问题中一端出现 和式 而另一端出现 积式 这便是应用基本不等式的 题眼 不妨运用基本不等式试试看 变式训练 已知0 a 1 0 b 1 求中的最大者 解析 因为0 a 1 0 b 1 所以所以四个数中的最大者应从a b和a2 b2中选择 又因为a 1 0 b 1 0 所以a2 b2 a b a a 1 b b 1 0 即a2 b2 a b 所以四个数中a b最大 类型二利用基本不等式求最值 典型例题 1 已知x 0 y 0 且则x y的最小值为 2 当x 0时 求的值域 解题探究 1 题1中 如何利用 这个条件 2 题2中 对f x 如何变形 才能利用基本不等式 探究提示 1 因为所以2 解析 1 因为x 0 y 0 且所以当且仅当即x 4 y 12时 等号成立 所以x y的最小值为16 答案 16 2 因为x 0 所以因为所以所以0 f x 1 当且仅当x 1时取等号 所以f x 的值域为 0 1 互动探究 若将题2中 x 0 改为 x r 求f x 的值域 解析 当x 0时 同题2 当x 0时 所以当且仅当x 1时取等号 所以当x 0时 f x 0 所以 1 f x 1 即f x 的值域为 1 1 拓展提升 应用基本不等式求最值的方法与步骤 1 方法 看式子能否出现和 或积 为定值 若不出现 需对式子变形 凑出需要的定值 看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不满足 则可通过函数单调性或导数解决 2 步骤 利用基本不等式求最值的一般步骤 变式训练 已知x y均为正数 且x y 4 则的最小值为 解析 因为x y均为正数 所以当且仅当即时取等号 又x y 4 所以故的最小值为答案 类型三利用基本不等式证明不等式 典型例题 1 下列不等式中 正确的是 a 若x r 则b 若x r 则c 若x r 则d 若a b为正实数 则2 已知a b 0 且a b 1 求证 解题探究 1 利用基本不等式的条件是什么 2 题2中由已知条件能不能求出ab的范围 探究提示 1 利用基本不等式的条件是 一正 二定 三相等 2 因为当且仅当a b时 等号成立 所以 解析 1 选c a 若x1 d 2 因为a b 0 且a b 1 所以当且仅当a b时 等号成立 所以所以 拓展提升 利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 1 用基本不等式证明不等式时 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备基本不等式的结构和条件 然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明 2 对含条件的不等式的证明问题 要将条件与结论结合起来 寻找出变形的思路 构造出基本不等式 切忌两次使用基本不等式用传递性证明 有时等号不能同时取到 变式训练 已知a b c是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 证明 因为b2 c2 2bc a 0 所以a b2 c2 2abc 同理 b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc 因为a b c不全相等 所以 式中至少有一个式子取不到等号 所以a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 易错误区 忽略等号成立的条件而致错 典例 已知则的最小值为 解析 设t sinx 则t 0 1 所以 所以所以在t 0 1 上是减函数 所以当t 1时 ymin 3 答案 3 误区警示 防范措施 基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值 必须满足 一正 二定 三相等 的条件 1 一正 不等式成立的前提条件 2 二定 化不等式的一边为定值 3 三相等 必须存在取 的条件 即 成立 以上三点缺一不可 本例就易忽略验证等号成立的条件 而导致结果错误 类题试解 2013 南京高二检测 已知则的最大值为 解析 因为所以cosx0 所以当且仅当时 即时取到等号 所以 答案 1 若a b r 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 a a2 b2 2abb c d 解析 选d 对于a 当a b时 有a2 b2 2ab 故a不正确 对于b 若a 0 b 0 则有所以b也不正确 同理 c也不正确 2 已知x y均为正数 且满足则xy的最大值为 a b 3c 12d 解析 选b 因为x y均为正数 所以得xy 3 当且仅当即时取等号 3 函数的最小值是 a 3b 3c 4d 4 解析 选b 当且仅当即x 2时等号成立 4 已知x y为正数 且满足2x y 1 则的最小值为 解析 因为x 0