（试题 试卷 真题）2014广西高考数学（理）

2014高考数学【大纲理】 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设，则z的共轭复数为（ ）A B C D2设集合，则（ ）A B C D3设，则（ ）A B C D4若向量满足：，则（ ）A B C1 D5有名男医生、名女医生，从中选出名男医生、名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A种 B种 C种 D种 6 已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为（ ）A B C D7曲线在点处切线的斜率等于（ ）A B C2 D18正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ）A B C D9已知双曲线的离心率为，焦点为、，点在上，若，则（ ）A B C D10等比数列中，则数列的前项和等于（ ）A B C D11已知二面角为，A为垂足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D12函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的反函数是（ ）A B C D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 的展开式中的系数为 14 设、满足约束条件，则的最大值为 15 直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于 16 若函数在区间是减函数，则的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17的内角、的对边分别为、，已知，求18 等差数列的前项和为，已知，为整数，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和19如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，（1）证明：；（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小20设每个工作日甲、乙、丙、丁人需使用某种设备的概率分别为、，各人是否需使用设备相互独立（1）求同一工作日至少人需使用设备的概率；（2）表示同一工作日需使用设备的人数，求的数学期望21 已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且（1）求的方程；（2）过的直线与相交于、两点，若的垂直平分线与相交于、两点，且、四点在同一圆上，求的方程 22 函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：参考答案一、选择题1 D【解析】因为，所以的共轭复数为，故选D.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念共轭复数.2B【解析】因为，而，所以，故选B.【考点】1.一元二次不等式；2.集合的交集运算.3C【解析】因为，由，可得，而正弦函数在单调递增，所以，所以，故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.正弦函数的单调性.4B【解析】因为，所以，即，所以，又因为，所以，故选B.【考点】1.平面向量垂直的充要条件；2.平面向量的数量积运算.5C【解析】第一步：先从6名男医生中选出2名男医生有种选法；第二步：从5名女医生中选出1名，有种选法，根据分步计数原理可知选出名男医生、名女医生组成一个医疗小组的不同选法共有，故选C.【考点】1.分步计数原理；2.组合问题.6A【解析】如下图，的周长为，而离心率，所以，从而所求椭圆的方程为，故选A.【考点】1.椭圆第一定义的应用；2.椭圆的几何性质；3.椭圆的标准方程的求法.7C【解析】因为，所以，根据导数的几何意义可知曲线在点处切线的斜率，故选C.【考点】导数的几何意义.8A【解析】如下图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，所以，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.球的内接正棱锥的问题；2.平面几何中的射影定理；3.球队表面积计算公式.9A【解析】如下图，设，则根据双曲线的第一定义可得，所以，又因为离心率，所以，在中，由余弦定理得，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.余弦定理.10C【解析】依题意可得，所以，所以，所以数列为等差数列，从而所求的前8项和为，故选C.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等差数列的前项和公式.11B【解析】如下图，作于，连结，过作，作于，连结，则，设，在中，所以，在中，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选B.【考点】1.三垂线定理及其逆定理；2.异面直线成角的计算.12D【解析】设的反函数图像上的任意一点，则该点关于直线对称的点为，该点在函数的图像上，而点关于直线的对称点为，该点在函数的图像上，所以即，这就是应该满足的关系式，这也就是函数的反函数.【考点】1.函数图像的对称性；2.反函数的图像与性质.二、填空题1370【解析】根据二项展开式可得展开式的通项为，令，所以，所求的系数为.【考点】二项式定理.14 【解析】根据约束条件作出平面区域，如下图中阴影部分，由此可知，要使最大，则要求直线的纵截距最大，由图可知，当直线经过点时，直线的纵截距最大，此时取得最大值.【考点】1.二元一次不等式组所表示的平面区域问题；2.线性目标函数最值的求解.15【解析】根据题中条件易判断到直线的斜率都存在，设过点的切线方程为即，则由圆心到直线的距离等于半径可得或，设两直线的夹角为，由两直线的夹角计算公式可得.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.两直线的夹角公式.16 【解析】因为，而时，函数单调递减，所以在恒成立，即恒成立，因为，所以即在恒成立，从而，因为的值域为即，所以.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的单调性与导数.17.【解析】根据正弦定理，由因为，所以所以因为，所以由三角形的内角和可得.【考点】1.正弦定理；2.两角和的正切公式；3.三角形的内角和定理.18（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，而，从而有若，此时不成立若，数列是一个单调递增数列，随着的增大而增大，也不满足当时，数列是一个单调递减数列，要使，则须满足即，又因为为整数，所以，所以此时（2）由（1）可得所以.【考点】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.数列的求和裂项相消法求和.19（1）证明详见解析；（2）二面角的大小为或.【解析】法一：（1）因为平面，平面，故平面平面.又，所以平面.连结.因为侧面为菱形，故.由三垂线定理得.（2）平面，平面，故平面平面.作，为垂足，则平面.又直线平面，因而为直线与平面的距离，.因为为的平分线，故.作，为垂足，连结.由三垂线定理得，故为二面角的平面角.由得为中点，.所以二面角的大小为。解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由题设知与轴平行，轴在平面内（1）设，由题设有，则，2分由即于是，所以5分（2）设平面的法向量，则，所以因，所以令，则，所以，点到平面的距离为又依题设，到平面的距离为，所以代入解得（舍去）或8分于是，设平面的法向量，则所以，所以，令，则又为平面的法向量，故所以二面角的大小为12分.【考点】1.空间中的垂直关系；2.二面角；3.空间向量在空间垂直与空间角中的应用.20（1）；（2）.【解析】记表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备，表示事件：甲需使用设备表示事件：丁需使用设备表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）所以（2）的可能取值为，所以的分布列为01234数学期望 【考点】1.相互独立事件同时发生的概率；2.离散型随机变量期望.21（1）；（2）直线的方程为：或.【解析】（1）设，代入得所以，由题设得.解得或所以的方程为（2）依题意知与坐标轴不垂直，故可设的方程为（）代入得设，则，故的中点为.又的斜率为，所以的方程为将上式代入，并整理得设，则，故的中点为.由于垂直平分，故、四点在同一圆上等价于从而，即化简得，解得或所求直线的方程为：或.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的综合问题；3.四点共圆的知识；4.直线方程.22（1）当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）证明详见解析.【解析】（1）的定义域为，（i）当时，若，则，在上是增函数若，则，在上是减函数若，则，在上是增函数（ii）当时，成立当且仅当，在上是增函数（iii）当时，若，则，在上是增函数若，则，在上是减函数若，则，