高中数学 112集合的包含关系课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 1 1 2集合的包含关系 理解集合之间的包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 理解在给定集合中一个集合的补集的含义 会求给定子集的补集 1 2 如果集合b的每个元素都是集合a的元素 就说b a 或者说a b 记作 或 符号 读作 包含于 liein 符号 读作 包含 contain 若b不包含于a 记作 符号读作 上述定义用符号来表达 就是 若由x b能推知x a 就说 若b包含于a 称b是a的一个 subset 因为集合a的每个元素都是集合a的元素 所以a也是a的 也就是说 每个集合都是它自己的 自学导引 1 2 包含于 包含 b a a b ba 不包含于 b a 子集 子集 子集 我们规定 包含于任一集合 是任一集合的子集 如果b是a的子集 a也是b的子集 就说两个集合 记作 如果b是a的子集 但a不是b的子集 就说b是a的 记作 如果在某个特定的场合 要讨论的对象都是集合i的元素和子集 就可以约定把集合i叫作 universe 或基本集 若a是全集i的子集 i中不属于a的元素组成的子集叫作a的 complementaryset 或余集 记作 显然 ia的补集就是 3 4 5 6 7 空集 相等 a b 真子集 b a 全集 补集 ia a 能否把 a b 理解成 a是b中部分元素组成的集合 提示不能 这是因为当a 时 a b 但a中不含任何元素 又当a b时 也有a b 但a中含有b中的所有元素 这两种情况都有a b成立 所以上述理解是错误的 0 0 之间有什么关系 提示 1 数0不是集合 0 是含一个元素0的集合 是不含任何元素的集合 是指以 为元素的集合 2 不要把数0或集合 0 与空集 混淆 同时注意不要把空集 错写成 或 0 它们之间的关系是 0 0 0 0 3 从集合之间的关系看 自主探究 1 2 下列命题 空集没有子集 任何集合至少有两个子集 空集是任何集合的真子集 若 a时 则a 其中正确的个数是 a 0b 1c 2d 3解析仅 是正确的 答案b 预习测评 1 解析 p x x 0 up x x 0 答案c 在以下六个写法中 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 z 正整数 0 0 0 其中错误写法的个数是 解析 错误 答案4设集合a 2 a b a2 2 2 若a b 则实数a 解析a2 2 a a2 a 2 0 a 2 舍去 或a 1 答案 1 3 4 理解子集的概念 应注意以下几点 1 a是b的子集 的含义是 a的任何一个元素都是b的元素 即由任意的x a 能推出x b 2 当a不是b的子集时 我们记作 a b 或b a 读作 a不包含于b 或 b不包含a 3 任何一个集合都是它本身的子集 记作a a 如果a b 那么根据子集的定义可知 a中所有的元素都属于b b中的元素与集合a的关系有两种 b中的元素属于a b中的元素不属于a 名师点睛 1 2 真子集是以子集为前提 如果a不是b的子集 则a一定不是b的真子集 如果a是b的子集 则只要找到b中的一个元素不属于a 就有a是b的真子集 全集是相对于研究的问题而言的 如我们只在整数范围内研究问题 则z为全集 而当问题扩展到实数集时 则r为全集 这时z就不是全集 ia表示i为全集时a的补集 如果全集换成其他集合 如r 时 则记号中 i 也必须换成相应的集合 即 ra 求集合a的补集的前提是 a是全集i的子集 3 4 5 6 写出集合 0 1 2 的所有子集 并指出其中哪些是它的真子集 解 1 不含任何元素的集合 2 含有一个元素的集合 0 1 2 3 含有两个元素的集合 0 1 0 2 1 2 4 含有三个元素的集合 0 1 2 故集合 0 1 2 的所有子集为 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 其中除去集合 0 1 2 剩下的都是 0 1 2 的真子集 题型一写出给定集合的子集 例1 典例剖析 点评分类讨论是写出所有子集的有效方法 一般按集合中元素个数的多少来划分标准 遵循由少到多的原则 做到不重不漏 已知集合a x 1 x 4 x n 写出集合a的所有子集和真子集 解a 2 3 4 集合a的所有子集是 2 3 4 2 3 2 4 3 4 2 3 4 在上述子集中 除去集合a本身 即 2 3 4 剩下的都是a的真子集 变式1 已知全集i x x 2 集合a x x 1 求 ia 解如图所示 题型二补集的简单运算 例2 由图可知 ia x 2 x 1 点评求集合a的补集 只需在全集i中除去集合a中的元素 则剩下的元素所组成的集合即为a的补集 当集合中元素无限时 可借助数轴 利用数轴分析法求解 已知全集i 1 2 3 4 5 a x x2 px 4 0 求 ia 解当a 时 方程x2 px 4 0无实数解 此时 p2 16 0 4 p 4 ia i i 当a 时 二次方程x2 px 4 0的两个根x1 x2必须来自于i 由于x1x2 4 所以只可能有下述情形 当x1 x2 2时 p 4 此时a 2 ia 1 3 4 5 当x1 1 x2 4时 p 5 此时a 1 4 ia 2 3 5 综上所述 当 4 p 4时 ia 1 2 3 4 5 当p 4时 ia 1 3 4 5 当p 5时 ia 2 3 5 变式2 已知集合a 2 x y b 2x 2 y2 且a b 求x y的值 题型三集合相等关系的应用 例3 点评集合相等则元素相同 但要注意集合中元素的互异性 防止错解 已知集合a x xy x y b 0 x y 且a b 求x与y的值 解 0 b a b 0 a 集合中元素具有互异性 x xy x 0 又 0 b y b y 0 从而x y 0 即x y 这时a x x2 0 b 0 x x x2 x 则x 0 舍去 或x 1 舍去 或x 1 经检验 x y 1适合条件 x y 1 变式3 已知集合a x 1 ax 2 b x x 1 满足a b 求实数a的范围 题型四集合基本关系的应用 例4 点评对集合a分类讨论是解决此类题目的关键 注意不要忽视对a 的讨论 已知a x x2 5x 6 0 b x mx 1 若b a 求实数m所构成的集合m 变式4 设a x 2 x 6 b x 2a x a 3 若b a 则实数a的取值范围是 a a 1 a 3 b a a 3 c a a 1 d a 1 a 3 误区警示因忽略空集而出错 例5 错因分析空集是任何集合的子集 忽视这一点 会导致漏解 产生错误结论 对于形如 x a x b 一类的集合 当a b时 它表示空集 解题中要引起注意 答案c纠错心得由于空集是任何非空集合的真子集 因此b 时也满足b a 解含有参数的集合问题时 要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况 元素 集合间的关系用符号 或 表示 集合 集合间的关系用 或 等表示 在特定的情况下集合也可以作为元素 如集合b 0 1 0 1 则此时 1 b 而不能是 1 b 解集合关系的问题时还需注意以下几个方面 1 当a