等比数列定义及性质.ppt

等比数列 1 一 温故知新 1 等差数列定义 2 等差数列单调性 an an d d为常数 d 0单调递增d 0单调递减d 0常数列 用什么方法推出的呢 1 对于数列 1 从第2项起 每一项与前一项的比都等于 2 对于数列 2 从第2项起 每一项与前一项的比都等于 3 对于数列 3 从第2项起 每一项与前一项的比都等于 1 2 20 2 观察以上数列各有什么特点 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的 等于 一个常数 那么这个数列就叫做这个常数叫做等数列的 1 等比数列定义 二 比 同 等比数列 公比 等差数列定义 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示 比 1 你能用数学式子表示等比数列的定义吗 2 既是等比数列又是等差数列的数列存在吗 如果存在 你能举出例子吗 等差数列 等比数列 或an 1 an d n 1 an an 1 d n 2 非零的常数数列既是等差数列又是等比数列 2 公比q能等于0吗 等比数列 由于等比数列的每一项都有可能作分母 故an 0且q 0 等差数列 由于等差数列是作差故an d没有要求 探究 1 等比数列的各项能等于0吗 为什么 课堂互动 1 1 3 9 27 81 3 5 5 5 5 5 5 4 1 1 1 1 1 是 公比q 3 是 公比q 1 2 是 公比q 观察并判断下列数列是否是等比数列 是 公比q 1 5 1 0 1 0 6 0 0 0 0 不是等比数列 不是等比数列 1 等比数列的有关概念 观察数列 1 2 4 8 16 32 64 2 1 3 9 27 81 243 3 4 5 5 5 5 5 5 5 6 1 1 1 1 1 以上6个数列的公比分别为 公比q 2递增数列 公比q 3递增数列 公比d x 公比q 1非零常数列 公比q 1摆动数列 因为x的正负性不确定 所以该数列的增减性等尚不能确定 公比q 递减数列 等比数列中 叠乘法 叠加法 等比数列通项公式推导 等差数列通项公式推导 设公差为d的等差数列 an 则有 an a1 n 1 d n 2 等差数列 an 的首项为a1 公差为d的通项公式为 an a1 n 1 d n N 设公比为q的等比数列 an 则有 q q q 首项为a1 公比为q的等比数列的通项公式 an a1qn 1 a1 0且q 0n N n 2 1 2 4 8 16 2 2 2 4 4 4 5 5 5 5 3 1 an 2n an an an 5 练习 写出下列等比数列通项公式 1 求下列各等比数列的通项公式 1 练习 解 解 例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 把 代入 得 因此 1 由下面等比数列通项公式 求首项与公比 口答 1 2 2 设成等比数列 其公比为2 则的值为多少 课堂练习 3 若x 2x 2 3x 3是一个等比数列的连续三项 则x的值为 A 4 B 1 C 1或4 D 1或 4 A 1在等比数列中a1 a2 3 a4 a5 24 求q和a1 解 由已知得 答 q和a1分别是2和1 等比数列的通项公式练习 例题讲解 在等比数列中 例4 在4与之间插入3个数 使这5个数成等比数列 求插入的3个数 解 依题意 a1 4 由等比数列通项公式得 所以 因此插入的3个数依次是2 1 或 2 1 3 等比中项的定义 探究 类比等差数列 等差数列有等差中项公式 请你给出等比中项公式 等比数列 等差数列 如果在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 如果在a与b中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 等比数列所有奇数项符号相同 所有偶数项符号相同 练习 练习 求下列各组数的等比中项 1 1 9 2 1 4 3 12 3 4 1 1 3 2 6 1 若a b异号则无等比中项 若a b同号则有两个等比中项 2 已知数列的前n项和为Sn an 1 a为不为零的实数 则此数列 A 一定是等差数列B 一定是等比数列C 或是等差数列或是等比数列D 既不是等差数列 也不是等比数列 C A 1 在等比数列中 已知首项为 末项为 公比为 则项数为 B 3 若数列 an 的前n项和为 那么这个数列的通项公式是 an 2 3n 1B an 3 2nC an 3n 3D an 2 3n D 4 已知等差数列 an 的公差为2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2 A 4B 6C 8D 10 B 5 已知a b c成等比数列 a x b和b y c都成等差数列 且xy 0 那么的值为 A 1B 2C 3D 4 B 6 已知a1 a2 a8是各项为正数的等比数列 公比q 1 则 A a1 a8 a4 a5B a1 a8 a4 a5C a1 a8 a4 a5D a1 a8和a4 a5的大小关系不能由已知条件确定 A 7 已知数列 1 a1 a2 4成等差数列 1 b1 b2 b3 4成等比数列 则的值是 等比数列 由于等比数列的每一项都有可能作分母 故a1 0且q 0 等差数列 由于等差数列是作差故a1d没有要求 判断数列是等差数列的方法 判断数列是等比数列的方法 或an 1 an d n 1 an an 1 d n 2 结论 如果是项数相同的等比数列 那么也是等比数列 特别地 如果是等比数列 c是不等于 的常数 那么数列也是等比数列 1 求证若数列 an 是等差数列 则 ban 是等比数列 2求证若数列 an 是正项等比数列 则 logban 是等差数列 1 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 n N 1 求证 数列 an 1 是等比数列 2 求 an 的通项公式 2 已知数列 an 满足 1 求证 数列 an 是等比数列 2 求 an 的通项公式 补充 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数的和是16 第二个数与第三个数的和是12 求这四个数 等差数列 等比数列 定义 数学表达 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 an 1 an d 常数 符号表示 首项a1 公差d 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 首项a1 公比q q 0 d与 an q与 an d 0 an 递增d 0 an 递减d 0 an 为常数列 q 0 an 中各项同号q 0 an 中的项正负相间q 1 an 为非零常数列 通项公式 an a1 n 1 d an a1 qn 1 等比中项 a A b成等差数列 2A a b a G b成等比数列 G2 ab 判定等比数列常用方法 1 定义法 2 等比中项法 3 通项法 等比数列 2 二 学以致用 已知等比数列的公比为q 第m项为 求 练习 已知等比数列 证明 练习 在等比数列 an 中 a2 2 a5 16 a8 在等比数列 an 中 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 36 那么a3 a5 在等比数列 an 中 若则a10 128 6 1 若等比数列 an a4 1 a7 8 则a6与a10的等比中项是 16 2 若等比数列 an 中 若已知a2 4 a5 求an 若已知a3a4a5 8 求a2a6的值 2 在等比数列中 求该数列前七项之积 3 在等比数列 an 中 求a8 1 在等比数列 an 中 已知 求 练习 二 新课讲授 例2 在等比数列 an 中 1 a5 2 a10 10 则a15 2 那么 3 若则a5a16 a9a12 30 求 例3 已知在等比数列中 且q 2 求a1和n 解 一 解 二 利用等比性质 例5 等比数列 an 中 a4 a7 512 a3 a8 124 公比q为整数 求a10 法一 直接列方程组求a1 q 法二 在法一中消去了a1 可令t q5 法三 由a4 a7 a3 a8 512 公比q为整数 a10 a3 q10 3 4 2 7 512 三个正数成等比数列 他们的和等于21 倒数的和等于 求这三个数 解 设三个正数为 得 3 有三个数成等比数列 若它们的积等于64 和等于14 求此三个数 4 有四个数 若其中前三个数成等比数列 它们的和等于19 后三个数成等差数列 它们的和等于12 求此四个数 二 新课讲授 等比中项的应用 例1 有四个数 前三个成等比数列 其积为216 后三个数成等差数列 其平方和为56 求这四个数 注意 1 等比数列中若三个数成等比数列 可以设为 2 等比数列中若四个数成等比数列 不能设为 因为这种设法表示公比大于零 例2 三数成等比数列 积为27 和为13 求这三个数 三维 解 设所求三数为 所以三数为1 3 9或9 3 1 注意 三数成等比数列且积一定 设为a q a aq 同号四数成等比数列且积一定 设为 1 四个正数 前三个数成等差数列 其和为48 后三个数成等比数列 其最后一个数是25 求此四数 解 由已知可设前三个数为a d a a d d为公差 且a d 0 后三数成等比数列 其最后一个数是25 解得 a 16 d 4 故所求四数分别为12 16 20 25 a d a a d 48 且 a d 2 25a a d 12 a d 20 课后练习题 已知2a 3 2b 6 2c 12 则a b c A 成等差数列不成等比数列B 成等比数列不成等差数列C 成等差数列又成等比数列D 既不成等差数列又不成等比数列 结论 若数列 an 为等比数列 则数列 logaan a 0且a 1 为等差数列 二 新课讲授 例4 已知数列 an 是各项为正数的等比数列 且q 1 设bn log2an 且b1 b3 6 b1 b3 8 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 的前n项和为Sn 当 最大时 求n的值 4 已知 an 是各项均为正的等比数列 求证 lgan 为等差数列 5 已知 bn 是等比数列 与数列 an 满足bn n N 1 求证 数列 an 是等差数列 2 若a8 a13 1 2 求b1b2 b20 3 已知等差数列 an 的公差为2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2 A 4B 6C 8D 10 B 4 已知a b c成等比数列 a x b和b y c都成等差数列 且xy 0 那么的值为 A 1B 2C 3D 4 B 补充作业 1 已知三个数成等比数列 它们的积为27 它们的立方和为81 求这三个数 2 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数的和是16 第二个数与第三个数的和是12 求这四个数 练习 1 在等差数列 an 中 a2 2 a5 54 求a8 2 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 则a2 a8的值为 3 在等差数列 an 中 a15 10 a45 90 则a60 4 在等差数列 an 中 a1 a2 3 a3 a4 1 则a5 a6 110 运用性质 若n m p q则am an ap aq 性质 从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d 可推广 性质 若 an 是公差为d的等差数列 cn 是公差为d 的等差数列 则数列 an cn 是公