平面向量期末复习

1 数学必修数学必修 4 平面向量复习平面向量复习 一基本概念一基本概念 1 1 向量 既有大小 又有方向的量 向量 既有大小 又有方向的量 数量 只有大小 没有方向的量 数量 只有大小 没有方向的量 零向量 长度为零向量 长度为的向量 的向量 0 2 2 单位向量 是模 长度 为单位向量 是模 长度 为 1 的向量 若其坐标为的向量 若其坐标为 x y 其中 其中 x y 满足满足 x2 y2 1 3 3 平行向量平行向量 即共线向量 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平行 即共线向量 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平行 ab A0 a A 4 4 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 5 向量的坐标 向量的坐标 i j 是与是与 x 轴 轴 y 轴方向相同的单位向量 若轴方向相同的单位向量 若 a xi yj 则 则 A x y 叫做向量叫做向量 a 的坐标 的坐标 OA 记作记作 a x y OA 二 向量运算 二 向量运算 向量加法运算 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相连 三角形法则的特点 首尾相连 平行四边形法则的特点 共起点 平行四边形法则的特点 共起点 三角形不等式 三角形不等式 ababab 运算性质 运算性质 交换律 交换律 结合律 结合律 abba abcabc 00aaa 坐标运算 设坐标运算 设 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 abxxyy 向量减法运算 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设坐标运算 设 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 abxxyy 设设 两点的坐标分别为两点的坐标分别为 则 则 A 11 x y 22 xy 1212 OOxxyyA A 注意 正反思维 注意 正反思维 BCACACBCA A 反之CCCACBA A A 反之 向量数乘运算 向量数乘运算 实数实数与向量与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作 a a aa 当当时 时 的方向与的方向与的方向相同 当的方向相同 当时 时 的方向与的方向与的方向相反 的方向相反 0 a a 0 a a 当当时 时 0 0a 运算律 运算律 aa aaa abab 坐标运算 设坐标运算 设 则 则 ax y ax yxy 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1 向量的夹角 向量 向量的夹角 向量 a 和和 b 作 作 a b 则 则 AOB 0 180 叫做向量叫做向量 a 和和 b 的夹角 的夹角 OAOB 2 2 数量积 数量积 零向量与任一向量的数量积为 零向量与任一向量的数量积为 cos0 0 0180a ba bab 0 坐标运算 设两个非零向量坐标运算 设两个非零向量 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 a bx xy y 即即cosa ba b 1212 x xy y 3 3 性质 设性质 设和和都是非零向量 则都是非零向量 则a b 当当与与同向时即同向时即 0 0 当当与与反向时即反向时即 180 180 a b a ba b a b a ba b 或或 2 2 a aaa 2 aa aa a ba b 2 22 2222 b 2 b 2aabaa bbaabaa bb 4 4 运算律 运算律 a bb a aba bab abca cb c 5 特别注意 特别注意 向量的投影 向量向量的投影 向量 b 在在 a 方向上的投影是 方向上的投影是 b cos 当当 为锐角时 为锐角时 且且与与不同向 当不同向 当 为钝角时 为钝角时 且且与与不反向 不反向 0a b a b 0a b a b 当当 90 时 时 0a b 数量积不适合乘法结合律如数量积不适合乘法结合律如 a b c a b c a b c 与与 c 共线 而共线 而 a b c 与与 a 共线共线 数量积的消去律不成立若 数量积的消去律不成立若 a b c 是非零向量且是非零向量且 a c b c 并不能得到 并不能得到 a b 三 平面向量基本定理 如果三 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 1 e 2 e a 有且只有一对实数有且只有一对实数 使 使 1 2 1 122 aee 1 1 不共线的向量 不共线的向量 作为这一平面内所有向量的一组基底作为这一平面内所有向量的一组基底 1 e 2 e 2 2 分点坐标求法 设点 分点坐标求法 设点是线段是线段上的一点 上的一点 的坐标分别是的坐标分别是 当 当 12 1 2 11 x y 22 xy 时 求点时 求点 P P 的坐标的方法 设的坐标的方法 设 P P 的坐标为的坐标为 12 x y 则则 11 xx yy 2222 xx yyxxyy 当当 12 12 xxxx yyyy 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 12 2 1 P 2 xx x yy y 2 时 P中点坐标公式 四 向量的应用 四 向量的应用 一 求长度 一 求长度 若若 则 则 或 或 ax y 2 22 axy 22 axy 两点间的距离 若两点间的距离 若 11 A x y 22 B xy 2121 ABxx yy 22 2121 ABxxyy 二 证垂直 向量垂直的条件 二 证垂直 向量垂直的条件 1212 00aba bx xy yababab 三 向量平行 三 向量平行 共线共线 的充要条件 的充要条件 向量向量与与共线即共线即 存在唯一实数 存在唯一实数 使 使 0a a b ab A ba 1221 0 x yx y 三点三点 A A B B C C 共线共线共线共线 AB BC 0 BACBCBBA xxyyxxyy 1 1BCABOCOBOBOAOCOAOBOCxOAyOBxy 且 四四 求向量夹角 求向量夹角 是是与与的夹角 设的夹角 设 都是非零向量 都是非零向量 a b a b 11 ax y 22 bxy b a C A abCC A A 2 则则 注意 注意 的范围 的范围 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 0180 五 基本定理 公式 五 基本定理 公式 1 平面向量基本定理 若与不共线 则对平面内的任意一个向量 有且只有一对实数 1 e 2 e a 1 2 使得 a 2211 ee 2 向量的模 非零向量与的夹角 a aa 22 yx a b cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba 3 向量平行 向量垂直 a b ba 1221 yxyx a b 0 ba 0 2121 yyxx 三角形重心 垂心 外心 内心向量形式的充要条件的向量形式三角形重心 垂心 外心 内心向量形式的充要条件的向量形式 1 1 是是的重心的重心 OABC 0 OCOBOA 若是的重心 则故 OABC 3 1 ABCAOBAOCBOC SSSS 0 OCOBOA 为的重心 1 3 PGPAPBPC GABC 2 2 是是的垂心的垂心 OABC OAOCOCOBOBOA 若是 非直角三角形 的垂心 OABC 则故 tan tan tan CBASSS AOBAOCBOC 0tantantan OCCOBBOAA 3 3 是是的外心的外心OABC 222 OCOBOAOCOBOA 或 若是的外心 OABC 则CBAAOBAOCBOCSSS AOBAOCBOC 2sin 2sin 2sinsin sin sin 故02sin2sin2sin OCCOBBOAA 4 4 是内心是内心的充要条件是的充要条件是OABC 0 CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA 引进单位向量 使条件变得更简洁 如果记引进单位向量 使条件变得更简洁 如果记的单位向量为的单位向量为 则刚才 则刚才是是内心内心CABCAB 321 eeeOABC 的的充要条件可以写成 0 322131 eeOCeeOBeeOA 是是内心的充要条件也可以是内心的充要条件也可以是OABC 0 OCcOBbOAa 若是的内心 则 OABC cbaSSS AOBAOCBOC 故 0sinsinsin0 OCCOBBOAAOCcOBbOAa或 的内心 0AB PCBC PACA PBP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 0 ACAB ABAC ABC BAC 六 基础训练六 基础训练 1 已知 且 则向量在向量上的投影为 3 2 ba4 bab a 2 已知 A 3 y B 2 C 6 三点共线 则 y 5 9 3 非零向量和满足 则与的夹角等于 a b abab a ab 七 典例讲解七 典例讲解 例 1 已知 1 证明 三点共线 2 为何 1 2 ABa 3 2 BCb 6 4 CD A B Dk 值时 向量与平行 向量与垂直kab 3ab kab 3ab 例 2 平面内有向量 点 Q 为直线 OP 上一动点 1 求OAOBOP 1 7 5 1 2 1 取最小值时 点 Q 的坐标 2 当点 Q 满足 1 的条件和结论时 求的值 QA QB cosAQB 例 3 已知向量 sin 1 a 1 cos b 2 2 1 若 求的值 2 求的最小值 3 求函数 的单调增区间ab ab fy a b 3 Q Q P P A A C C B B 八 巩固练习八 巩固练习 1 已知平面内三点 A 1 0 B x 6 P 3 4 且 x 和的值分别为 AP PB A 7 2 B 5 2 C 7 D 5 5 2 5 2 2 向量 b满足 则的取值范围是 a6 a10 bba 3 已知 则 6 a8 b10 ba ba 4 已知 则向量 2与 2 a 1 e 2 e b 1 e 2 eabab A 一定共线 B 一定不共线 C 仅当与共线时共线 D 仅当 时共线 1 e 2 e 1 e 2 e 5 已知ABC顶点A 1 B 2 3 及重心坐标G 1 则顶点C的坐标为 1 2 1 2 6 已知 O 0 0 和 A 6 3 两点 若点 P 在直线 OA 上 且 又 P 是线段 OB 的中点 则2PAOP 点 B 的坐标是 7 已知 且 k 则 k 的值是 a b a b a b a b A 1 B 1 C 0 D 2 8 已知 且与的夹角为锐角 则实数的取值范围为 1 2 1 1 ab a ab 9 已知点O 0 0 A 1 2 B 4 5 为一动点 及 PABtOAOP 1 t 为何值时 P 在 x 轴上 P 在 y 轴上 P 在第二象限 2 四边形OABP能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不能 请说明理由 10 已知 且与的夹角为1a 2b a b 0 60 1 求 2 证明 与垂直a b 2 2 ab 3ab ab a 11 已知 是同一平面内的三个向量 其中 1 2 a b c a 1 若 2 且 求的坐标 c5 c a c 2 若 且 2与 2 垂直 求与的夹角 b 2 5 a b a b a b 12 已知等边三角形的边长为 2 的半径为 1 为 的任意一条直径 ABCAPQA 判断的值是否会随点的变化而变化 请说明理由 BP CQAP CB P 求的最大值 BP CQ 平平 面面 向向 量量 A 组组 1 如果 是两个单位向量 则下列结论中正确的是 ab A B C D a b1 a b 22 ab ab 2 在四边形中 若 则四边形的形状一定是 ABCDACABAD ABCD A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 3 若平行四边形的 3 个顶点分别是 4 2 5 7 3 4 则第 4 个顶点的坐标不可能是 A 12 5 B 2 9 C 3 7 D 4 1 4 4 已知正方形的边长为 1 则等于 ABCDAB aBC bAC c abc A 0 B 3 C D 22 2 5 已知 且向量 不共线 若向量与向量互相垂直 则实数 的3 a4 bab a k b a k b k 值为 6 在平行四边形 ABCD 中 O 为 AC 与 BD 的交点 点 M 在 BD 上 AB aCB b 1 3 BMOD 则向量用 表示为 用 表示为 BM abAM ab 7 在长江南岸渡口处 江水以 12 5km h 的速度向东流 渡船的速度为 25 km h 渡船要垂直地渡过长江 则航向为 8 三个力 的大小相等 且它们的合力为 0 则力与的夹角为 1 F 2 F 3 F 2 F 3 F 9 用向量方法证明 三角形的中位线定理 10 已知平面内三点 三点在一条直线上 且ABC 2 OAm 1 OBn 5 1 OC 求实数 的值 OAOB mn B 组组 11 已知点 不在同一条直线上 点为该平面上一点 且 则 OABP 3 2 OAOB OP A 点 P 在线段 AB 上 B 点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C 点 P 在线段 AB 的延长线上 D 点 P 不在直线 AB 上 12 已知 D E F 分别是三角形 ABC 的边长的边 BC CA AB 的中点 且 BC aCA bAB 则 中正确的等式cEF 11 22 cbBE 1 2 abCF 11 22 ab0ADBECF 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 13 已知向量 则向量在方向上的投影为 a 1 5 b 3 2 ab 14 已知 点 M 关于点 A 的对称点为 S 点 S 关于点 B 的对称点为 N 则向量OA aOB b 用 表示为 MN ab 15 已知向量 若向量与的夹角为直角 则实数的值为 a 2 3 mm b 21 2 mm abm 若向量与的夹角为钝角 则实数的取值范围为 abm 16 已知 点为坐标原点 点是直线上一点 2 1 OP 1 7 OA 5 1 OB OCOP 求的最小值及取得最小值时的值 CA CB cosACB 平平 面面 向向 量量 C 组组 1 下列各组平面向量中 可以作为基底的是 A B 12 0 0 1 2ee 12 1 2 5 7ee C D 12 3 5 6 10ee 12 13 2 3 24 ee 2 已知向量 1 2 x 4 若 则 a b a b x A 4 B 4 C 2 D 2 3 设是单位向量 且则的最小值是 a b c 0 a b acbc A B C D 12 21 13 31 4 已知三点 则等于 1 1A 1 0B 3 1C AB AC 5 A 2 B 6 C 2 D 3 5 已知向量 若 则等于 2 1 a 2x baba b A B C D 2 1 2 1 3 1 3 1 6 若向量 1 1 a 1 1 b 2 4 c 则 c A ba 3 B ba 3 C ba 3 D ba 3 7 与向量平行的单位向量为 5 12 d A B C 或 D 5 13 12 13 5 13 12 13 5 13 12 13 5 13 12 13 5 13 12 8 已知向量 2 3 向量 4 7 则在上的投影为 a ba b A B C D 13 13 5 65 65 5 9 已知点为的外心 且则 OABC 4 2 ACAB AO BC A 2 B 4 C 6 D 8 10 已知平面向量 3 1 3 abx 且 则x a b A 3 B 9 C 9 D 1 11 已知平面向量的夹角为 ab 与 3 1 22 3 baba 且则 A B C D 1323 12