第五章 第三节

第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaq；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列答案：(1)(2)(3)(4)2在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5B5C4 D4解析：选Caa3a72816，a54.又a5a3q20，a54.3等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. BC. D解析：选C由已知条件及S3a1a2a3，得a39a1，设数列an的公比为q，则q29，所以a59a1q481a1，得a1.4已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8()A32 B64C128 D256解析：选Ca2a4a16，a34(负值舍去)，又S3a1a2a3a37，联立，得3q24q40，解得q或q2，an0，q2，a8a3q527128.5(2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a413d8，解得d3；b41q38，解得q2.所以a2132，b21(2)2，所以1.答案：16设an是公比为正数的等比数列，Sn为an的前n项和，若a11，a516，则数列an的前7项和为_解析：设等比数列an的公比为q(q0)，由a5a1q416，a11，得q416，解得q2，所以S7127.答案：127考什么怎么考等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中低档题.考法(一)求首项或公比1已知等比数列an单调递减，若a31，a2a4，则a1()A2B4C. D2解析：选B由题意，设等比数列an的公比为q，q0，则aa2a41，又a2a4，且an单调递减，所以a22，a4，则q2，q，所以a14.2已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则q_.解析：设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2.答案：2考法(二)求通项公式或特定项3设Sn为等比数列an的前n项和，若a11且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以22(a1a2)3a1a1a2a3a33a2q3，所以ana1qn13n1.答案：3n14(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.解析：设等比数列an的公比为q，则由S62S3，得q1，则解得则a8a1q72732.答案：32考法(三)求等比数列的前n项和5(2018东北四市高考模拟)已知等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4_.解析：由题意得，2(a1a2a3)8a13a2，所以2a3a26a10.设an的公比为q(q0)，则2a1q2a1q6a10，即2q2q60，解得q2或q(舍去)因为a416，所以a12，则S430.答案：306(2017全国卷节选)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn.解：(1)设an的公比为q.由题设可得解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.怎样快解准解1等比数列基本运算中的2种常用数学思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn2等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题等比数列的判定与证明一直是高考的热点，一般在解答题第(1)问中出现，难度适中.对于判定与证明等比数列的常用方法，一定要熟练掌握.典题领悟(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解：(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.解题师说1掌握等比数列的4种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列2等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列(2)证明一个数列an不是等比数列，只需要说明前三项满足aa1a3，或者是存在一个正整数m，使得aamam2即可冲关演练1(2018湖南五市十校高三联考)已知数列an的前n项和SnAqnB(q0)，则“AB”是“数列an是等比数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若AB0，则Sn0，故数列an不是等比数列；若数列an是等比数列，则a1AqB，a2Aq2Aq，a3Aq3Aq2，由，得AB.2数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1.求证：数列cn是等比数列证明：当n1时，a1S1.由anSnn，得a1S11，即2a11，解得a1.又an1Sn1n1，得an1an(Sn1Sn)1，即2an1an1，因为cnan1，所以ancn1，an1cn11，代入式，得2(cn11)(cn1)1，整理得2cn1cn，故(常数)所以数列cn是一个首项c1a11，公比为的等比数列等比数列的性质是高考考查的重点，以中低档题目居多，题型以选择题、填空题为主，突出“小、巧、活”的特点，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等比数列的性质考查分类讨论、化归与方程思想.典题领悟1各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80B30C26 D16解析：选B由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.2(2018石家庄模拟)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.解析：因为，由等比数列的性质知a7a10a8a9，所以.答案：解题师说1掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：若an是等比数列，且an0，则logaan(a0且a1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.2牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇q；若共有2n1项，则S奇S偶(q1且q1)，q.(2)分段求和：SnmSnqnSmqn(q为公比)冲关演练1(2018湖北华师一附中月考)在等比数列an中，a2a3a48，a78，则a1()A1 B1C2 D2解析：选A因为数列an是等比数列，所以a2a3a4a8，所以a32，所以a7a3q42q48，所以q22，则a11，故选A.2已知各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，则S40()A150 B140 C130 D120解析：选A在等比数列an中，由S1010，S3070可知q1，所以S10，S20S10，S30S20，S40S30构成公比为q的等比数列所以(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，解得S2030(负值舍去)因为2q，所以S40S302(S30S20)80，S40S3080150.3在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.解析：设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以3n636，即n14.答案：14(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：选D由等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.2(2018云南11校跨区调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A40 B60C32 D50解析：选B由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S9S616，S612，S12S932，S1232161260.3已知等比数列an的前n项和为Sna2n1，则a的值为()A B.C D.解析：选A当n2时，anSnSn1a2n1a2n2a2n2，当n1时，a1S1a，所以a，所以a.4(2018新乡调研)已知各项均不为0的等差数列an满足a3a110，数列bn为等比数列，且b7a7，则b1b13()A25 B16C8 D4解析：选B由a3a110，得2a70，a74，所以b74，b1b13b16.5已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1解析：选D设等比数列an的公比为q，则q，所以2n1.6(2018漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5C31 D33解析：选D设等比数列an的公比为q，则由已知得q1.S32，S618，得q38，q2，1q533.7已知等比数列an中，a33，a10384，则数列an的通项公式an_.解析：设等比数列an的公比为q，则，得q7128，即q2，把q2代入，得a1，所以数列an的通项公式为ana1qn12n132n3.答案：32n38在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析：设该数列的公比为q，由题意知，1923q3，q364，所以q4.所以插入的两个数分别为3412,12448.答案：12,489(2018邢台摸底)若正项数列an满足a2，a6，且(n2，nN*)，则log2a4_.解析：由(n2，nN*)可得数列an是等比数列，所以aa2a6，又a40，则a4，故log2a4log23.答案：310已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：设公比为q，由aa10，得(a1q4)2a1q9，即a1q.又由2(anan2)5an1，得2q25q20，解得q2，所以ana1qn12n.答案：2nB级中档题目练通抓牢1已知等比数列an的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为()A4 B6C8 D10解析：选C由题意得a1a385，a2a4170，所以数列an的公比q2，由数列an的前n项和Sn，得85170，解得n8.2(2018福建模拟)已知递增的等比数列an的公比为q，其前n项和Sn0，则()Aa10,0q1 Ba11Ca10,0q0，q1解析：选ASn0，a1an，且|an|an1|，anan10，则q(0,1)，a10,0q0，an3an10，即3，数列an是首项a12，公比q3的等比数列，其前n项和Sn3n1.4在等比数列an中，an0，a5a115，a4a26，则a3_.解析：a5a115，a4a26.(q1)两式相除得，即2q25q20，q2或q，当q2时，a11；当q时，a116(舍去)a31224.答案：45(2018海口调研)设数列an的前n项和为Sn，且a11，anan1(n1,2,3，)，则S2n3_.解析：依题意得S2n3a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n3)1.答案：6(2018兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)知ann，bn2n，2，bn是首项为2，公比为2的等比数列，Tn2n12.7已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn4anp，其中p为非零常数(1)求证：数列an为等比数列；(2)若a2，求an的通项公式解：(1)证明：当n1时，S14a1p，得a10.当n2时，anSnSn1(4anp)(4an1p)4an4an1，得3an4an1，即，所以数列an是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)知，数列an的通项公式为ann1，又a2，可知p3，于是ann1.C级重难题目自主选做(2018黄冈调研)在数列an中，a12，an1an(nN*)(1)证明：数列是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bn，若数列bn的前n项和是Tn，求证：Tn2.证明：(1)由题设得，又2，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以2n122n，ann22n.(2)由(1)知bn，因为对任意nN*,2n12n1，所以bn.所以Tn120，a5a115，a4a26，则a3_.解析：a5a115，a4a26.(q1)两式相除得，即2q25q20，q2或q，当q2时，a11；当q时，a116(舍去)a31224.答案：48.(2018合肥质检)已知数列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，则其前9项和S9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an)20，所以an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故S921021 022.答案：1 0229(2018兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列an中，a11，a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则依题意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)得ann，bn2n，2，bn是首项为2，公比为2的等比数列，Tn2n12.10.(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.由a3b35得2dq26. 联立解得(舍去)或因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321，得q2q200，解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.B级拔高题目稳做准做1.(2018天津实验中学月考)设an是由正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30230，则a3a6a9a30()A210 B220C216 D215解析：选B因为a1a2a3a，a4a5a6a，a7a8a9a，a28a29a30a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9a28a29a30(a2a5a8a29