直线的倾斜角与斜率-陈美珍.doc

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计职中数学直线的倾斜角与斜率一、 教案背景1，面向学生： 中学 中职 2，学科：数学2，课时：2课时3，学生课前准备：（1） 寻找生活中关于斜率的实例与斜率在日常生活中的运用。（2） 对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备。（3） 根据课件用几何画板探究倾斜角与斜率的关系.gsp进行预习。二、 教学课题1，知识与技能：（1）了解直线方程的概念。（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念。理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率。（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。2，过程与方法： 体验用代数方法刻画直线的斜率过程，经历观察，质疑，联想，归纳等过程，培养学生分类讨论和数形结合的数学方法和自主探索精神。3，情感态度与价值观：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣，师生共同构建和谐课堂。三、 教材分析（1）知识结构研究直线，建立直线倾斜角的概念；实现直线的倾斜角的几何属性向代数属性的转变；推导出经过两点的直线的斜率公式。这些充分体现了解析几何的思想方法。（2）重点、难点分析重点：斜率的概念和斜率公式。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。难点：对斜率概念的理解。为什么要定义直线的斜率？为什么把斜率定义为倾斜角的正切？这两个问题却并不容易理解。 四、 教学方法（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立。相应的教学过程也有三个阶段在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。本节的难点是对斜率概念的理解。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样。学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗？再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪？要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切。为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板进行展示，帮助学生理解斜率概念。在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备。有了前面直线斜率的探索经验和三角函数的知识准备，两点斜率公式的探索环节由学生自主完成。老师只是给予适当的引导和评价（小组学习评价）。（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价。倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的。在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价。（3）课堂上主要以小组学习的形式进行开展。一方面，中职学生的学习能力不强，小组学习形式可以提高他们的学习效率。另一方面，小组学习形式可以形成竞争的形式，活跃课堂气氛。同时也是课堂管理的一个有效途径。五、 教学过程（一）、设疑激趣，导入新课1.利用斜拉式大桥引课：【百度图片】斜拉式大桥图集/如何固定钢索？这些钢索的位置关系怎么样？利用平面直角坐标系画出右图：两点确定一条直线，过一点直线不唯一。经过点P 一个直线a， b ， c ， 区别在哪里呢？这些直线倾斜程度不同。怎样描述直线的倾斜程度呢？从而引出倾斜角的概念：（二）、教学过程：1.直线的倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）。特别地,当直线与x轴平行或重合时, 规定= 0。观察下图直线l1，l2，l3的倾斜角是怎样的？由此回答直线的倾斜角的取值范围是什么? 0180.当直线与x轴垂直时, = 90.教师强调：平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度。思考1：如上图， 直线abc，那么它们的倾斜角相等吗? 答案是肯定的。所以一个倾斜角不能确定一条直线。确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素： 一个点P和一个倾斜角，二者缺一不可。思考2：生活中的“倾斜程度”通常用什么量表示？引导学生讨论交流，举例。如道路的坡度等，使学生理解生活中的坡度的意义：坡度（比）=升高量/前进量如果我们使用“倾斜角”这个概念，这里的“坡度”实际是“倾斜角的正切值”。2直线的斜率:一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，也就是 k = tan1 直线与x轴平行或重合时, =0，k = tan0=0；当直线与x轴垂直时， = 90，k 不存在。由此可知, 一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.3.几何画板获得直线的倾斜角和直线的斜率的关系 观察上图直线的倾斜角和斜率之间的关系： 由于知识的原因，学生不能通过正切值获得直线的倾斜角和斜率之间的关系，因此教学中通过几何画板）获得直线的倾斜角和斜率的关系。（如上图）可以清楚看到：当时，直线的斜率k是正数；当时，直线的斜率k是负数；思考3；两点确定一条直线，那么给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?直线的斜率坐标公式 直线上的一个定点以及它的倾斜角（斜率）可以确定平面直角坐标中的直线位置。已知两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）可以确定一条直线，那么又如何去求其斜率呢？P1P2Q板书：推导：给定两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1 x2，如何计算直线P1 P2的斜率k(1)、如何把倾斜角转化到三角形中？P1P2Q(2)、理清三点之间的坐标联系。为锐角时，为钝角和P1 P2的顺序变化的三种情况利用（多媒体展示）最终推导出斜率的坐标公式：（3）分析斜率公式： 学生探究：a已知直线上两点P1（ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2） 运用上述公式计算直线 AB斜率时，与P1 P2两点坐标的顺序有关吗？b公式中若x1 =x2时，斜率存在吗？此时直线与x轴的位置关系如何？结合图象，直线与y轴平行或重合，说明此时斜率不存在。此时倾斜角恰好为900c.公式中，若y1= y2斜率存在吗？此时直线与x轴的位置关系如何？结合图象，直线与x轴平行或重合，说明此时斜率存在且为0。师生共同总结：则其斜率公式 使用条件是 x1 x2练习关于直线的倾斜角和斜率，其中说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或；D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等E.直线斜率的范围是(，).F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线（三）、例题教学例1 如图 ，已知A（3，2），B（-4，1）， C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角（略讲）例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1、-1、2、-3设计意图：直线上的一个定点以及它的斜率可以确定平面直角坐标中的直线位置。学生探索：倾斜角不易找出时，如何准确画出直线？教师点拔：利用两点（其中一个为原点）确定一条直线原理作图较简。（四）、练习巩固：1、已知直线l经过C（18，8），D（4，4）两点 , 则l的倾斜角为( )(A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)不确定2已知点A（- m，2），B（5，3m)（1）m= 时，过点A、B的直线的斜率为2.（2）m = 时，过点A、B的直线的倾斜角为135.设计意图：使学生进一步熟练对倾斜角，斜率的定义及斜率公式的理解。（五）、课堂小结1、倾斜角和斜率的概念：（1）都是刻画直线倾斜程度的两个量。一个从形方面，一个从数方面。（2）任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不一定有斜率（3）倾斜角取值范围0，）2求斜率的方法：k=tan，六、 教学反思该教案已经用于实际教学。课前的斜拉式大桥的图集，雄伟壮观的大桥让同学们折服。让同学们感受到了数学来源于生活，服务于生活，培养他们热爱数学，学习数学的情感。大桥的线条轮廓鲜明，很快把学生的注意力集中在直线的方向和倾斜度上。导入应该是比较成功的。本节课是2个课时，第一节课主要是相关知识点的探究与学习。第二节课主要是知识点的回顾和针对性的例题和练习。为了教案的完整性，把两个教