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4 3高阶微分方程的降阶和幂级数解法 4 3 1可降阶的一些方程类型 即 即 解 令 则方程化为 这是一阶方程 其通解为 即有 对上式积分4次 得原方程的通解为 一般形式 因为 即有新方程 将这些表达式代入 4 59 可得 解 令 则方程化为 从而可得 及 这两方程的全部解是 例2 再代回原来变量得到 所以得原方程的通解为 3已知齐线性方程的非零特解 进行降阶 的非零解 令 则 代入 4 69 得 即 引入新的未知函数 方程变为 是一阶线性方程 解之得 因而 则 因此 4 69 的通解为 即 注 一般求 4 69 的解直接用公式 4 70 解 这里 由 4 70 得 例3 代入 4 2 得 若 则 即 因此 对 4 67 仿以上做法 二 二阶线性方程的幂级数解法 对二阶变系数齐线性方程 其求解问题 归结为寻求它的一个非零解 下面介绍用级数表示的解 定理10 定理11 解 将方程改写为 易见 它满足定理11条件 且 将 4 75 代入 4 74 中 得 代入方程得 代回原来的变量得原方程的通解为 作业 P1831 1 3 5 2 1
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