向量的共线问题证明共线问题常用的方法

向量的共线问题证明共线问题常用的方法 1 向量共线 存在唯一实数 使 2 向量 x1 y1 x2 y2 共线 x1y2 x2y1 0 3 向量与共线 4 向量与共线 存在不全为零的实数 1 2 使 例1 已知A 1 1 B 1 5 C 2 5 D 4 7 试判断两线段是否共线 审题指导 题目中给出了四个点的坐标 由此可得两向量的坐标表示 要判断是否共线 首先看是否满足 再说明线段AB与CD是否有公共点 规范解答 2 4 1 6 1 4 6 2 4 12 8 0 不共线 即点C不在直线AB上 同理点D也不在直线AB上 直线AB与CD不共线 即线段AB与CD不共线 例2 已知 1 2 3 2 若平行 求实数k的值 审题指导 本题考查由两向量的共线求参数的问题 要求学生熟练掌握两向量共线的条件 通过两向量共线可得坐标的关系 列出等式 求得参数的值 规范解答 方法一 向量平行 则存在唯一实数 使 k 1 2 2 3 2 k 6 2k 4 2 1 2 4 3 2 14 4 k 6 2k 4 14 4 即实数k的值为 1 方法二 k 1 2 2 3 2 k 6 2k 4 2 1 2 4 3 2 14 4 平行 k 6 4 2k 4 14 0 解得k 1 向量的夹角和垂直问题1 两向量的夹角公式 非零向量 x1 y1 x2 y2 的夹角为 则有2 两向量垂直的条件 要分清两向量垂直的条件和两向量平行的条件坐标表示的区别 例3 设两个向量 满足 2 1 的夹角为 若向量的夹角为钝角 求实数t的范围 审题指导 题目中给出向量的夹角以及 2和 1等条件 由公式cos 可得 若为钝角 则cos 0且cos 1 即 0 同时也应注意向量的共线反向这一情况 规范解答 由已知 为钝角 2t2 15t 7 0 得 7 t 又由 t的取值范围是 7 例4 求证 ABC的三条高线交于一点 审题指导 证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点 然后让另一个顶点与该点的连线与其对边垂直 规范解答 如图 已知AD BE CF是 ABC的三条高 设BE CF交于点H 且令可得因为所以所以运算并化简得 所以又AD BC且AH AD A 所以A H D三点共线 所以AD BE CF相交于一点H 即 ABC的三条高交于一点 向量模的问题解决向量模的问题常用的策略 1 应用公式 其中 x y 2 应用三角形或平行四边形法则 3 应用向量不等式 4 研究模的平方 例5 审题指导 本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的运算 可以用平方求解法 也可以由 1 设出的坐标 化为坐标运算 规范解答 方法一 方法二 设 x1 y1 x2 y2 1 x12 y12 x22 y22 1 3x1 2x2 3y1 2y2 3 x1x2 y1y2 待定系数法解决向量问题待定系数法在向量中的应用待定系数法是数学中一种非常重要的方法 对于某些数学问题 若已知所求结果具有某种确定的形式 则可引入一些尚待确定的系数 或参数 来表示这样的结果 通过变形比较 建立起含有待定字母系数 或参数 的方程 组 并求出相应的字母 或参数 的值 进而使问题获解 这种方法称为待定系数法 在向量中 这种方法也被广泛应用 如平行向量基本定理 平面向量基本定理就是这种方法的体现形式 例6 如图 在 ABC中 M是BC的中点 N在AC上且AN 2NC AM与BN交于点P 求AP PM的值 审题指导 题目中给出了M点是 ABC的边BC的中点 AC边上的点N满足AN 2NC 欲求AP PM的值 可适当选取基底表示出因为点A P M共线 若有则 为AP PM的值 规范解答 A P M与B P N共线 AP PM 4 1 平面向量的应用平面向量两个方面的应用 1 在平面几何中的应用 向量的加法运算和全等 平行 数乘向量和相似 距离 夹角和数量积之间有着密切联系 因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题 2 在物理中的应用 主要解决力 位移 速度等问题 例7 已知正方形ABCD E F分别是CD AD的中点 BE CF交于点P 求证 1 BE CF 2 AP AB 审题指导 本题欲求证线段垂直和相等 可转化为向量的垂直和向量的模相等问题 已知正方形ABCD 可建系设点 把向量用坐标表示出来 用向量的有关知识解决 规范解答 如图建立平面直角坐标系xOy 其中A为原点 不妨设AB 2 则A 0 0 B 2 0 C 2 2 E 1 2 F 0 1 1 1 2 2 0 1 2 0 1 2 2 2 1 1 2 2 1 0 即BE CF 2 设P x y 则 x y 1 2 1 x 2 y 1 即x 2y 2 同理由 得y 2x 4 代入x 2y 2 例8 如图所示 求两个力的合力的大小 精确到0 1N 和方向 精确到分 审题指导 题中给出两个力的大小及夹角的数值 欲求合力 可利用向量的加法运算 在三角形中解决 规范解答 设 a1 a2 b1 b2 则a1 300cos30 259 8 a2 300sin30 150 0 b1 200cos45 141 4 b2 200sin45 141 4 所以 259 8 150 0 141 4 141 4 259 8 150 0 141 4 141 4 118 4 291 4 设与x轴的正向夹角为 则tan 2 4611 由的坐标知 是第一象限的角 所以 67 53 所以两个力的合力是314 5N 与x轴的正方向的夹角为67 53 与y轴的夹角为22 7 1 设平面向量 3 5 2 1 则 A 7 3 B 7 7 C 1 7 D 1 3 解析 选A 3 5 2 2 1 3 5 4 2 7 3 2 给出下列各命题 1 向量的长度与向量的长度相等 2 向量与向量平行 则与的方向相同或相反 3 两个有共同起点而且相等的向量 其终点必相同 4 两个有共同终点的向量 一定是共线向量 5 向量与向量是共线向量 则点A B C D必在同一条直线上 6 有向线段就是向量 向量就是有向线段 其中假命题的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 选C 抓住方向 长度 零向量 结合作图判断 1 真命题 2 假命题 若与中有一个为零向量时 其方向是不确定的 3 真命题 4 假命题 终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反 5 假命题 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 6 假命题 向量是用有向线段来表示的 但并不是有向线段 3 已知 1 0 0 1 则与向量垂直的一个向量为 A B C D 解析 选C 设则 0 且故2a b 0 C项符合 4 若则 A B C D 解析 选故 5 已知直线ax by c 0与圆x2 y2 1相交于A B两点 且则 解析 如图 作OD AB于D 则在Rt AOD中 OA 1 AD 所以 AOD 60 AOB 120 所以 1 1 答案 6 已知向量 1 是不平行于x轴的单位向量 且则 解析 设 m n 依题意有又不平行于x轴 故答案 7 如图 B C是线段AD的三等分点 分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 个互不相等的非零向量 解析 可设AD的长度为3 那么长度为1的向量有6个 其中长度为2的向量有4个 其中长度为3的向量有2个 分别是 所以最多可以写出6个互不相等的非零向量 答案 6 8 已知 1 2 2 n 与的夹角是45 1 求 2 若与同向 且垂直 求 解析 1 由条件知 1 2 2 n 2 2n 2 2n cos45 解得n 6 2 6 2 与同向 可设 0 则 2 6 2 1 6 2 2 1 6 2 2 0 解得 1 3 9 设向量满足 1及 3 求 的值 解析 1 故设 cos sin cos sin 4 cos sin 3 cos