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第三章 中值定理与导数应用 第一节中值定理 一 罗尔 Rolle 定理二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 几何解释 注意 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其结论可能不成立 例如 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根 矛盾 几何解释 三 若在罗尔定理的条件中去掉了结论是否还立 AB C AB 线平行于弦 在该点处的切 上至少有一点 在曲线弧 四 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 微分中值定理 推论1 例2 证 例3 证 由上式得 推论2 如果函数f x 与g x 在区间 a b 内每 一点的导数都相等 则f x 与g x 在 a b 内 相差一个常数 即 f x g x C或 f x g x C C为常数 五 小结 Rolle定理 Lagrange中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系 注意定理成立的条件 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤 拉格朗日中值定理 微分中值定理 作业 P73 第二节洛必达法则 中值定理的特点 精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 函数 导数 中值定理 复习中值定理 例如 型未定式 型及 0 0 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 定理 洛必达法则 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 1 例6 解 例7 解 例8 解 例9 解 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 步骤 例10 解1 步骤 例10 解2 等价无穷小替换 解 例11 步骤 例12 解 例13 解 例14 解 例15 解 极限不存在 洛必达法则失效 注意 洛必达
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