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数学建模综合练习第一章 数学建模方法论 1举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型 2怎样解决下面的实际问题包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等 （1）估计一个人体内血液的总量 （2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额） （3）估计一批日光灯管的寿命 （4）确定火箭发射至最高点所需的时间 （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度 （6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划 （7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划3下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少 4假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+Dt时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）试建立模型并求解作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较 5为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题： （1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么？ （2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ （3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟问他步行了多长时间 6在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1试用比例方法构造模型解释这个现象 （1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素wad （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小解释实际意义是什么？ 7用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角a应多大（如图1）若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端 图1的影响）如果管道是其它形状呢？ 8建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr在每一生产周期T内，开始的一段时间（0tT0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出贮存量的图形设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期讨论kr和k r的情况第二章 初等数学模型 1在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度l与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型 2设某产品的售价为p，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为，试在产销平衡的情况下建立最优价格模型 3在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型 4在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0 +bt，b为增长率又设单位时间的销售量为x = a bp（p为价格）今将销售期分为0 t T /2和T/2 t T两段，每段的价格固定，记作p1，p2求p1，p2的最优值，使销售期内的总利润最大如果要求销售期T内的总销售量为Q0，再求p1，p2的最优值第三章 微分方程模型 1对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的 （2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低 （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用2建立铅球掷远模型不考虑阻力，设铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为a（与地面夹角），建立投掷距离与v，h，a的关系式，并求v，h一定的条件下求最佳出手角度 3与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：，其中r和N的意义与Logistic模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x*0 4在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度与未转换的A的浓度成比例转换A的一半用了20分钟，把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图象第四章 运筹学模型 1一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职 （1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划（建立数学模型） （2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划（建立数学模型） 2某工厂生产两种产品A、B分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表产品预测售量（万件/周）生产率（件/小时）单位利润（元/件）A710000.15B4.510000.3制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标： （1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内； （3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比； （4）尽量减少加班时间例3 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？ 食品营养含量A B（单位）铁蛋白质钙10 55 86 5（mg）(g)(mg)价格4 3(元/kg)第五章 概率统计模型 1报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b元每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小2血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A和B的投资每年初如果投资工程A，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略 4某石油公司必须就下一个打井位置作出决定如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大 参考答案第一章 数学建模方法论 1解（略） 2解（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收 （2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率 （3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间 （4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果 （5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t（S1+S2）/vS1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响 （6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新 （7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层） 3解 人、猫、鸡、米分别记为i=1, 2, 3, 4，当i在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用s=（x1, x2, x3, x4）表示记s的反状态为s=（1-x1, 1-x2, 1-x3, 1-x4），允许状态集合为S=（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态 决策为乘船方案，记作d =（u1, u2, u3, u4），当i在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为D=（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0） 记第k次渡河前的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为sk+1=sk+（-1）kdk，设计安全过河方案归结为求决策序列d1, d2, , dnD，使状态snS按状态转移律由初始状态s1=（1, 1, 1, 1）经n步到达sn+1=（0, 0, 0, 0）一个可行方案如下：k12345678skdk(1,1,1,1)(1,0,1,0)(0,1,0,1)(1,0,0,0)(1,1,0,1)(1,0,0,1)(0,1,0,0)(1,0,1,0)(1,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)xtOx0xm指数模型Logistic模型 4解 ，r为比例系数,，解为，如图2中粗实线所示当t充分大时，它与Logistic模型相近 5解（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇 （2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，那么从乙站到甲站经过丙 图2站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29， （3）步行了25分钟设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55cwO 6解 （1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w和s无关的成分又因为形状一定时一般有sw2/3，故商品的价格可表为C = aw+b w2/3+g（a，b，g为大于0的常数） （2）单位重量价格，其简图如图3所示显然c是w的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的，说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品 图3 7解 将管道展开如图4，可得，若d一定，awpd，；，若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为，若考虑两端的影响，则应加上对于其它形状管道，只需将改为相应的周长即可 图4qtOT0Tk-rr 8解 贮存量的图形如图5单位时间总费用，使达到最小值的最优周期 当kr时，相当 于不考虑生产的 图5情况当k r时，因为产量被销量抵消，无法形成贮存量第二章 初等数学模型 1解 不妨设，表示火势b越大，灭火速度l越小，分母b+1中的1是防止b0x时l而加的最优解为 2解 因为售量x依赖于价格p，记作，称为需求函数，它是p的减函数由此可知收入I和支出C都是价格p的函数，所以利润U可以表示为 （1） 使利润U（p）达到最大的最优价格p*可以由得到，即 （2）其中称为边际收入，称为边际支出（2）式表明最大利润在边际收入等于边际支出时达到 假设需求函数是线性函数，即， （3）并且每件产品的成本q与产量x无关，将总收入函数、总支出函数、需求函数和（3）式代入（1）式可得用微分法求出使U（p）达到最大的最优价格p*为 （4） 在（3）式中a可以理解为这种产品免费供应时（p = 0）社会的需求量，称为“绝对需求量”表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度在实际工作中a，b可以由价格p和售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定（4）式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比 3不妨设，k是产量增加一个单位时成本的降低最优价格为 4总利润为 由，可得最优价格， 设总销量为Q0， 在此约束条件下的最大值点为，第三章 微分方程模型 1解 设t时刻采用新技术的人数为x (t) （1）指数模型 （2）Logistic模型，N为总人数 （3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有ONx(3)(2) （2）和（3）区别见图6ONt(3)(2)x 图6ORxyha 2解 在图7坐标下铅球运动方程为， ，解出，后，可以得铅球掷远为 图7这个关系还可表为 ONxyrN/ex0N/e 由此计算，得最佳出手角度，和最佳成绩设h=1.5m，v=10m/s，则， 3解 模型为，如图8所示，有2个平衡点：x = 0和x0 =可证x = 0不稳定，x0稳定（与E，r的大小无关）最大持续产量为hm = rN/e，获得hm的Em = r，x*0 = 4解 记B的浓度为时间t的函数y(t )，A的浓度为x(t ) 图8 一、假设 11molA分解后产生nmolB 2容体的体积在反应过程中不变 二、建立模型，求解 有假设知，A的消耗速度与A的浓度成比例，故有下列方程成立其中k为比例系数 设反应开始时t = 0，A的浓度为x0，由题中条件知当t = 20（分）时，A的浓度为解初值问题得 它应满足解得 所以得 由于B的浓度为x浓度减少量的n倍，故有Otynx0 三、作图（如图9） 图9第四章 运筹学模型 1解 （1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1, x2, x3, x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S1, S2, S3, S4人以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s.t. （2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1, x2, x3, x4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1, y2, y3, y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S1, S2, S3, S4人以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s.t. 2解 （1）建立模型 设：每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； 周末加班时间内生产哪种产品不限； 生产A产品用x班，生产B产品用y班，周加班时生产A产品用x1小时，生产B产品用y1小时则有 （2）求解 现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：，； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：现在就是在满足，条件下，使上式两端的取值尽量接近显然， 因此 制定方案为，生产A，B两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B3解：设购买食品A和B依次为x1和x2（kg），则有营养最低要求满足：10x1+5x250 （铁含量） 5x1+8x240 （蛋白质含量）6x1+5x242 （钙含量）总花费数记为Z，则有数学模型 s.t.用图解法求解上述问题首先以x1,x2为坐标轴，建立平面直角坐标系（如图3-10），由于x1,x2均非负，故只画出了第一象限x1x2ABCDOx1x2ABCDO其次，将其余约束条件几何化条件（3.1）表示的是一个半平面，先画出直线10x1+5x2=50,因为10x1+5x250，故直线（3.1）的上方区域即条件（3.1）所满足的x1,x2的取值范围；同理将条件（3.2）、（4.3）也几何化，并注意到几个条件要同时满足，便求得一个以顶点A、B、C、D为顶点的右上方无界的五边形区域ABCD.这个区域内的任一点（x1,x2）都是一个可行性配餐方案 图310 图311最后，为了求出最优解，将目标函数也进行几何化，有称为目标函数直线族，因为其中的Z作为参数出现.易见，随着Z的逐渐增大，目标函数直线（3.4）向右上方平行移动也就是说，随着目标函数直线的逐渐往右上方平移，Z的值越来越大，反之，Z的值越来越小（如图3-11）.又原问题是求函数Z的最小值，故应令目标函数直线尽可能往左下方平移但这种平移是有限制的，即点（x1,x2）必须在可行域内.于是两者的结合便可确定本例的最优解.通过上述斜率关系分析可知目标函数直线与直线（3.1）和直线（3.3）的交点（顶点C）相切，即直线（3.1）与直线（3.3）的交点即最优解点.于是问题就变成了求解方程组易解得x1=2,x2=6为最优解，通常记作：对应的目标函数值称为最优值，记作 Z*=26第五章 概率统计模型 1解 设报童每天订购Q份报纸，则其收益函数为利润的期望为比较各个m的值，使其最大者即为所求若