数学北师大版八年级上册备课素材.doc

第1章 勾股定理2一定是直角三角形吗素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入播放小品反正话表演者：马季、于世猷图12马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话于：什么叫做反正话呢？马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！于：咱们可以试试马：我脑门子于：我门(没)脑子！马：我眼珠于：我猪眼！不像话啊！马：我是孙猴子于：我是猴孙子！你说点好听的！马：我是牡丹花于：我是花牡丹！马：我是狗尾巴花于：我是花尾巴狗！听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多定理可以反过来说，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股定理反过来说，大家说它的逆命题还成立吗？说明与建议 说明：通过一篇引人发笑的经典相声引入新课，活跃课堂气氛，引导学生描述勾股定理的逆命题，激发学生探究勾股定理的逆定理的热情建议：让同学们借鉴反正话的方式来描述勾股定理的逆命题，从而引出本节课所要讨论的课题满足这种条件的三角形一定是直角三角形吗？同学们在叙述勾股定理的逆命题时，语言可能不够规范，老师要加以引导，规范逆命题的表述，对逆命题的正确性的探究放在下一环节进行复习导入回答下列问题：问题1：直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？说明与建议 说明：通过直接提出反问，引发对勾股定理逆向思维这一情境的创设引入新课，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣建议：问题1学生可以直接回答，对于问题2教师可先不作出解答，让学生带着疑惑走进课堂素材二教材母题挖掘教材母题第9页例一个零件的形状如图121所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量得这个零件各边尺寸如图121所示，这个零件符合要求吗？图122【模型建立】已知三角形的三边长来判断三角形的形状时，一般做法是先判断三边长中的最长边，然后验证较小两边的平方和与最长边的平方之间的关系若相等，则此三角形是直角三角形，否则不是【变式变形】1如图12所示，在四边形ABCD中，AD3 cm，AB4 cm，BAD90，BC12 cm，CD13 cm.求四边形ABCD的面积答案：36 cm2图12图122如图12，在正方形ABCD中，AB4，AE2，DF1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？答案：4个判断略3已知ABC的三边长为a，b，c，根据下列各组条件，试判断ABC的形状(1)a41，b40，c9；(2)am2n2，bm2n2，c2mn.(mn0)答案：(1)直角三角形(2)直角三角形4如果ABC的三边长a，b，c满足关系式|a2b60|(b18)2|c30|0，则ABC是_直角_三角形素材三考情考向分析命题角度1 直接判别直角三角形如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的又一方法，它与前面学过的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来例滨州中考 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)A4，5，6B1.5，2，2.5C2，3，4 D1，2，3命题角度2 三角形的判定利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：(1)确定三角形的最大边；(2)计算算出最大边的平方以及其他两边的平方和；(3)判定根据计算后的数量关系来判定三角形的形状例贵阳中考 在ABC中，BCa，ACb，ABc，设c为最长边当a2b2c2时，ABC是直角三角形；当a2b2c2时，利用代数式a2b2和c2的大小关系，探究ABC的形状(按角分类)(1)当ABC的三边长分别为6，8，9时，ABC为_锐角_三角形；当ABC的三边长分别为6，8，11时，ABC为_顿角_三角形(2)猜想：当a2b2_c2时，ABC为锐角三角形；当a2b2_c2时，ABC为钝角三角形(3)判断当a2，b4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围解： (3)c为最长边，246，4c6.a2b2224220.a2b2c2，即c220，0c2 ，当4c2 时，这个三角形是锐角三角形；a2b2c2，即c220，c2 ，当c2 时，这个三角形是直角三角形；a2b2c2，即c220，c2 当2 c6时，这个三角形是锐角三角形.素材四教材习题答案P10随堂练习1下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由(1)9 , 12 , 15；(2)12 , 18 , 22；(3)12 , 35 , 36; (4)15 , 36 , 39.解：92122152，152362392，(1)(4)可以作为直角三角形的三边长2如图，在正方形ABCD中，AB4，AE2，DF1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流解：根据勾股定理得BE220，EF25，BF225，则BE2EF2BF2，BEF是直角三角形即图中有4个直角三角形P10习题1.3知识技能1如果直角三角形的两直角边长为9，40，那么斜边长为多少？解：斜边长41.2如果三条线段a, b, c满足a2c2b2，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？解：因为通过移项得a2b2c2，所以这三条线段组成的三角形是直角三角形数学理解3(1)如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形还是直角三角形吗？(2)下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意倍呢？说说你的理由2倍3倍4倍10倍3，4，56，8，10_，_，_，_，_，_，_5，12，13_，_，_15，36，39_，_，_，_，_8，15，17_，_，_，_，_32，60，68_，_，_7，24，25_，_，_，_，_，_，_70，240，250解：(1)还是直角三角形(2)它们的2倍、3倍、4倍、10倍仍为勾股数，具体见下表：2倍3倍3，4，56，8，109，12，155，12，1310，24，2615，36，398，15，1716，30，3424，45，517，24，2514，48，5021，72，754倍10倍12，16，2030，40，5020，48，5250，120，13032，60，6880，150，17028，96，10070，240，250当三角形的三边长同时扩大任意倍时，不改变三角形的形状，其边长仍是勾股数4 如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由解：略(提示：分别求出三角形的各个边长，满足勾股定理的即为直角三角形)问题解决5.给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？解：略(提示：根据勾股定理的逆定理来设计)联系拓广6.美国哥伦比亚大学收藏了一块古巴比伦时代的泥板(如图). 经科学家研究，这块泥板上的三列文字实际上是三列数字(如下表)你知道这些数字间的关系吗？借助计算器进行探索abc1201191693 4563 3674 8254 8004 6016 64913 50012 70918 5417265973603194812 7002 2913 5419607991 2496004817696 4804 9618 1616045752 4001 6792 9292401612892 7001 7713 2299056106解：这些数字满足a2b2c2.素材五图书增值练习能力培优专题 判断三角形形状1. 已知a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2. 在ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且mn0，（1）你能判断ABC的最长边吗？请说明理由；（2）ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示a，b，c（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想答案：1D 【解析】 a2c2-b2c2=a4-b4，（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，a+b0，a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形故选D2解：（1）a是最长边，其理由是：a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n20，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）20，ab，ac，a是最长边.（2）ABC是直角三角形，其理由是：b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，ABC是直角三角形3解：（1）由图表可以得出：n=2时，a=22-1，b=22，c=22+1；n=3时，a=32-1，b=23，c=32+1；n=4时，a=42-1，b=24，c=42+1.a=n2-1，b=2n，c=n2+1（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，a2+b2=c2，以a、b、c为边的三角形是直角三角形素材六数学素养提升勾股定理与外星文明人类在宇宙中是惟一存在的智慧生物吗?除了人类文明之外，茫茫宇宙是否还存在外星文明?这是古今中外一直困扰我们人类的难题。在这种探索中，科学家通过宇宙飞船考察了太阳系里的其他行星，特别是对可能存在生命的火星和土星的一个卫星“土卫六”进行了重点探测，但并没发现有生命存在的迹象。在太阳系之外，要想找到智慧生命，首先要像太阳系一样的行星系统，天文学家估计，在银河系中类似地球这样的行星约有100万颗，可惜它们离我们太遥远了。很多学者认为，要寻找外星文明，首先应该寻找一种能跟外星人相互沟通的“语言”，然后再跟外星人联系。而科学家自然想起了“勾股定理”和“勾股数” ，正如我国著名数学家华罗庚所说：“若要沟通两个不同星球信息交往，最好在太空飞船中带走两个图形表示数的洛书与表示数行关系的勾股定理图。”因为勾股定理反映了宇宙中最基本的形和数的关系，只要是有智慧的高级生物，就一定会懂得其含义，“勾股定理”和“勾股数”