高数12复习题.doc

高数复习题（一）一、1下列命题正确的是（ ）(A) 若在处可微，则在该点处连续；(B) 若在处可微，则存在；(C) 若在处都存在，则在处连续；(D)若在处的二阶偏导数都存在，则在处连续。3若是内以为周期的按段光滑的函数, 则的傅里叶（Fourier）级数在它的间断点处（ ）（A）收敛于； （B）可能收敛也可能发散；（C）收敛于； （D）发散4若级数 都收敛，则（ ）(A) 收敛； (B) 收敛 ； (C) 收敛； (D) 收敛。5. 函数在 点处由指向方向的方向导数为_(A) (B) (C) (D) 二、1函数的梯度 2设与所围成，不计算只把三重积分化为先后，最后的累次积分 3已知向量的模分别为及，则 5. 设, 将在上展开为傅里叶（Fourier）级数的系数 (只写表达式，不计算)。三、1试求曲面上过的切平面方程。2设函数由方程所确定的隐函数，求3设，具有连续偏导数，求。四、1计算，其中D是由曲线，直线和围成。2计算积分，其中L是从点A（1，0）经下半圆周到点B（7，0）的路径。2、设由方程所确定，求；3、设，具有二阶连续偏导数，求.五、1判断级数的敛散性。2判别级数的敛散性。若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛七、将长为的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。八求函数在点A（0，1，0）沿A指向点B（2，-2，2）的方向的方向导数。九、将函数展开成的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.（二）一、1. 函数在点处连续是函数在该点偏导数存在的 ( ) (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。2. 设函数是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。3.设，在上以为周期的 级数的和函数为，则以下结论中错误的是（ ）(A)当时，=; (B) 当时，=;(C) 当时，=; (C)当时，=;5设，则点的梯度等于（ ）（A） （B） （C） （ D）二、1. 已知曲面上点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标是 .2. 函数在点处由指向方向的方向导数为_.3.设L为圆周 ，则 .4.设函数 则 .5.若级数收敛，则级数 .三、设，求四、计算二重积分 ，其中D是由所围成的第一象限的闭区域.五、利用三重积分计算由平面 所围成的四面体的体积。六、已知是上介于与平面之间的曲面，计算 七、1判断级数是否收敛？若收敛，试求其和,其中。2求幂级数的收敛半径与收敛域。3试将函数展开成的麦克劳林级数,并讨论级数的收敛域.九、利用拉格朗日乘数法求椭圆抛物面到平面的最短距离. （三）一、1设，交换积分次序，得（ ）(A) (B) (C) (D) 2函数项级数 的收敛域是（）(A) (B) (C) (D) 3向量，则（ ） (A) (B) (C) (D) 4函数的傅里叶级数展开式是（）(A) (B) (C) (D) 6、设级数绝对收敛，则级数的敛散性是（ ）；(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D) 敛散性无法判定二、1已知点，则方向与相同的单位向量 。2设 ，则 。4设，则 。5二次积分的极坐标形式的二次积分为 。三、1、计算，其中由曲面、与平面围成。2、计算，其中为平面在第一卦限中的部分。3、计算，为从点经到点的弧段。4求函数在抛物线上点处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数四、1设，求。2求过点M（1，2，-1）且与直线垂直的平面方程。4、级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？5、将函数展开成的幂级数。五、证明：螺旋线的切线与轴的夹角为定角。六、修建一座容积为的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是地每单位面积造价的3倍和2倍。问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。（四）一、1设，则点的梯度等于（ ）（A） （B） （C） （ D）2设区域：，是域上的连续函数，则（ ）(A) (B) (C) (D) 3设函数是以为周期的周期函数,在闭区间上，则的傅里叶级数在处收敛于( )(A) (B) (C) (D) 5已知向量的模分别为及，则（ ） (A) (B) (C) (D) 二、1曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 。2幂级数的收敛域是 。 4设，则 。5交换二次积分的积分次序为 。三、1计算曲线积分，其中是从点到点的直线段。2计算，其中由三个坐标平面与平面围成。 四、1设，其中，求。2、求过点且与直线平行的直线方程。4级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？5将函数展开成的幂级数。五、设曲面为是此曲面上一点，试证曲面在点处的法线与向径垂直。六、设某工厂生产甲产品的数量S（吨）与所用两种原料A，B的数量（吨）间有关系式。现准备向银行贷款150万元购原料，已知A，B原料每吨单价为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产数量最多？生产量最大值为多少？（五）一、 1二重积分 (其中D：)的值为 （ ） （A） （B） （C） （D）2幂级数的收敛域是( ) （A） （B） （C） （D）4. 函数在点处沿(是原点)方向的方向导数为（ ）（A） （B） （C） （D）5设且与轴垂直，则必有（ ）（A） （B） （C） （D）二、1曲线关于面的投影曲线方程是 。2交换二次积分的积分次序为 。 3设函数由方程所确定，则 。4函数是以为周期的周期函数，在区间上，则的傅里叶展开式中， 。三、1 计算积分 ，式中L是从点沿曲线到点的弧段。3 设是曲面、及平面围成的闭区域，试计算。 四、1、设，而，求。2、求曲线对应于处的切线和法平面方程。4级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？5试将函数展开成的麦克劳林级数,并讨论级数的收敛域.6试将函数展开成的幂级数，并讨论级数的收敛域.五、求函数在抛物线上点处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数六、将周长为的矩形绕它的一边旋转成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积为最大？七计算，其中是由所围成的空间闭区域。 （六）一、1、二元函数在点处 A、连续，偏导数存在. B、连续，偏导数不存在.C、不连续，偏导数存在. D、不连续，偏导数不存在.2、已知，则等于 A、2. B、. C、. D、 1.3、已知级数收敛，则必收敛的级数为 A、. B、. C、. D、.4、交换积分次序为 A、.B、.C、.D、.5、 A、3. B、0.C、. D、1.二、1、过点且垂直于直线的平面方程为 2、函数在处沿直线与轴正向夹角为锐角的方向导数为 3、设是以2为周期的周期函数,则的傅里叶级数在 收敛于 4、若幂级数的收敛半径为，则级数的收敛半径为 5、设平面曲线为上半圆周，则曲线积分 三、1、求曲面在点处的切平面方程与法线方程.2、设，求3、设，具有连续偏导数，求.四题、1、计算，其中由抛物线和直线所围成的平面闭区域. 2、计算，其中是由圆周围成的区域.3.求过点，且与两平面和平行的直线方程 五题1、判别级数的敛散性. 2、将函数展开成的幂级数. 3、判定级数的敛散性，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？六题、1、计算，其中L为圆周在第一象限沿顺时针方向的部分.2、计算曲面积分，其中是由曲面与所围立体的表面外侧.七题、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体. （要求：用拉格朗日乘数法）（五）一、1、设函数在点的两个偏导数和都存在，则 A、在点必连续. B、在点必可微.C、和都存在. D、存在.2、已知，若向量与向量垂直，则系数为 A、40. B、20. C、 10. D、 14.3、已知级数收敛，则级数 A、必绝对收敛. B、必发散. C、必收敛. D、可能收敛也可能发散.4、直角坐标系下的累次积分化为极坐标下的累次积分为 A、. B、.C、. D、.5、 A、3. B、不存在.C、. D、6.二、1、过点且垂直于平面的直线方程为 2、函数在处沿直线方向的方向导数为 3、设是以2为周期的周期函数,则的傅里叶级数在 收敛于 4、幂级数收敛半径为 5、设平面曲线为下半圆周，则曲线积 三题、1、求曲面在点处的切平面方程.2、由方程确定隐函数，求3、设，具有连续偏导数，求.四题、1、计算，其中由两抛物线，所围成的平面闭区域. 2、计算，其中是由曲线和直线围成的区域.五题、1、判别级数的敛散性.若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛. 2、将函数展开成的幂级数. 六题、1、计算，其中L为抛物线上从点A到点B的一段弧.2、求，其中是由及所围成的闭区域。3求，其中为园域。七题、求由原点到曲面上的点的最短距离.（六）一、1、设函数在点处的偏导数存在，则 A、. B、.C、2. D、.2、已知且，则 A、18. B、12. C、 6. D、 24.3、设是一个负整数，则级数 A、发散. B、条件收敛. C、绝对收敛. D、敛散性与有关.4、交换积分次序为 A、. B、.C、. D、.5、在处连续是在该点可微的 A、充要条件. B、必要但非充分条件.C、充分但非必要条件. D、无关条件.二、1、过点与直线垂直的平面方程为 2、函数在处沿方向的方向导数为 3、设是以2为周期的周期函数,则的傅里叶系数 4、幂级数收敛半径为 5、设是椭圆，其周长记为，则 三题、1、求曲线在点处的切线与法平面方程 2、由方程确定隐函数，求，3、设，具有连续偏导数，求.四题、1、计算，其中. 2、计算，其中区域是由直线和曲线围成的.五题、1、判别级数的敛散性.2、将函数展开成的幂级数.六题、1、计算，其中L为抛物线上从点A到点B的一段弧.七题、求函数在条件下的极值. （要求不能转化成无条件极值）.（七）一、1.对任意向量与, 下列表达式中错误的是( ）.A ； B ； C ； D 2.下列平面中与直线垂直的是( ）.A ； B ；C ； D 3.已知是长方形域：；且，则( ）.A 1； B 2； C 3； D 4.4.如果函数的两个二阶偏导数及在区域内连续，则这两个偏导数在该区域内的关系是( ）.A； B； C； D不能确定.5.下面说法正确的是( ）.A 已知则级数一定收敛；B 如果级数发散，则；C 若级数收敛，则级数一定收敛；D 若级数和都收敛，则级数收敛.二、1.过点且与平面垂直的直线方程为_.2.函数在处沿从到方向的方向导数为 _ .3.交换二次积分的次序 _ . 4.若数项级数收敛，则级数的敛散性为_.(收敛或发散)5.设是以为起点以为终点的直线，则 _ .三题、1.设曲面是可微函数，通过点，求曲面在这点的法线方程2.求由方程所确定的隐函数的全微分3.设，求，四题、1.计算,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2.利用格林公式计算其中为圆周,沿逆时针方向.五题、1.将展开成的幂级数.2. 计算曲面积分，其中是长方体的整个表面的外侧，且.六题、1.判定级数的收敛性.2.判定级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？七题、求函数 在条件 下的极值.（应用拉格朗日乘数法）.（八）一、1.列直线中与直线平行的是( ) .A ； B ；C ； D 2.函数在点偏导存在与可微的关系是( ) .A 偏导存在一定可微； 可微一定偏导存在； 偏导存在一定不可微； 可微一定偏导不存在.3.交换积分次序后为( ) .A ； B ；C ； D .4.面说法正确的是( ) .A 级数收敛，则； B ，则级数收敛 ；C 如果级数发散，则； D ，则级数发散（其中为级数的部分和）.5.级数的收敛半径为( ) .A ； B ； C ； D 二、通过轴和点的平面的方程是_2. _. 交换的积分次序 _ _ . 4.设是z=1x2y2在xoy面上方部分曲面的上侧，则等于_.5.若幂级数在处发散，则此级数在处 _ . (收敛或发散)三题、1.已知曲线，求曲线对应于处的切线方程2.设，求.3.求由方程所确定的隐函数的全微分四题、1.化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二次积分，并计算积分值.2.设曲线为圆周，取顺时针方向，求.五题、1.计算曲面积分，其中为曲面及所围成的闭区域的边界曲面的外侧.2.求幂级数的收敛半径和收敛域.六题、 判定级数的收敛性. 判定级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？七题、求函数的极值（九）一、1、函数在点处连续是函数在该点偏导数存在的 ( ). A必要而非充分条件； B充分而非必要条件； C充分必要条件； D既非充分又非必要条件.2、对任意向量与, 下列表达式中错误的是( ).A ； B ； C ； D 3、已知正项级数收敛，则必收敛的级数为( ).A、. B、. C、. D、.4、在有界闭区域D上连续是二重积分存在的（ ）条件.A、充分 B、必要 C、充要 D、无关5、函数的定义域是（ ）A； B；C； D二、1、两平面和的夹角是 2、函数在点处沿(是原点)方向的方向导数为 3、设是以2为周期的周期函数,则的傅里叶级数在 收敛于 4、对于数项级数，是它收敛的 （充分、必要、充要）条件，不是它收敛的 （充分、必要、充要）条件.5、若L是从点（1，2）到点（4，2）的直线段，则 三题、1、设曲面是可微函数，通过点，求曲面在这点的法线方程.2、设为连续可微函数，求.3、设由方程确定，求.四题、1、计算，其中D为所围的区域. 2、计算，其中.五