电子云环的氢分子模型

电子云环的氢分子模型 摘摘 要要 本文用电子云环方法 考虑了氢分子形成因素 用经典量子论的方法 计算了氢 分子的结合能曲线 达到较高精度 计算氢分子转动基频和振动基频基本和实验值一致 关键词关键词 电子云环 氢分子 模型 一 氢分子结合能曲线计算 当氢原子以较小动能互相接近时 它们的电子的任一瞬时轨道平面 只有当在互相平 行 时才有相对低的能量 否则会因有转矩而产 生旋转到平行 如图 一所示 当它们逐步放 出能量而互相靠近 图一 形成 H2时 有图二所示模型 x 为核间距 核 Z1 Z2到电子 e1 e2的距离为 r1 r2 e1 e2 电子云环的的半径为 s s R1 R2 1 2是 r1 r2和 x 的夹角 e1 r1 re r2 e2电子云环应该有一 1 2 个宽度 这里简化为 Z1 Z2 一个轨道环 由于 e1 b e1 e2 e2环不是刚性的 只 在电场中处于一个动 a1 a2 态平衡的最低能量态 x 根据库仑定律在 10 15m 图二 以上均成立 可以写出下列各式 s 是 e1环上任一点 ss 是两电子云环间距离 b 是 e1 环上又一点 联接 bs bs bos a1是 Z1到 e1环中心距离 a2是 Z2到 e2环中心距离 Z1对 Z2作用力 F1为 F1 Z1Z2e2 4 ox2 1 1 Z1对 e1作用力 F2可分解为垂直于 x 轴分量 F2 平行于 x 轴分量 F2 有 F2 Z1e2R1 4 or13 1 2 F2 Z1e2a1 4 or13 1 3 Z2对 e2也可以写出 F3相同式 F3 Z2e2R2 4 or23 1 4 o R1R2 F3 Z2e2a2 4 or23 1 5 Z1对 e2的力 F4可分解为 F4 F4 有 F4 Z1e2R2 4 o x a2 2 R22 3 1 6 F4 Z1e2 x a2 4 o x a2 2 R22 3 1 7 Z2对 e1的力 F5同样可写出 F5 Z2e2R1 4 o x a1 2 R12 3 1 8 F5 Z2e2 x a1 4 o x a1 2 R12 3 1 9 e1环与 e2环间力可以写出 F6及分量 F6 F6 如图二所示 re2 x a1 a2 2 bs2 bs2 2R2 2R2cos cos 90 2 R Rcos bs F6 e2 2 02 bscos 90 2 d 4 ore3 e2 2 02 R1 1 cos d 4 o x a1 a2 2 2R2 1 cos 3 1 10 当 cos 1 2 2 F6 e2 16 2 oR12 ln 2 R1 4 2R12 x a1 a2 2 x a1 a2 2 R1 4 2R12 x a1 a2 2 1 11 F6 e2 2 02 x a a d 4 ore3 1 12 当 cos 1 2 2 F6 e2 4 o x a1 a2 4 2R12 x a1 a2 2 1 13 当两氢原子处于基态 可假定 r r1 r2 a a1 a2 n1 n2 1 R R1 R2 1 2 Z1 Z2 1 平行分力平衡时有 F1 F2 F5 F3 F4 1 14 即是 1 x2 x a R2 x a 2 3 a R2 a2 3 0 1 15 并有 F5 F2 F6 1 16 即是 a R2 a2 3 1 x 2a 4 2R2 x 2a 2 x a R2 x a 2 3 0 1 17 垂直分力平衡时 设 e1 e2分别有动能为 T1 1 2m1v12 T2 1 2m2v22 设 e1 e2 均为园周运动 离心力分别为 m1v12 R1 m2v22 R2 当两氢原子对称时有 mv2 R m1v12 R1 m2v22 R2 有 mv2 R F2 F5 F6 F3 F4 F 6 1 18 令 Z Z r3 x a 2 R2 3 Zr3 4 R3 2 R 4 2R2 x 2a 2 ln 2 R 4 2R2 x 2a 2 x 2a 1 19 则 1 18 式可写成 mv2 R Z e2R 4 or3 1 20 当量子化条件 2 m r nh 时有 r on2h2 Z me2sin2 n2A Z sin2 1 21 R n2A Z sin 1 22 A 是氢原子基态半径 A 0 529166 10 10m H2的能量式可写出 两核间 E1 Z2e2 4 ox 1 23 当两氢原子对称时 Z1对 e1 Z2对 e2为 E2 E3 Ze2 4 or 1 24 Z1对 e2 Z2对 e1对称时有 E4 E5 Ze2 4 o R2 X a 2 1 25 两电子云环间势能为 E6 e2 4 o 1 2 02 d x 2a 2 R2cos e2 8 2 oR ln 2 R 4 2R2 x 2a 2 x 2a 1 26 两电子动能对称时有 T1 T2 Z e2sin2 8 or 1 27 H2体系总能量 E 为 E E1 E2 E3 E4 E5 E6 T1 T2 1 28 当两氢原子处于基态对称时有 E e2 4 o Z2 x 2Z r Z sin2 r 2Z R2 x a 2 1 2 R ln 2 R 4 2R2 x 2a 2 x 2a 1 29 从 1 17 1 19 1 21 1 22 等式可求出两核间不同 x 时的 r R a 值 代入体系能量式 1 29 可求出在不同核间距时体系的能量如下表一 H 主要计算数据及结合能数据表 表一 x 10 10m 1 2 度 Z r1 r2 10 10m R1 R2 10 10m a1 a2 10 10m E E 27 2eV 0 3 83 74815332 1 404396 0 3813053538 0 3790376656 0 0415237388 19 1983 8 0017 0 4 81 4454 1 3121 0 4125145286 0 4079251228 0 0613622894 26 9311 0 2689 0 405438145 81 35346 1 307795 0 413982184 0 409277108 0 062237434 27 1996 0 0 0 5 80 380103 1 23434075 0 441059972 0 4348144586 0 0736986868 29 4072 2 9407 0 6 80 250038 1 16973 0 4657400014 0 4590129327 0 0788725337 31 3127 4 1127 0 696 80 695 1 1203 0 4849649577 0 4785835998 0 0784139548 31 5593 4 3593 0 7 80 717482 1 11852885 0 4857293141 0 4793686785 0 0783494526 31 5557 4 3557 0 73 80 93 1 1057784 0 4910871146 0 4849467985 0 0774154819 31 5119 4 3119 0 8 81 524069 1 07925072 0 5011696497 0 4956958089 0 0738693637 31 3892 4 1892 0 9 82 46 1 050185 0 5127970861 0 5083631837 0 0672883717 31 0560 3 8560 1 0 83 386 1 0290553 0 5211666797 0 5176981339 0 0600278432 30 6932 3 4932 1 2 85 036 1 00327323 0 5314043357 0 5294111779 0 0459823097 30 0073 2 8073 1 5 86 79 0 98720 0 5376968208 0 5368531779 0 0301087447 29 2213 2 0213 2 0 88 361726 0 98247 0 5387577506 0 5385375282 0 0154027496 28 4350 1 2350 3 0 89 47355 0 987960 0 535638337 0 5356157267 0 0049215289 27 7232 0 5232 根据表一的数据 绘成核间距和结合能间的关系曲线图三如下 从本方法计算值和实验值比较 基本和实验值一致 但本方法计算的最低结合能在核 间距为 0 696 10 10m 处 和量子力学结果 0 7416 10 10m 有一些不同 在 0 696 处给出 的结合能为 4 3593eV 和实验值 4 476eV 相差 0 1167eV 误差 2 6 用经典量子方法 结合 H2旋转基频实验值计算的两氢原子核间距为 0 6972 10 10m 未考虑电子云环宽度是 造成误差的一个因素 二 H2振动基频计算 在任一核间距 x 从 1 17 式有两电子云环间作用力均为零 从 1 15 式可知在 x 0 734407 10 10m 时 1 15 式为零 两核间力 FZ由下式给出 FZ F1 F2 F4 2 1 即 FZ e2 4 o Z2 x2 Z x a R2 x a 2 3 a R2 a2 2 2 表二是 x 和 Fz的关系值表 表中 x 单位 10 10m FZ单位 e2 4 o 10 20m x 和 Fz关系表 表二 x 0 3 0 4 0 405438145 0 5 Fz 7 685380128 3 103405572 2 954039384 1 252745689 x 0 6 0 7 0 734407212 0 8 Fz 0 4410456704 0 072093427 0 0 0 0927970046 x 0 9 1 0 1 2 1 5 Fz 0 1611359942 0 1847070706 0 1758088177 0 13281486 x 2 0 3 0 4 0 5 0 Fz 0 0767243213 0 0272485618 0 0113605196 5 33055 10 3 两核间作简谐运动时 可写出方程 m1d2x1 dt2 Fz 0 2 3 m2d2x2 dt2 Fz 0 2 3 令 Fz x1 k1 Fz x2 k2 上式可写成 m1d2x1 dt2 k1x1 0 2 4 m2d2x2 dt2 k2x2 0 2 4 在 H2对称时 k k1 k2 m m1 m2 1 2 k m 2 5 从量子化通则 pdq ET m 2A2T 2 nh 2 6 2 6 式结合 2 4 式有 m1 2 d2x1 dt2 2 k1x12 2 E1 2 7 m2 2 d2x2 dt2 2 k2x22 2 E2 2 7 设 E1 n1h1 T1 E2 n2h2 T2 T 2 A 是振幅 把 2 7 两式相加 体系 总能量 E E1 E2 有 E h n1 n2 2 h n1 n2 2 8 2 8 式是两氢原子简谐振动的能量式 也可推广到其它两质点谐振动 以 0 7344 10 10m 为 Fz平衡点 x1或 x2值为 0 7344 10 10m x k1 Fz x1 k2 Fz x2 求出 k 值与 x 关系如表三 k 单位 e2 4 o 10 30m k 与 x 关系表 表三 x 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 7344 0 8 0 9 k 17 6919 9 2805 5 3444 3 2816 2 0957 0 0 1 4146 0 9730 x 1 0 1 2 1 5 2 0 3 0 4 0 5 0 k 0 6954 0 3776 0 1735 0 0606 0 0120 0 0035 0 0013 设 ka 0 kb 0 ka是 x 在 0 3 10 10m x 0 7344 10 10m 这段 kb是 x 在 0 7344 10 10m x 3 10 10m 用 0 025 10 10m 分段取值 插值等分 部分 k 和 x 关 系 如下表四 k 与 x 关系表 表四 x 0 30 0 325 0 35 0 375 0 40 0 425 0 45 0 475 0 50 0 525 0 55 0 575 k 17 6919 15 5890 13 4862 11 3833 9 2805 8 2964 7 3124 6 3284 5 3444 4 8287 4 3130 3 7973 x 0 60 0 625 0 65 0 675 0 70 0 7172 0 7344 0 7563 0 7781 0 80 0 825 0 85 k 3 2816 2 9851 2 6886 2 3921 2 0957 1 4503 0 00 0 4715 0 9431 1 4146 1 3042 1 1938 x 0 875 0 90 0 925 0 95 0 975 1 00 1 025 1 05 1 075 1 10 1 125 1 15 k 1 0834 0 9730 0 9036 0 8342 0 7648 0 6954 0 6557 0 6160 0 5763 0 5365 0 4968 0 4571 x 1 175 1 20 1 225 1 25 1 275 1 30 1 325 1 350 1 375 1 400 1 425 1 45 k 0 4174 0 3776 0 3615 0 3453 0 3274 0 3095 0 2925 0 2755 0 2585 0 2415 0 2245 0 2075 用求平均值公式 k 1 b a abf x dx 1 n yo 2 y1 y2 yn 1 yn 2 求得各段 k 值的平均值如表五 x 单位 10 10m k 单位 e2 4 o 10 30m x 与 ka kb关系表 表五 x 0 40 0 450 0 475 0 500 0 525 0 550 0 575 0 600 ka 3 9836 3 3201 3 0284 2 7731 2 5418 2 3164 2 0990 1 8932 x 0 90 0 925 0 95 1 00 1 05 1 075 1 10 1 20 kb 0 8621 0 8706 0 8704 0 8528 0 8247 0 8094 0 7936 0 7263 用线性 ka kb来近似 简化两核间为简谐振动 设 m2核在原点不动 m1核振动时有 m1d2xa dt2 kaxa 0 2 9 m1d2xb dt2 kbxb 0 2 9 从 2 9 式有 a ka m 1 2 2 10 b kb m 1 2 2 11 m1的振动周期 T 有 T Ta Tb 2 2 12 m1的 为 2 a b a b 2 13 m1的振幅 A 为 A Aa A b 2 14 从 2 6 2 7 和 2 8 有 E1 n1h 2 m 2A2 2 2 15 可得 m1在不同 k 值时振幅 下式中 ka kb为平均值 Aa n1h mka 1 2 2 16 Ab n1h mkb 1 2 2 17 从 2 13 2 15 2 16 2 17 式可解 m1的 Aa Ab a b E1见表六 m1在不同 n1值时的 Aa Ab a b E1表 表六 n1 x x Aa Ab a 1014 b 1014 1014 E1 cm 1 2E1 cm 1 1 0 575 0 925 0 1531 0 1907 5 3780 3 4635 4 2135 2236 85 4473 70 2 0 525 1 00 0 2063 0 2711 5 9181 3 4279 4 3412 4609 34 9264 44 3 0 475 1 075 0 2419 0 3364 6 4598 3 3396 4 4030 7012 29 14024 58 E En En 1 E2 E1 4869 20cm 1 E3 E2 4760 14cm 1 逐步下降和实验相符 表六中 x 对应表五中 x 值及用所求的