山东省莱芜市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年山东省莱芜市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题；本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的 1函数 的定义域为（ ） A x|x 0 B x|x 1 0 C x|x 1 D x|x 1 2已知向量 与 的夹角为 120，且 | |=| |=2，那么 （ 2 ）的值为（ ） A 8 B 6 C 0 D 4 3若等差数列 前 7 项和 1，且 1，则 ） A 5 B 6 C 7 D 8 4已知 ， 为不重合的两个平面，直线 m，那么 “m ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5直线 3x y=0 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到直线的方程为（ ） A x+3y 3=0 B x+3y 1=0 C 3x y 3=0 D x 3y+3=0 6已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f（ x） =1 x），则函数 f（ x）的大致图象为（ ） A B C D 7直线 ax+a b=0（ a）与圆 x2+2=0 的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交或相切 D相交 8直线 a、 b 是异面直线， 、 是平面，若 a， b， =c，则下列说法正确的是（ ） A c 至少与 a、 b 中的一条相交 B c 至多与 a、 b 中的一条相交 C c 与 a、 b 都相交 D c 与 a、 b 都不相交 9已知函数 f（ x） =2于 上的任意 如下条件： ； | |其中能使 恒成立的条件个数共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 10已知双曲线 的左焦点是 F（ c， 0），离心率为 e，过点 x2+y2=y 轴右侧交于点 P，若 P 在抛物线，则 ） A B C D 二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 5分，共计 25 分 第 2 页（共 16 页） 11若双曲线 的一个焦点的坐标是（ 2， 0），则 k= 12函数 图象的对称中心的坐标为 13某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 14若直线 过点（ 2， 1），则 3a+b 的最小值为 15已知 a、 b 是异面直线， M 为空间一点， Ma， Mb给出下列命题： 存在一个平面 ，使得 b， a ； 存在一个平面 ，使得 b， a ； 存在一条直线 l，使得 Ml， l a， l b； 存在一条 直线 l，使得 Ml， l 与 a、 b 都相交 其中真命题的序号是 （请将真命题的序号全部写上） 三、解答题：本大题共 6个小题，满分 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知向量 =（ 21）， =（ 3）， ，其中 A 是 内角 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 锐角三角形，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a= ， b=3，求 17已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为圆 M： x2+4x=0 的圆心，直线 l 与抛物线C 的准线和 y 轴分别交于点 P、 Q，且 P、 Q 的纵坐标分别为 3t 、 2t（ tR， t0） （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）求证：直线 l 恒与圆 M 相切 18设数列 前 n 项的和为 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，数列 前 n 项的和为 对一切 nN*，均有，求实数 m 的取值范围 19如图，三棱柱 矩形，侧面 侧面 ， 0， D 是 中点 （ ） 求证： 平面 （ ）求证： 平面 第 3 页（共 16 页） 20已知椭圆 ，其焦点在 O： x2+ 上， A，B 是椭圆的左右顶点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） M， N 分别是椭圆 C 和 O 上的动点（ M， N 不在 y 轴同侧），且直线 y 轴垂直，直线 别与 y 轴交于点 P， Q，求证： 21已知函数 f（ x） =x aR （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 ，若函数 g（ x）在（ 1， +）上为减函数，求实数 a 的最小值； （ ）若 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年山东省莱芜市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题；本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是正确的 1函数 的定义域为（ ） A x|x 0 B x|x 1 0 C x|x 1 D x|x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数 f（ x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组 ，求出解集即可 【解答】 解： 函数 ， ， 解得 ， 即 x 1， f（ x）的定义域为 x|x 1 故选： C 2已知向量 与 的夹角为 120，且 | |=| |=2，那么 （ 2 ）的值为（ ） A 8 B 6 C 0 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值 【解答】 解：向量 与 的夹角为 120，且 | |=| |=2， 可得 =| | |22（ ） = 2， 即有 （ 2 ） =2 2=2（ 2） 4= 8 故选： A 3若等差数列 前 7 项和 1，且 1，则 ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由 1 求得 ，结合 1 求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案 【解答】 解：在等差数列 ，由 1，得 ， 又 1， ， 第 5 页（共 16 页） a6=d=3+22=7 故选： C 4已知 ， 为不重合的两个平面，直线 m，那么 “m ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定 【分析】 利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选 项 【解答】 解： 平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直 直线 m，那么 “m ”成立时，一定有 “ ”成立 反之，直线 m，若 “ ”不一定有 “m ”成立 所以直线 m，那么 “m ”是 “ ”的充分不必要条件 故选 A 5直线 3x y=0 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到直线的方程为（ ） A x+3y 3=0 B x+3y 1=0 C 3x y 3=0 D x 3y+3=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90变为 y= x，在根据左加右减的法则，向右平移1 个单位，即得 y= （ x 1） 【解答】 解： 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90 直线斜率互为负倒数 直线 y=3x 变为 y= x， 向右平移 1 个单位 y= （ x 1） 即： x+3y 1=0， 故选： B 6已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f（ x） =1 x），则函数 f（ x）的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 由题意可得在 0， 1）上， f（ x）为减函数，且 f（ x） 0，从而得出结论 【解答】 解：由于函数 f（ x）是定义在 R 上的 偶函数，当 x0 时， f（ x） =1 x）， 故在 0， 1）上， f（ x）为减函数，且 f（ x） 0，结合所给的选项， 故选： C 第 6 页（共 16 页） 7直线 ax+a b=0（ a）与圆 x2+2=0 的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交或相切 D相交 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 判断圆心到直线的距离与半径的关系 【解答】 解：由已知得，圆的圆心为（ 0， 0），半径为 ， 圆心到直线的距离为 ，其中（ a+b） 22（ a2+所以圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相交或相切； 故选： C 8直线 a、 b 是异面直线， 、 是平面，若 a， b， =c，则下列说法正确的是（ ） A c 至少与 a、 b 中的一条相交 B c 至多与 a、 b 中的一条相交 C c 与 a、 b 都相交 D c 与 a、 b 都不相交 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间 的位置关系判断求解 【解答】 解：由直线 a、 b 是异面直线， 、 是平面，若 a， b， =c，知： 对于 B， c 可以与 a、 b 都相交，交点为不同点即可，故 B 不正确； 对于 C， a c， bc=A，满足题意，故 C 不正确； 对于 D， c 与 a、 b 都不相交，则 c 与 a、 b 都平行，所以 a， b 平行，与异面矛盾，故 D 不正确； 对于 A，由 B， C、 D 的分析，可知 A 正确 故选： A 9已知函数 f（ x） =2于 上的任意 如下条件： ； | |其中能使 恒成立的条件个数共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 函数的值 【分析】 利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论 【解答】 解： f（ x） =2 f（ x） =2x+2 当 x=0 时， f（ 0） =0；当 x ， 0）时， f（ x） 0，函数 f（ x）在此区间上单调递减； 当 x（ 0， 时， f（ x） 0，函数 f（ x）在此区间上单调递增 函数 f（ x）在 x=0 时取得最小值， f（ 0） =0 1= 1 x ， ，都有 f（ x） =f（ x）， f（ x）是偶函数 根据以上结论可得： 当 f（ f（ 成立； 第 7 页（共 16 页） 当 | |则 f（ | f（ |， f（ f（ 成立； 当 | ，则 f（ =f（ | f（ 成立； |，则 f（ f（ | =f（ 成立 综上可知：能使 f（ f（ 成立的有 故选： C 10已知双曲线 的左焦点是 F（ c， 0），离心率为 e，过点 x2+y2=y 轴右侧交于点 P，若 P 在抛物线，则 ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设抛物线 准线为 l，作 l 于 Q，设双曲线的右焦点为 F， P（ x， y），利用抛物线的定义、双曲线的渐近线以及直线平行的性质、圆的性质：直径所对的圆周角为直角即可得出所求值 【解答】 解：如图，设抛物线 准线为 l，作 l 于 Q， 设双曲线的右焦点为 F， P（ x， y） 由题意可知 圆 x2+y2=直径， ， |=2c， 满足 ， 将 代入 得 ， 则 x= c c， 即 x=（ 1） c，（负值舍去）， 代入 ，即 y= ， 再将 y 代入 得， =2（ 1） 即为 b2= 1） 由 e= ，可得 故选： D 第 8 页（共 16 页） 二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 5分，共计 25 分 11若双曲线 的一个焦点的坐标是（ 2， 0），则 k= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得双曲线的焦点在 x 轴上，将双曲线的方程化为标准方程，求得 a， b， c，解 k 的方程可得所求值 【解答】 解：由题意可得双曲线的焦点在 x 轴上，可得： 双曲线的标准方程为 ，（ k 0）， 即有 ， ， + ， 由一个焦点的坐标是（ 2， 0），可得 1+ =4， 解得 k= 故答案为： 12函数 图象的对称中心的坐标为 （ 1， 1） 【考点】 函数的图象 【分析】 把原函数解析 式变形得到 f（ x） = = +1，利用因为 y= 对称中心为（ 0，0），即可求出答案 【解答】 解： f（ x） = = = +1， 因为 y= 对称中心为（ 0， 0），所以函数 f（ x）的对称中心为（ 1， 1） 故答案为：（ 1， 1） 13某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 24+6 第 9 页（共 16 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 作出棱锥的直观图，根据三视图数据和棱锥的结构特征计算各个面的面积 【解答】 解：由三视图可知三棱锥 P 底面 直角三角形， 棱 面 B=4， ，图形如图 平面 ， ， 棱锥的表面积 S= + + + =24+6 故答案为 24+6 14若直线 过点（ 2， 1），则 3a+b 的最小值为 7+2 【考点】 基本不等式；直线的一般式方程 【分析】 由直线过点可得正数 足 =1，整体代入可得 3a+b=（ 3a+b）（ ） =7+ ，由基本不等式可得 【解答】 解： 直线 过点（ 2， 1）， =1，故 3a+b=（ 3a+b）（ ） =7+ + 7+2 =7+2 ， 当且仅当 = 即 b= a 时取等号， 结合 =1 可解得 a= 且 b= +1， 故答案为： 7+2 15已知 a、 b 是异面直线， M 为空间一点， Ma， Mb给出下列命题： 第 10 页（共 16 页） 存在一个平面 ，使得 b， a ； 存在一个平面 ，使得 b， a ； 存在一条直线 l，使得 Ml， l a， l b； 存在一条直线 l，使得 Ml， l 与 a、 b 都相交 其中真命题的序号是 （请将真命题的序号全部写上） 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的关系求解 【解答】 解： a、 b 是异面直线， M 为空间一点， Ma， Mb，知： 由唯一性定理得存在一个平面 ，使得 b， a ，故 正确； 过 b 上一点作 a 的平行线 a， b 和 a确定一个平面 ，使得 b， a ，故 错误； 由两条异面直线有且只有一条公垂直线得存在一条直线 l，使得 Ml， l a， l b，故 正确； 点 M 分别与两直线 a， b 构成的两个平面的交线 l，使得 Ml，但 l 与 a、 b 不一定都相交，故 错误 故答案为： 三、解答题：本大题共 6个小题，满分 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知向 量 =（ 21）， =（ 3）， ，其中 A 是 内角 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 锐角三角形，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a= ， b=3，求 【考点】 平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）运用向量垂直的条件：数量积为 0，运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简整理即可得到所求角； （ ）运用余弦定理可得 c=1 或 2，由锐角三角形的概念可得 c=2，再由三角形的面积公式S= 可得到所求值 【解答】 解：（ ）向量 =（ 21）， =（ 3）， ，可得 =2 3 =2 3=1 3=22A ） 2=0， 即有 2A =2， kZ， A=， kZ， 可得 A= ； （ ）在 ，由余弦定理可得 ， a2=b2+2 即为 7=9+3c， 解得 c=1 或 2， 若 c=1，则 b 为最大边，且 = 0， B 为钝角，不合题意； 若 c=2，则 b 为最大边，且 = 0， 第 11 页（共 16 页） B 为锐角，合题意， 则 面积为 S= 32 = 17已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为圆 M： x2+4x=0 的圆心，直线 l 与抛物线C 的准线和 y 轴分别交于点 P、 Q，且 P、 Q 的纵坐标分别为 3t 、 2t（ tR， t0） （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）求证：直线 l 恒与圆 M 相切 【考点】 抛 物线的简单性质 【分析】 （ ）利用焦点为圆 M： x2+4x=0 的圆心求出 p 值即可求出抛物线 C 的方程； （ ）先求出直线 方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可证明直线 与圆M 相切 【解答】 解：（ ）设抛物线 C 的方程为 p 0）， 因为焦点为圆 M： x2+4x=0 的圆心，所以 p=4， 因此抛物线 C 的方程为 x； （ ）由题意可知， P（ 2， 3t ）， Q（ 0， 2t）， 则直线 程为： y 2t= x， 即（ 1） x+24， 圆心 M（ 2， 0）到直线 距离 =2， 因此直线 l 恒与圆 M 相切 18设数列 前 n 项的和为 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ，数列 前 n 项的和为 对一切 nN*，均有，求实数 m 的取值范围 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）利用 与 1=（ n 1） 2+（ n 1）， n2 作差整理可知 1=2（ n2），进而可知数列 首项、公差均为 2 的等差数列，计算即得结论； （ ）通过（ I）可知数列 首项、公比均为 的等比数列，利用等比数列的求和公式可知 ， ），解不等式即得结论 【解答】 解：（ ） ， 第 12 页（共 16 页） 1=（ n 1） 2+（ n 1）， n2， 两式相减得： n， 又 +1=2， 数列 首项、公差均为 2 的等差数列， 故其通项公式 +2（ n 1） =2n； （ ）由（ I）可知 = ， 数列 首项、公比均为 的等比数列， 故 = （ 1 ） （ ， ）， ，且 6m+ ， m1，且 m2 或 m4， 故 1m2 19如图，三棱柱 矩形，侧面 侧面 ， 0， D 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1） 连结 ，取 点 E，连结 可利用中位线定理证明四边形 平行四边形，得出 而证明 平面 （ 2）求出 D 的长，使用余弦定理求出 勾股定理的逆定理证出 面面垂直可得出 平面 而得出 出 平面 【解答】 证明：（ 1）连结 ，取 点 E，连结 四边形 矩形， F 是 中点， 四边形 平行四边形， D 是 中点， 四边形 平行四边形， 又 面 面 平面 （ 2） ， D 是 点， ， ， 0， = 第 13 页（共 16 页） 1 侧面 侧面 面 面 面 平面 面 面 面 ， 平面 20已知椭圆 ，其焦点在 O： x2+ 上， A，B 是椭圆的左右顶点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） M， N 分别是椭圆 C 和 O 上的动点（ M， N 不在 y 轴同侧），且直线 y 轴垂直，直线 别与 y 轴交于点 P， Q，求证： 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意可得焦点为（ 2， 0），可得 c=2，由点满足椭圆方程，即可得到所求方程； （ ）令 M（ m， t）， N（ n， t），（ m 0， n 0），可得 ， n2+，设 P（ 0， p） ，Q（ 0， q），运用三点共线，可得 p， q，再由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，化简整理即可得证 【解答】 解：（ ）由题意可得焦点为（ 2， 0）， 可得 c=2，即 ， 又 + =1， 解得 a=2 ， b=2， 即有椭圆的方程为 + =1； （ ）证明：令 M（ m， t）， N（ n， t），（ m 0， n 0）， 第 14 页（共 16 页） 可得 ， n2+， 可得 A（ 2 ， 0）， B（ 2 ， 0）， 设 P（ 0， p）， Q（ 0， q）， 由 A， M， P 三点共线可得 即有 = ，可得 p= ； 由 B， M， Q 三点共线可得 即有 = ，可得 q= 由 = ， 由 ， n2+，可得 8= 2 （ 4 即为 可得 = = 1， 即有 21已知函数 f（ x） =x aR （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 ，若函数 g（ x）在（ 1， +）上为减函数，求实数 a 的最小值； （ ）若 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数