2.2 矩阵的运算 1 ppt课件

2 2矩阵的运算 上页 下页 返回 首页 四 矩阵的转置 五 矩阵的行列式 一 矩阵的加法 二 矩阵的数乘 三 矩阵的乘法 矩阵的乘法的定义 矩阵的转置及其性质 矩阵加法与矩阵数乘的性质 矩阵的乘法的性质 结束 铃 一 矩阵的加法 下页 1 定义2 3设A与B为两个m n矩阵 A与B对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵A与矩阵B的和 记为A B 即 例1 设 A B 3 15 37 22 0 2 20 14 53 7 0 01 62 43 8 4892 41910 07611 下页 矩阵的加法 设A aij m n与B bij m n 则A B aij bij m n 2 运算规律 注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时 设A B C为同型矩阵 则 1 A B B A 加法交换律 2 A B C A B C 加法结合律 加法运算 二者才能进行 3 负矩阵与矩阵减法 若记 A aij 则称 A为矩阵A的负矩阵 显然有A A O 定义矩阵的差为 A B A B 其中O是与A同型的零矩阵 例如 C的负矩阵为 定义4 4设A aij 为m n矩阵 则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的m n矩阵称为数k与矩阵A的积 记为kA 即 下页 二 数与矩阵相乘 数乘 矩阵的数乘 设A aij m n 则kA kaij m n 例2 设 3A 3 33 53 73 2 3 23 03 43 3 3 03 13 23 3 915216 60129 0369 下页 行列式的某行 或列 有公因子即可提出 但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出 思考 数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么区别 答 数与行列式相乘 是将数乘到行列式中的某一行 或列 而数与矩阵相乘 是将数乘矩阵中的每一个 元素 即 2 数乘矩阵满足的运算律设A B为同型矩阵 为常数 则 1 A A 结合律 2 A A A 分配律 3 A B A B 分配律 矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算 解 3A 2B 2640 421014 012816 915216 60129 0369 79176 2 22 5 0 9 2 7 9 215 621 46 0 6 40 212 109 14 0 03 126 89 16 下页 下页 练习 定义2 5设A是一个m s矩阵 B是一个s n矩阵 构成的m n矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积 记为C AB 下页 则由元素cij ai1b1j ai2b2j aisbsj i 1 2 m j 1 2 n 三 矩阵的乘法 解 6 7 8 下页 解 6 7 8 3 0 3 下页 解 6 7 8 3 0 9 7 3 5 下页 4 9 8 3 解 6 7 8 3 0 9 7 3 5 下页 解 32 16 16 8 0 0 0 0 下页 AB 解 可见 矩阵乘法一般不满足交换律 即AB BA 两个非零矩阵相乘 可能是零矩阵 从而AB O推不出A O或B O 下页 练习 解 3 1 1 0 3 1 1 0 显然AB BA 如果两矩阵A与B相乘 有AB BA 则称矩阵A与矩阵B可交换 下页 解 设 a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 0 0 0 a b 0 a1 b1 0 a2 b2 那么 下页 解 设 AB 那么 令AB BA 则有a1 a2 b2 0 b1 c2 a c1 b 于是与A可交换的矩阵为 其中a b c为任意数 下页 显然AC BC 但A B 矩阵乘法不满足消去律 下页 1 AB C A BC 2 A B C AC BC 3 C A B CA CB 4 k AB kA B A kB 应注意的问题 1 AB BA 3 AB O A O或B O 2 AC BC A B 下页 例11 证明 如果CA AC CB BC 则有 A B C C A B AB C C AB 证 因为CA AC CB BC 所以有 A B C AC BC CA CB C A B AB C A BC A CB AC B CA B C AB 矩阵乘法的性质 四 方阵的幂 如果A是n阶矩阵 那么AA有意义 也有意义 定义 k个 相乘称为 的k次幂 记为 k 定义设A是n阶矩阵 k是正整数 规定 1 A 2 A k 1 k 即 因此有下述定义 2 运算规律设A为方阵 k l为正整数 则 对n阶方阵A与B一般来说 由于矩阵乘法一般不满足交换律 AkAl 注意 的乘法公式不一定成立 所以初等数学中 AB k AkBk A B 2 A2 2AB B2 A B A B A2 B2 Ak l Ak l Akl 定义2 6将m n矩阵A的行与列互换 得到的n m矩阵 称为矩阵A的转置矩阵 记为AT或A 即如果 例如 设x x1x2 xn y y1y2 yn 则 y1y2 yn xTy 下页 五 矩阵的转置 转置矩阵有下列性质 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 kA T kAT 下页 定义2 6将m n矩阵A的行与列互换 得到的n m矩阵 称为矩阵A的转置矩阵 记为AT或A 即如果 五 矩阵的转置 4 AB T BTAT 例设A与B是两个n阶对称矩阵 证明 AB是对称矩阵 的充分必要条件是A与B可交换 证 因为A B是对称矩阵 所以 1 若AB是对称矩阵 则有 于是有 所以A与B可交换 2 若A B是可交换 则有 于是有 所以AB是对称矩阵 证毕 一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式 记为 A 即 n阶方阵的行列式具有的运算律 1 AB A B 2 AT A 3 lA ln A 下页 六 方阵的行列式 例12 设A aij 为三阶矩阵 若已知 A 2 求 A A 解 A A 2 3 A 2 3 2 16 提问 设矩阵A为三阶矩阵 且 A m 问 mA 答 m4 结束 课堂练习 2 设A B为n阶矩阵 且A为对称阵 证明 也是对称阵 3 设列矩阵 满足 E为n阶单位矩阵 证明 H