浙江省衢州市2016年中考数学专题训练（二）正方形(含解析)

第 1 页（共 51 页） 浙江省衢州市 2016 年中考数（浙教版）专题训练（二）：正方形 一、选择题（共 9 小题） 1如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 排放在一起，连结 延长交 点 T，交 点 P，则 ） A B 2 C 2 D 1 2如图，四边形 为正方形，其中 E 在 ，且 B、 E 两点不重合，并连接 据图中标示的角判断下列 1、 2、 3、 4 的大小关系何者正确？（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 4 D 3 4 3附图为正三角形 正方形 重叠情形，其中 D、 E 两点分别在 ，且 E若8， ，则 F 点到 距离为何？（ ） A 2 B 3 C 12 4 D 6 6 4如图，在边长为 2 的正方形 ， M 为边 中点，延长 点 E，使 C，以 边作正方形 G 在边 ，则 长为（ ） 第 2 页（共 51 页） A B C D 5如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 2 的值为（ ） A 16 B 17 C 18 D 19 6如图，正方形 ， ，点 E 在边 ，且 折至 长边 点 G，连接 列结论： 点 G 是 点； C； S 其中正确的是（ ） A B C D 7如图， 正方形， O 为 交点， ， 0， 0，若 ，则正方形的面积为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 第 3 页（共 51 页） 8如图，边长为 2 的正方形 顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上 ，已知点 B 的坐标是（ ， ），则 k 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 9如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A n B n 1 C（ ） n 1 D n 二、填空题（共 6 小题） 10如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数 y=x 的图象上，从左向右第 3 个正方形中的一个顶点 A 的坐标为（ 8， 4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为 、 值为 （用含 n 的代数式表示， n 为正整数） 11如图，点 G 是正方形 角线 延长线上任 意一点，以线段 边作一个正方形 段 交于点 H若 ， ，则 第 4 页（共 51 页） 12已知正方形 边长为 2 边作等边三角形 13如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， B=a，以线段 边在第一象限作正方形 延长线交 x 轴于点 E，再以 边作第二个 正方形 ，依此方法作下去，则第 n 个正方形的边长是 14如图，正方形 边长是 1，点 M， N 分别在 ，使得 周长为 2，则 15如图，在正方形 ， 对角线，点 E 在 上， 点 F，连接 ， 周长为 12，则 长为 三、解答题（共 15 小题） 16如图，在正方形 ，点 M 是对角线 的一点，过点 M 作 点 E，作 点 F求证： F 第 5 页（共 51 页） 17如图， P 为正方形 边 的一个动点， 足分别为点 E、 F，已知 （ 1）试说明 值是一个常数； （ 2）过点 P 作 点 M，点 P 在何位置时线段 长，并求出此时 值 18如图正方形 边长为 4， E、 F 分别为 点 （ 1）求证： （ 2）求 面积 19如图 1，在正方形 ， E、 F 分别是边 的点，且 （ 1）求证： E； （ 2）如图 2，在正方形 ， M、 N、 P、 Q 分别是边 的点，且 Q 是否相等？并说明理由 第 6 页（共 51 页） 20如图 ，在正方形 ， P 是对角线 的一点，点 E 在 延长线上，且 B （ 1）求证： （ 2）求证： （ 3）把正方形 为菱形，其它条件不变（如图 ），若 8，则 度 21在数学活动课中，小辉将边长为 和 3 的两个正方形放置在直线 l 上，如图 1，他连结 测量发现 F （ 1）他将 正方形 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 相等吗？说明你的理由； （ 2）他将正方形 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 3，请你求出 长 22如图，在边长为 3 的正方形 ，点 E 是 上的点， ， 0，且 正方形外角的平分线 点 P，交边 点 F， （ 1） 的值为 ； （ 2）求证： P； 第 7 页（共 51 页） （ 3）在 上是否存在点 M，使得四边形 平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 23如图所示，在正方形 ，点 G 是边 任意一点， 足为 E，延长 点 F在线段 取点 H，使得 E+接 证： 24正方形 顶点 A 在直线 ，点 O 是对角线 交点，过点 O 作 点 E，过点 B 作 点 F （ 1）如图 1，当 O、 B 两点均在直线 方时，易证： F=2需证明） （ 2）当正方形 点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 25（ 1）如图（ 1）点 P 是正方形 边 一点（点 P 与点 C， D 不重合），点 E 在 延长线上，且 P，连接 证： （ 2）直线 F，连接 G 是 交点 若 ，求证： 若 CD=nn 是大于 1 的实数）时，记 面积为 面积为 证： n+1） 第 8 页（共 51 页） 26如图，点 E 在正方形 边 ，连接 点 C 作 F，过点 A 作 点 G （ 1）求证： （ 2）若点 E 是 中点，设 ，求 27如图，在正方形 ， E 是 一点， F 是 长线上一点，且 E （ 1）求证： F； （ 2）若点 G 在 ，且 5，则 E+立吗？为什么？ 28如图，在正方形 ，点 E、 F 分别是 中点， 点 M，点 N 为 中点 （ 1）若 ，求 周长及 值； （ 2）求证： 2F=M 29已知：如图，正方形 别平分正方形的两个外角，且满足 5，连接 （ 1）若正方形的边长为 a，求 N 的值 第 9 页（共 51 页） （ 2）若以 三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论 30如图，已知正方形 边 D 点顺时针旋转 30到 ，连接 写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程 第 10 页（共 51 页） 浙江省衢州市 2016 年中考数（浙教 版）专题训练（二）：正方形 参考答案与试题解析 一、选择题（共 9 小题） 1如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 排放在一起，连结 延长交 点 T，交 点 P，则 ） A B 2 C 2 D 1 【考点】正方形的性质 【专题】压轴题 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得 5，再求出 5，从而得到 据正方形的边长求出 根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍求解即可 【解答】解： 别是正方形 方形 对角线， 5， 80 90 45=45， 80 80 45 45=90， 等腰直角三角形， 两正方形的边长分别为 4， 8， 4=4， 4=2 故选 B 【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质 第 11 页（共 51 页） 2如图，四边形 为正方形，其中 E 在 ，且 B、 E 两点不重合，并连接 据图中标示的角判断下列 1、 2、 3、 4 的大小关系何者正确？（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 4 D 3 4 【考点】正方形的性质 【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出 0，然后根据同角的余角相等可得 1= 2，根据直角三角形斜边大于直角边可得 而得到 根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出 3 4 【解答】解： 四边形 为正方形， 0， 1+ 0， 2+ 0， 1= 2， 在 ， 四边形 正方形， G， 3 4 故选 D 【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用 3附图为正三角形 正方形 重叠情形，其中 D、 E 两点分别在 ，且 E若8， ，则 F 点到 距离为何？（ ） 第 12 页（共 51 页） A 2 B 3 C 12 4 D 6 6 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质 【分析】过点 B 作 H，交 K，根据等边三角形的性质求出 A= 0，然后判定 等边三角形，再根据等边三角形的性质求出 0，然后根据同位角相等，两直线平行求出根据正方形的对边平行得到 而求出 根据等边三角形的边的与高的关系表示出 后根据平行线间的距离相等即可得解 【解答】解：如图，过点 B 作 H，交 K， 等边三角形， A= 0， E， 等边三角形， 0， A= 四边形 正方形， ， 8 6 6=9 3 6=6 6， F 点到 距离为 6 6 故选 D 第 13 页（共 51 页） 【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的 倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键 4如图，在边长为 2 的正方形 ， M 为边 中点，延长 点 E，使 C，以 边作正方形 G 在边 ，则 长为（ ） A B C D 【考点】正方形的性质；勾股定理 【分析】利用勾股定理求出 长，即 长，有 G，可以求出 而得到 长 【解答】解： 四边形 正方形， M 为边 中点， ， = ， C= ， M 1， 四边形 正方形， E= 1 故选： D 【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目 5（ 2013菏泽）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 2 的值为（ ） 第 14 页（共 51 页） A 16 B 17 C 18 D 19 【考点】正方形的性质；等腰直角三角形 【专题】计算题；压轴题 【分析】由图可得， 边 长为 3，由 E= 得 ， ；然后，分别算出 面积，即可解答 【解答】解：如图，设正方形 边长为 x， 根据等腰直角三角形的性质知， x， x= =2， 2+22，即 ； 面积为 =8； 边长为 3， 面积为 3 3=9， 2=8+9=17 故选： B 【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力 6如图，正方形 ， ，点 E 在边 ，且 折至 长边 点 G，连接 列结论： 点 G 是 点； C； S 其中正确的是（ ） A B C D 【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题 第 15 页（共 51 页） 【分析】先求出 长，再根据翻折的性质可得 F， E， D=90，再利用 “明 等，根据全等三角形对应边相等可得 G，再设 G=x，然后表示出 ，利用勾股定理列出方程求出 x= ，从而可以判断 正确；根据 正切值判断 60，从而求出 60， 是等边三角形， 断 错误；先求出 面积，再求出 后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到 面积，判断 正确 【解答】解： 正方形 ， ， 3=1， 1=2， 折至 F， E=1， D=90， F= 在 ， ， G， 设 G=x，则 F+x， x， 在 ， 即（ 1+x） 2=（ 3 x） 2+22， 解得， x= ， = ， G= ， 即点 G 是 点，故 正确； = =2， 60， 180 60 2 60， 又 G= 是等边三角形， 第 16 页（共 51 页） 错误； 面积 = E= 2= ， ： =2： 3， S = ，故 正确； 综上所述，正确的结论有 故选： B 【点评】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的熟量关系利用勾股定理列式求出 G 的长度是解题的关键，也是本题的难点 7如图， 正方形， O 为 交点， ， 0， 0，若 ，则正方形的面积为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】过点 O 作 M，作 延长线于 N，判断出四边形 矩形，根据矩形的性质可得 0，再求出 据正方形的性质可得 D，然后利用 “角角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等可得 N，然后判断出四边形 正方形，设正方形 边长为 2a，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 利用勾股定理列式求出 据正方形的性质求出 D= a，然后利用四边形 面积列出方程求出 根据正方形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 O 作 M，作 延长线于 N， 第 17 页（共 51 页） 0， 四边形 矩形， 0， 四边形 正方形， D， 在 ， ， N， 四边形 正方形， 设正方形 边长为 2a，则 D= 2a= a， 0， 0， CD=a， 由勾股定理得， = = a， 四边形 面积 = a a+ （ a） （ a） = （ ） 2， 解得 ， 所以，正方形 面积 =（ 2a） 2=4 1=4 故选： B 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形 是解题的关键，也是本题的难点 第 18 页（共 51 页） 8如图，边长为 2 的正方形 顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，已知点 B 的坐标是（ ， ），则 k 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质 【专题】数形结合 【分析】过点 B 作 y 轴于 E，过点 D 作 y 轴于 F，根据正方形的性质可得 D， 0，再根据同角的余角相等求出 后利用 “角角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等可得 E， E，再求出 后写出点 D 的坐标，再把点 D 的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出 k 【解答】解：如图，过点 B 作 y 轴于 E，过点 D 作 y 轴于 F， 在正方形 ， D， 0， 0， 0， 在 ， ， E， E， 正方形的边长为 2， B（ ， ）， ， = ， E+F= + + =5， 点 D 的坐标为（ ， 5）， 第 19 页（共 51 页） 顶点 D 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上， k= 5=8 故选： C 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点 D 的坐标是解题的关键 9如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A n B n 1 C（ ） n 1 D n 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】规律型 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（ n 1）个阴影部分的和 【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 4=1， 5 个这样的正方形重叠部分（阴 影部分）的面积和为： 1 4， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为： 1 （ n 1） =n 1 故选： B 【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积 第 20 页（共 51 页） 二、填空题（共 6 小题） 10如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数 y=x 的图象上，从左向右第 3 个正方形中的一个顶点 A 的坐标为（ 8， 4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为 、 值为 24n 5 （用含 n 的代数式表示， n 为正整数） 【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题；规律型 【分析】根据直线解析式判断出直线与 x 轴的夹角为 45，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点 A 的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第 n 个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可 【解答】解： 函数 y=x 与 x 轴的夹角为 45， 直线 y=x 与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形， A（ 8， 4）， 第四个正方形的边长为 8， 第三个正方形的边长为 4， 第二个正方形的边长为 2， 第一个正方形的边长为 1， ， 第 n 个正方形的边长为 2n 1， 由图可知， 1 1+ （ 1+2） 2 （ 1+2） 2= ， 4 4+ （ 4+8） 8 （ 4+8） 8=8， ， 第 2n 与第 2n 1 个正方形中的阴影部分， 第 21 页（共 51 页） 第 2n 个正方形的边长为 22n 1，第 2n 1 个正方形的边长为 22n 2， 22n 222n 2=24n 5 故答案为： 24n 5 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影 在的正方形和正方形的边长 11如图，点 G 是正方形 角线 延长线上任意一点，以线段 边作一个正方形 段 交于点 H若 ， ，则 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【专题】几何图形问题 【分析】首先连接 O，由四边形 正方形，即可得 D， G， 后利用 可证得 可得 D，然后在 ，利用勾股定理即可求得 长，继而可得 长 【解答】解：连接 O， 四边形 正方形， D， G， 在 ， 第 22 页（共 51 页） ， D， 四边形 正方形， ， D= ， 0， D= ， ， A+， = ， 故答案为： 【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法 12（ 2014齐齐哈尔）已知正方形 边长为 2 边作等边三角形 面积为 （ 2+ ）或（ 2 ） 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质 【专题】分类讨论 【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出点 E 到 距离，从而得到点 E 到 距离，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：如图， 等边三角形， 点 E 到 距离为 2 = 点 E 到 距离 =2+ 2 第 23 页（共 51 页） 面积 = 2 （ 2+ ） =2+ 或 面积 = 2 （ 2 ） =2 故答案为：（ 2+ ）或（ 2 ） 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟记各性质并求出点 E 到 的距离是解题的关键，易错点在于点 E 的位置不确定要分情况讨论，作出图形更形象直观 13如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， B=a，以线段 边在第一象限作正方形 延长线交 x 轴于点 E，再以 边作第二个正方形 ，依此方法作下去，则第 n 个正方形的边长是 a2n 1 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形 【专题】规律型 【分析】判断出 等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出第一个正方形的边长 后判断出 等腰直角 三角形，再求出 E，从而求出第二个正方形的边长等于第一个正方形的边长的 2 倍，同理可得后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的 2 倍，然后求解即可 【解答】解： B， 等腰直角三角形， 第一个正方形的边长 a， 5， 80 45 90=45， 等腰直角三角形， E， 第二个正方形的边长 D+ 第 24 页（共 51 页） ， 后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的 2 倍， 所以，第 n 个正方形的边长 =2n 1a2n 1 故答案为： a2n 1 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，判断出后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的 2 倍是解题的关键 14如图，正方形 边长是 1，点 M， N 分别在 ，使得 周长为 2，则 1 【考点】正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题 【分析】如图，延长 L，使 N，则 N，进而求证 可求得 5设 CM=x， CN=y， MN=z，根据 x2+y2= x+y+z=2，整理根据 =4（ z 2） 2 32（ 1 z） 0 可以解题 【解答】解：延长 L，使 N， 则 故 N， N+， N+M=1+1=2， N+L+L， 设 CM=x， CN=y， MN=z x2+y2= x+y+z=2， 则 x=2 y z （ 2 y z） 2+y2= 整理得 2 2z 4） y+（ 4 4z） =0， 第 25 页（共 51 页） =4（ z 2） 2 32（ 1 z） 0， 即（ z+2 2 ）（ z+2+2 ） 0， 又 z 0， z 2 2 此时 S B= z 因此，当 z=2 2， S 到最小值为 1 故答案为： 1 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键 15（ 2014哈尔滨）如图，在正方形 ， 对角线，点 E 在 上， 点 F，连接， 周长为 12，则 长为 5 【考点】正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形 【专题】几何图形问题 【分析】由四边形 正方形， 对角线，得出 5，又因为 到 0得出 F=3，由 周长为 12，得出线段 2 3 ，运用勾股定理出 【解答】解： 四边形 正方形， 对角线， 5， 又 第 26 页（共 51 页） 0， 5， F=3， 周长为 12， 2 3 在 ， +（ 9 2， 解得 故答案为： 5 【点评】本题主要考查了正方形的性质及等腰直角三角形，解题的关键是找出线段的关系运用勾股定理列出方程 三、解答题（共 15 小题） 16如图，在正方形 ，点 M 是对角线 的一点，过点 M 作 点 E，作 点 F求证： F 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】过 M 点作 足为 Q，作 足 足为 P，根据题干条件证明出 F， E，进而证明 可证明出 F 【解答】证明：过 M 点作 足为 Q，作 足为 P， 四边形 正方形， 第 27 页（共 51 页） 四边形 四边形 正方形，四边形 矩形， M=F， B= 在 ， ， F 【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答 17如图， P 为正方形 边 的一个动点， 足分别为点 E、 F，已知 （ 1）试说明 值是一个常数； （ 2）过点 P 作 点 M，点 P 在何位置时线段 长，并求出此时 值 【考点】正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判 定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【分析】（ 1）由已知 0， C，结合 明 得 F，于是 6 为常数； （ 2）设 AP=x，则 x，由已知 出关于 x 的一元二次函数，求出 最大值 【解答】解：（ 1）由已知 0， C， 第 28 页（共 51 页） 又 在 ， ， F， 6 为常数； （ 2）设 AP=x，则 x， 由已知 = ， 即 = ， =x 当 x=2 时，即点 P 是 中点时， 最大值为 1 【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题 18如图正方形 边长为 4， E、 F 分别为 点 （ 1）求证： （ 2）求 面积 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题 第 29 页（共 51 页） 【分析】（ 1）由四边形 正方形，得到 D， B= D=90， B，由 E、 F 分别为 C 中点，得出 F，进而证明出两三角形全等； （ 2）首先求出 长度，再根据 S 正方形 S S S 【解答】（ 1）证明： 四边形 正方形， D， D= B=90， B， E、 F 为 点， F， 在 ， ， （ 2）解：由题知 为直角三角形， 且 D=4， F= 4=2， F= 4=2， S 正方形 S S S 4 4 4 2 4 2 2 2 =6 【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大 19如图 1，在正方形 ， E、 F 分别是边 的点，且 （ 1）求证： E； （ 2）如图 2，在正方形 ， M、 N、 P、 Q 分别是边 的点，且 Q 是否相等？并说明理由 第 30 页（共 51 页） 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】（ 1）根据正方形的性质可得 D， D=90，再根据同角的余角相等求出 后利用 “角边角 ”证明 等，再根据全等三角形的证明即可； （ 2）过点 A 作 F，过点 B 作 E，然后与（ 1）相同 【解答】（ 1）证明：在正方形 ， D， D=90， 0， 0， 在 ， ， E； （ 2）解： 等 理由如下：如图，过点 A 作 F，过点 B 作 E， 四边形 四边形 平行四边形， M， Q， 在正方形 ， D， D=90， 0， 第 31 页（共 51 页） 0， 在 ， ， E； Q 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个 角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用 20如图 ，在正方形 ， P 是对角线 的一点，点 E 在 延长线上，且 B （ 1）求证： （ 2）求证： （ 3）把正方形 为菱形，其它条件不变（如图 ），若 8，则 58 度 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质 【专题】证明题 第 32 页（共 51 页） 【分析】（ 1）根据正方形的四条边都相等可得 C，对角线平分一组对角可得 后利用 “边角边