趣味数学与推理

目目 录录 总体规划总体规划 课程实施课程实施 第一节第一节 有趣的数学谜语有趣的数学谜语 第二节第二节 3 3 根指挥棒和根指挥棒和 1212 个直角个直角 第三节第三节 数学中的简单逻辑推理问题数学中的简单逻辑推理问题 第四节第四节 欺骗眼睛的几何问题欺骗眼睛的几何问题 第五节第五节 抽屉原理的简单应用抽屉原理的简单应用 第六节第六节 帕斯卡三角形与道路问题帕斯卡三角形与道路问题 第七节第七节 数数 独独 第八节第八节 古代数学中的算法思想古代数学中的算法思想 第九节第九节 算法思想的应用算法思想的应用 第一部分第一部分 总体规划总体规划 为了切实提高高中学生的数学推理能力 培养学生学习数学的兴趣 落实 普通高中数学新课程标准 发挥数学学科在培养学生动手动脑 自主创新 合作探究 提高逻辑思维能上的重要作用 以适应未来学习 生活和工作的需 要 我们根据新课标中的总体设计 面向高中一 二年级的同学开设校本课程 趣味数学与推理 趣味数学与推理 选取不同题材的数学故事与实际问题 使学生在自主 阅读的同时能够提高兴趣 积极思考 努力探索 找到解决问题的方案 同时 提高学生的思维推理能力 在不知不觉中感受数学 融入数学 一 课程性质 数学是最重要的学习工具 是各门功课的桥梁与基础 趣味性与逻辑推理 的统一是本课程的基本特点 趣味数学与推理 一课 旨在通过对趣味数学 故事的研读与学习 培养与提高学生的基本推理能力 培养学生的应用能力和 思维发散的意识 在数学的魅力中提高个人的数学素养 从而提高人生素养 课本选取的各类数学故事 数学背景都是非常经典的且具有比较高的欣赏 学习价值 能够提高学生分析问题和逻辑推理的能力 用数学氛围去感染学生 用数学情趣去陶冶学生 用数学益智去激励学生 进而把学生一步一步领进数 学的殿堂 二 课程理念 1 本着以生为本 主动发展的原则选择符合学生需要的知识内容编写课 本 2 本着以实际生活为本 以兴趣 求知为基点 以能力提高为目标开展 教学 3 本着学以致用 理论联系实际 知识指导生活的原则推动每一位学生 主动发展 自我提高 三 课程目标 1 通过对课本的研读 引导学生体会身边的数学 感受数学无处不在的 实用性和数学在逻辑推理中重要作用 切实转变学生对数学原有的枯燥无味的 看法 真正开始喜欢数学 2 学生在喜欢数学的基础上 能够发挥主观能动性 积极主动地思考问 题 探索问题 合作探究问题 以寻找解决问题的方法 并能开拓思维 提高 思维创新能力 3 提升学生的思辨能力和逻辑推理能力 能够在平时的学习中加以充分 应用 进行主动地 创造性地学习 第第二二部分部分 课程实施课程实施 实施对象 高一 高二学生 实施时间 校本选修课 实施步骤 分四步 1 自行研读 思考 2 合作探究 推理 3 老师指导 解答 4 创新运用 提高 实施计划 拟在高一和高二两个年级实施 共需 20 课时 高一 高二年级每周 1 课 时 课时安排 第一节 有趣的数学谜语 2 课时 第二节 3 根指挥棒和 12 个直角 1 课时 第三节 数学中的简单逻辑推理问题 2 课时 第四节 欺骗眼睛的几何问题 1 课时 第五节 抽屉原理的简单应用 2 课时 第六节 帕斯卡三角形与道路问题 2 课时 第七节 数独 4 课时 第八节 古代数学中的算法思想 2 课时 第九节 算法思想的应用 2 课时 考核 2 课时 评价与考核 本课程采用考核与考试相结合的评价方式 数学小论文 由学生撰写解决问题的数学小论文 以评价学生的思辨能力 和表达能力 测试 结合课本中出现的推理问题及所学的相关推理知识 以试卷形式 考查学生的推理能力和解决问题的能力 以了解学生对该校本课程的掌握 第一节第一节 有趣的数学谜语有趣的数学谜语 猜谜是一种非常有趣有益的智力活动 猜谜语也是锻炼思维能力的一种好 方法 听了谜语以后 就会动脑筋想 这说的是什么东西呢 思源于疑 疑 是思维的开始 是创造的基础 大家觉得是不是呢 今天我们就来猜谜 语 先看几个简单例子 1 一加一不是二 打一字 一 字 加号 再来一个 一 字 组合在一起 得到的字不是 二 而是 王 谜底是王 2 一减一不是零 打一字 一 字 减号 再来一个 一 字 组合在一起 得到的字不是 零 而是 三 谜底是三 3 八分之七 打一成语 八分之七 用数学符号写出来 把数字 7 写在分数线上面 8 写在分数 线下面 谜底是成语 七上八下 在上面这些谜语里 用一些很简单的数学知识 对谜语的文字作出新的理 解 可以帮助猜出答案 另外一类谜语 谜底是数学名词 还是来看几个例子 4 七六五四三二一 打一数学名词 平常报数目 是从小到大顺着数 就像流行歌曲里唱的 一二三四五六 七 我的朋友在哪里 现在他说 七六五四三二一 是从大到小 倒过来 数了 所以谜底是 倒数 5 讨价还价 打一数学名词 买东西讨价还价 要经过反复协商 才能达成双方都同意的钱数 这种协 商钱数的过程 可以戏称为 商数 谜底是商数 6 你盼着我 我盼着你 打一数学名词 你盼着我 是你在等候我 我盼着你 是我在等候你 两人互相 等候 可谓 相等 谜底是相等 7 成绩是多少 打二数学名词 学习成绩是用得分的数目计算的 问 多少 可以换一个说法 改问 几何 在中国古代数学书里 问一种物品有多少个 总是问 物有几何 直到现在 有些地区的方言里 买东西问价钱 还是说 几何 所以 问 成绩多少 等于是问 分数 几何 谜底是两个数学名词 分数 几何 今天我们见到的谜语都与数学有关 被我们称为数学谜语 根据谜面和谜 底的不同 数学谜语有不同的分类 同学们不妨一猜 可在紧张学习之余博得 一乐 还可以提高学习数学的兴趣 请同学们在说谜底的时候 将你的猜谜思 路和过程有条理地向大家展示 一 以数学用语为谜底的谜语一 以数学用语为谜底的谜语 1 五角一趟 2 两羊打架 3 完全合算 4 勤点钞票 5 两边清点 6 有情人终成眷属 7 合法开支 8 打得鸳鸯各一方 9 垂钓 10 马术 11 戽 12 岁岁重阳今又重阳 13 追本溯源 14 对症下药 15 多十分 16 集体钓鱼 17 协议离婚 18 打成和局 19 团体赛 20 刮胡子 21 摩拳擦掌 22 谁押林冲去沧州 打两个数学用语 二 以数字为谜面的谜语二 以数字为谜面的谜语 23 一 打一成语 24 十百千 打一成语 25 一二三四五六七九十 打一字 26 壹贰叁肆伍陆柒捌玖 打一 古书名 27 三八二十四 打一体育用语 28 7 9 打一古军事书名 卷 帘格 三 以方程为谜面的谜语三 以方程为谜面的谜语 29 x 只 吾 打一工业用语 30 x 旭 3 打一化学用语 四 以数学家为谜底的谜语四 以数学家为谜底的谜语 31 东坡游春 32 回眸一笑百媚生 五 以数学科目为谜面的谜语五 以数学科目为谜面的谜语 33 解析几何 打一口头用语 六 以运算符号为谜面的谜语六 以运算符号为谜面的谜语 34 打一成语 谜底 谜底 1 一元二次 推算法 2 对顶角 3 绝对值 4 常数 通假法 5 分数 6 同 心圆 7 有理数 8 公分母 9 等于 通假法 10 乘法 11 内角 分解法 12 循环节 13 求根 14 开方 15 余角 换算 通假 16 公垂线 17 约分 18 平 角 19 公共角 20 平角 词性通假 21 等角 22 两个解 差 问答法 答 曰 两个解差 分开即是 23 大有人在 24 万无一失 别解为没有 一 和 万 25 口 谜面意为 只 少 八 26 拾遗记 意为忘记写 拾 27 女子双打 双打即两打 二十四 28 三十六计 7 9 计六十 三 反序读之即得 29 成品 八口减五口为三口 三口即成 品 字 30 结晶 九日除以 3 得 3 日 结合为 晶 31 苏步青 32 杨乐 33 十八斤 谜面别解为把 析 分解开是多少 34 支离破碎 把支分解开即为 你能总结出猜数学谜语的基本方法吗 猜一猜 练一练猜一猜 练一练 第一组 第一组 1 群策群力 2 裁判职责 3 批准法规 4 弹簧弹性 5 人人富裕 6 啦叭套子 7 主动争取 8 听候下令 9 财政赤字 10 伪造账目 11 追问到底 12 准备参赛 13 交换赛场 14 热身赛 15 团体赛 16 互相呼喊 17 中秋明月 18 平原铁道 19 货真价实 20 提弦调音 谜底 谜底 1 公理 2 定理 3 定律 4 有限 5 无穷 6 大于号 7 不等号 8 等号 9 负 数 10 无理数 11 求根 12 等比 13 更比 14 相似 15 合比 16 对称 17 圆 18 直 径 19 绝对值 20 正弦 第二组 第二组 1 断纱接头 打一数学名词 2 抬头望月 正好初八 打一三角函数名 3 一笔债务 打一数学名词 4 两牛打架 打一数学名词 5 大甩卖 打一数学名同 6 再见吧妈妈 打一数学名词 7 医生提笔 打一数学名词 8 99 打一成语 9 110 打一成语 10 103 与 1002 打一成语 11 大同小异 打一数学名词 12 并驾齐驱 打一数学名词 13 周而复始 打一数学名词 14 考试不作弊 打一数学名词 15 夏周之间 打一数学名词 16 捷道 打一数学名词 17 算盘珠 打一数学名词 18 联合国宪章 打一数学名词 19 岁岁重阳 今又重阳 打一数学名词 谜底 谜底 1 延长线 2 正弦 3 负数 4 对顶角 5 绝对值 6 分子分母 7 开方 8 百无一是 9 一成不变 10 千变万化 11 近似 12 平行 13 循环 14 真分数 15 商 16 直径 17 代数 18 最大公约数 19 循环节 数学谜语集锦数学谜语集锦 一 打数学名词方面的 一 打数学名词方面的 1 五四三二一 2 缺了会计 3 邮寄账本 4 信件统 计 5 替人查账 6 查账 7 开奖 8 算术老 师的教鞭 9 一笔债务 10 商店盘货 11 用 12 同室操 戈 13 团体赛 14 兵对兵 将对将 15 左右夹攻 16 重判 17 轻判 18 车站告示 19 背着喇叭 20 待命冲 锋 21 朱元璋登基 22 婚姻法 23 演员招考制度 24 五角 25 员 26 刀口 27 海峡两岸盼统一 28 有情人终成眷属 29 马路 没弯儿 30 两个寨子隔条岗 南寨没有北寨强 南寨好汉有五条 不及北寨人一 双 31 健全法制 32 儿童储蓄 33 聚散无常 34 千丝万 缕 35 身高 36 会谈 37 欲言又止 38 保持 距离 同时起飞 39 五角钱一趟 40 浮萍 41 互盼 42 合家欢 43 恰如其分 44 一望无际 45 一模一样 46 哨声响 了 47 减法没算对 48 垂钓 49 走致富之路 50 北 51 抬头望月 正好初八 52 二胡调音 53 时刻盼望上战场 打数学二名词 54 丞 打数学三名同 55 一个邮递员掀起了信箱的盖子 在清点有多少信件 你能根据这一情 况猜出三个数学名词吗 二 打数学家名字方面的 二 打数学家名字方面的 1 虎丘游春 2 博览群书 三 打其它方面的 三 打其它方面的 1 八十五 打一影片名 2 三八二十四 打一体育名词 3 四加 四 打一字 4 打一政治名词 5 圆规画鸡蛋 打一城市 名称 6 力 打一珠算口诀 7 千古兴亡多少事 打三学科名称 8 向阳村和青松村比赛篮球 向阳队是东方乡的冠军 而青松队是长丰乡 的冠军 这场两个冠军队的比赛打得非常激烈 精彩 每球必争 比分不 相上下 直到最后一分钟 向阳队罚进一球才分出胜负 当有人问起胜负 情况和比分时 向阳队的球员说 这次比赛是 白 字比 杂 字 我们 只赢了一分 你知道两个队各得几分 谜底 谜底 一 1 倒数 2 无理数 3 函数 4 函数 5 代数 6 对数 7 对数 8 指数 9 负数 10 复数 11 半角 12 内角 13 公共角 14 同位角 15 两面角 16 加法 谜面意即 加罚 罚 与 法 谐音 17 减法 18 乘法 乘车方法 取乘法 19 负号 20 等号 21 消元 22 结合律 23 优选法 24 半圆 25 圆心 26 切点 27 同心圆 28 同心圆 29 直径 30 算盘 31 圆规 32 微积分 33 不定积分 34 繁分式 35 立体几何 36 集 合论 37 控制论 38 平行 39 一元二次 40 不定根 41 相等 42 共圆 43 精确值 44 无穷大 45 全等 46 集合 47 误差 48 等于 于 与 鱼 谐音 49 趋向无穷 50 反比 反扣法 北 反为 比 51 正弦 假借法 因为初八月亮是上弦 上 含 正 故为 正弦 52 正 弦 53 等角 正切 54 大于 小于 分子 用增损法猜测 55 开立方 函数 几何 二 1 苏步青 2 张广厚 三 1 月到中秋 2 女子双打 三八 扣 女子 二十四 扣 双打 因为十二为一打 3 积 四加四 和是八 再由 和八 拼成 积 字 4 分裂主义 5 太原 原 与 圆 谐音 6 二一添作五 7 历史 代数 几何 9 九十九比九十八 白 是 百 减 一 杂 是 九 十 八 的组合 注注 1 不同的谜面有时有相同的谜底 2 同一个谜面它的谜底有时是由几部分组成的 且这几部分都是并 列的 必须都猜出来才算全对 3 第五十五个谜语属哑谜 最后一个谜语属故事谜 猜数学谜语可锻炼思维能力 提高学习数学的兴趣 在猜谜的过程中 有 时需要一步步地深入 前面猜测的结果可能成为下一步的前提 因此 算法思 想始终渗透在数学谜语中 条理清晰 理由充分 推理正确 才能一步步地贴 近谜面 同时 请学生表述答案的过程是提高表达能力的过程 第二节第二节 3 3 根指挥棒和根指挥棒和 1212 个直角个直角 英国发明家瓦特 1736 1819 获得了蒸汽机专利后 从一个大学实验员 一跃成为波士顿 瓦特公司的老板 还成为英国皇家学会的会员 引起了许 多旧贵族的不满 据说 在一次皇家音乐会上 有个贵族故意嘲讽地对瓦特说 乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已 瓦特回答道 是 的 那的确是根棒子但是我可以用这样 3 根棒子组成 12 个直角 而你却不能 做到 那个贵族不服气地用 3 根指挥棒在桌上摆来摆去 可始终无法摆出 12 个直角 你能拼出 12 个直角吗 试试看 下面我们一起来讨论一下 如果把图 1 中最下面的一根指挥棒向左平移 就摆成了 6 个直角 见图 2 如果把图 2 中最下面的指挥棒往上平移 就可以摆出 8 个直角 见图 3 这时候 我们会发现 在桌面无论怎样摆法 直角数都不会超过 8 个 于 是 我们可以得出结论 在桌面上 无法用 3 根指挥棒拼出 12 个直角 图 1 图 2 图 3 但是 瓦特并没有说 我能在桌面上拼出 12 个直角 因此 我们应该离 开桌面来讨论这个问题 我们重新来考虑一下 如果把 2 根指挥棒十字交叉地放在桌面上 另一根指挥棒的一端摆在前 2 根指挥棒的交叉处并使这根棒与桌面垂直 如图 4 这时拼出的直角也是 8 个 如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面 紧挨着与桌面垂直的小棒向上 方 平移 如图 5 那么 这时我们会发现 12 个直角出现了 图 4 图 5 一位心理学家曾经出过这样一个测验题 在一块土地上种植四棵树 使得每 两棵树之间的距离都相等 受试的学生在纸上画了一个又一个的几何图形 正方 形 菱形 梯形 平行四边形 然而 无论什么四边形都不行 这时 心理 学家公布出了答案 其中一棵树可以种在山顶上 这样 只要其余三棵树与之 构成正四面体的话 就能符合题意要求了 这些受试的学生考虑了那样长的时 间却找不到答案 原因在于他们没有学会使用一种创造性的方法 立体思维 法 人们进行思维活动时总会受过去的生活经验和已有思维方法的影响 对于 这些受试者来说 平面几何是他们比较熟悉的知识 于是 当他们碰到几何问 题的时候 也往往先从平面几何而不是立体几何的角度来进行思考 这时 为 他们所牢固掌握的平面几何也就成了他们思考问题的框框 于是也就想不出正 确的结果来 立体思维要求人们跳出点 线 面的限制 有意识地从上下左右 四面八 方各个方向去考虑问题 也就是要 立起来思考 其实 有不少东西都是跃 出平面 伸向空间的结果 小到弹簧 发条 大到奔驰长啸的列车 耸入云天 的摩天大厦 最典型的要数电子王国中的 格里佛小人 集成电路了 在电子线路板上也制造出立体形的 它不仅在上下两面有导电层 而且在线路 板的中间设有许多导电层 从而大大节约了原材料 提高了效率 从大的来说有立体网箱养鱼技术 大型立交桥等 杭州市青少年业余发明 学校的学生利用立体思维发明了立体文具盒 立体工具箱 立体报刊架等 收 到了明显的效果 科学家在研制飞机 导弹和卫星时需要运用非常复杂的电于设备 装配这 些设备往往需要几十万甚至几百万个晶体管 电阻 电容等电子元件 这样的 设备体积十分庞大 携带和使用也不方便 后来 他们将各种电子元件由平面 式的接线方式改为立体式的连接 充分利用真空扩散 表面处理等方法 制成 了平面型的晶体管 电阻 电容 这些很薄很薄的元件通过层层重叠的方式组 装起来 就构成了微型组合电路 再在一个单晶硅片上做成集成电路 这样 一个 5 平方毫米的硅片上可集成 27000 个元件 正是由于有了这种集成电路才 有了电子手表 电子计算器等袖珍电子产品 课后 请同学们思考这样一个问题 我们知道 以 3 根火柴为边可以组成 一个三角形 那么 用 6 根火柴能组成 4 个三角形吗 第三节第三节 数学中的简单逻辑推理问题数学中的简单逻辑推理问题 一 一 被墨水盖住被墨水盖住 的算式的算式 如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领 不但应具有非凡的推 理能力 还要懂得大量的其他知识 然而 只要你有心 也可以破译一些简单 的密码 现在我们来看一个例子 据传说 英国物理学家牛顿 1642 1727 小的时候 学习成绩几乎在学 校是倒数第一 后来他下决心改变这一令人沮丧的状况 有一次 他把自己的 作业做得干净整齐 没有任何错误 但正当他把笔和本子收起来时 糟糕的事 情发生了 墨水洒了 正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹 下图显示了 这个令人不快的结果 式中只剩下了 3 个数字较为清晰 小牛顿尽了一切努力 最后终于记起来 整道题凑巧用了 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 全部 10 个数字 一样一个 如果这是一种从 0 到 9 这 10 个数字编制的密码 你能破译出被墨水盖住的都 是哪些数字吗 由于被墨水盖住的是 10 个数字 所以原式应为 2 8 4 我们可以把这个算式写成 28A CB4 GFED 其中每个英文字母分别表示数字 0 1 3 5 6 7 9 中的某一个 我们先考虑千位上的 G 两个三位数相加 和是四位数 由于两个百位上 的数相加 和最多向千位进 1 所以 G 只能是 1 这时 算式就成了 28A CB4 1FED 再看百位上的 C 和 F 如果要保证向千位进 1 C 不能小于 7 即 C 只可 能是 7 或 9 中的一个 设 C 9 那么如果十位不进位到百位 F 1 如果十位 进位到百位 F 2 这都和已知的数字重复 所以 C 9 所以 C 7 F 0 即 28A 7B4 10ED 这时 B 可能是 3 5 6 7 中的某一个 如果 B 3 那么应有 E 1 或 2 但这不可能 如果 B 5 那么 E 3 但 6 4 9 9 4 6 如果 B 6 那么 E 5 这时令 A 9 则有 D 3 整理出来就是 A 9 B 6 C 7 D 3 E 5 F 0 G 1 于是 小牛顿的算式应为 289 764 1053 二 问路问题二 问路问题 有这样一个故事 在太平洋中有 AB 两个相邻的小岛 A 岛居民都是诚实 的人 B 岛的居民都是骗子 当你问一个问题时 A 岛的居民会告诉你正确的 答案 而 B 岛的居民给你的答案都是错误的 一天 一个旅游者独自登上了两 岛中的某个岛 他分辨不清这个岛是 A 岛还是 B 岛 只知道这个岛上的人既有 本岛的居民又有另一岛的来客 他想问岛上的人 这是 A 岛还是 B 岛 却又 无法判断被问者的答案是否正确 旅游者动脑筋想了会一儿 终于想出一个办 法 他只需要问他所遇到的任意一人一句话 就能从对方的回答中准确无误地 断定这里是哪个岛 你能猜出旅游者所问的问题吗 如果旅游者直接问 这是 A 岛还是 B 岛 那么当被问者是 A 岛人时 他 会得到正确的回答 当被问者是 B 岛人时 他会得到错误的回答 两种回答截 然相反 而旅游者又无法知道他得到的答案对不对 因此这样问话达不到问路 的目的 聪明的旅游者的问话是 你是这个岛的居民吗 如果对方回答 是 那么这个岛一定是 A 岛 如果对方回答 不是 那么这个岛一定是 B 岛 你能说出这是为什么吗 下面我们就对上面的问题进行分析 我们知道 旅游者提出问题时并不知 道提问地是何岛 也不知道被问者是何岛居民 他要从所听到的第一句回答来 判断问话地是何岛 因此 所提问题的答案必须是因提问地而异 而不由被问 者是 A 岛居民或是 B 岛居民发生变化 根据上述特点 我们设法找到这样的问题 1 使得在 A 岛提问时 被问者 不论是何岛居民 都回答同样的一种答 案 2 在 B 岛提问时 被问者都回答另一种答案 于是 我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了 显然 这样 的问题必须与提问地相关 并且还要与被问者有关 如果在 A 岛提出这样的问 题时 A 岛居民应作肯定回答 B 岛居民也会作肯定回答 但这种回答与客观 实际相反 那么在 B 岛提出同一问题时 A 岛居民应作否定回答 B 岛居民也 会做否定回答 但回答与实际情况相反 你是这个岛的居民吗 这一问题就是一个满足以上要求的问题 我们 通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的相应回答 问题 你是这个岛的居民吗 被问者 问话地 A 岛居民B 岛居民 回答 A 岛 是是 B 岛不是不是 由上表可以一目了然地发现 在 A 岛提问时 回答总为 是 在 B 岛提 问时 回答总为 不是 这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据 于 是 问路问题 得以解决 请想一想 如果旅游者的问题为 你是相邻的另一岛上的居民吗 那 么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗 为什么 试通过列表的方式说 明理由 数学中有个分支叫做数理逻辑 它通过数学方法来研究逻辑规律 在数理 逻辑中 列表法是一种基本的研究方法 只是其中表的形式与本文中的表有许 多不同 使用了一些有关命题 真值的抽象符号 但其基本思想与我们用表讨 论问题的思想是大体一致的 都是通过列表来分析和说明问题 数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科 所谓逻辑推理 就是合乎事理 的 有根有据的推导判断 上面的两个问题正是运用到逻辑推理的问题 同学 们应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力 使自己勤于思考并且善于思 考 成为聪明人 第四节第四节 欺骗眼睛的几何问题欺骗眼睛的几何问题 生活中我们常常相信亲眼所见 但又常常为自己的眼睛所骗 魔术就是一 个很好的例子 数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术 我们先看一 个问题 问题问题 1 1 在下面的两个图形中 如果将图 1 中的四块几何图形裁剪开来重 新拼接成图 2 我们会发现 与图 1 相比 图 2 多出了一个洞 这怎么可能呢 我们自然会提出这样的疑问 奥妙何在我们姑且按下不表 让同学们先动动脑 子 上面的题目有些复杂 下面我们来看一个简单一些的问题 问题问题 2 2 将图 3 中面积为 13 13 169 的正方形裁剪成图中标出的四块几何 图形 然后重新拼接成图 4 计算可知长方形的面积为 8 21 168 比正方形 少了一个单位的面积 非常不可思议 这是为什么呢 这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解 值得我们花费一些时间动手按 照所说的剪裁方法做一做 我们先来分析一下问题 2 我们在白纸上将正方形量好画出 剪成四块 重新安排后拼成长方形 除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确 我们 一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠 正是沿对角 线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失 要证实这一点我们只要计算一下长 方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率 比较一下就会清楚了 问题 2 中涉及到四个数据 5 8 13 和 21 有一定数学基础的同学会认出 这是著名的斐波那契数列中的四项 斐波那契数列的特征是它的每一项都是前 两项之和 1 1 2 3 5 8 13 21 34 我们还可以使用这个数列 中的其他相邻四项来试验这个过程 无论选取哪四项 都可以发现正方形和长 方形的面积是不会相等的 有时正方形的面积比长方形多一个单位面积 有时 则正好相反 多做几次上述实验 我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质 这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加 1 或减 1 用公式表示就 是 其中表示正方形的面积 表示长方形的面 2 11 1 nnn fff 2 n f 11nn ff 积 知道了这个事实 我们就可以自己构造类似于问题 2 的几何趣题 上面的这个斐波那契数列是以 1 1 两数开始的 广义的斐波那契数列可 以从任意两数开始 比如说 用广义斐波那契数列 2 2 4 6 10 16 做上述试验 就会多得或丢失四个单位的面积 如 果用 a b c 表示广义斐波那契数列的相邻三项 以 x 表示 得 或 失 的 数字 则下列两式成立 我们还可以来研究这样一个有趣的问 2 abc bacx 题 把正方形按上述方法剪成四块 是否会拼接成一个与它面积相等的长方形 要回答这个问题 可以令方程组中的 x 等于零 再解之得唯一正解是 其中恰是著名的黄金分割比 通常用来表示 它是一个无 15 2 b a 15 2 理数 等于 1 618033 这就是说 唯一的每项平方等于前后相邻两项之 积的斐波那契数列是 1 要证明它的确是斐波那契 2 3 4 数列 只要证明它等价于数列 1 1 2 1 3 2 就可以了 只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形 才可以拼出面积不变的长 方形 我们再回到问题 1 题中涉及到的数据 1 1 2 3 5 8 13 恰是斐波 那契数列的前七项 因此问题 1 实际上是问题 2 的一个复杂化版本 计算一下 图中两个大小三角形斜边的斜率 那么一开始的疑问已不讲自明 最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3 图 5 这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形 剪开后重新拼接成图 6 奇怪 又多出了一个洞 这次斜线处并无叠合 少掉的一个单位面积哪里 去了呢 这个问题最初是由美国魔术师保罗 卡瑞提出的 虽然它曾经难倒了A 许多美国人 但相信它难不倒聪明的中国学生 为帮助大家思考 提示一下 不要忘了计算 最后送给大家一句华罗庚教授的话 数缺形时少直观 形少数时难入微 第五节第五节 抽屉原理的简单应用抽屉原理的简单应用 任意 367 个人中 必有生日相同的人 从任意 5 双手套中任取 6 只 其中至少有 2 只恰为一双手套 从数 1 2 10 中任取 6 个数 其中至少有 2 个数为奇偶性不同 大家都会认为上面所述结论是正确的 这些结论是依据什么原理得出的呢 这个原理叫做抽屉原理抽屉原理 抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理 它是数学中 证明存在性的一种特殊方法 它的内容可以用形象的语言表述为 把 m 个东 西任意分放进 n 个空抽屉里 m n 那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个东 西 举个最简单的例子 把 3 个苹果按任意的方式放入两个抽屉中 那么一 定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果 这是因为如果每一个抽屉里最多 放有一个苹果 那么两个抽屉里最多只放有两个苹果 运用同样的推理可以得 到 原理原理 1 1 把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里 则至少有一个抽屉里有 2 个 或 2 个以上的物体 原理原理 2 2 把多于 mn 个的物体放到 n 个抽屉里 则至少有一个抽屉里有 m 1 个或多于 m l 个的物体 下面我们用抽屉原理来分析前面的例子 第一个结论中 由于一年最多有 366 天 因此在 367 人中至少有 2 人出生在同月同日 这相当于把 367 个东西 放入 366 个抽屉 至少有 2 个东西在同一抽屉里 在第二个结论中 不妨想象 将 5 双手套分别编号 即号码为 1 2 5 的手套各有两只 同号的两只是 一双 任取 6 只手套 它们的编号至多有 5 种 因此其中至少有两只的号码相 同 这相当于把 6 个东西放入 5 个抽屉 至少有 2 个东西在同一抽屉里 例 利用上述原理证明 任意 7 个整数中 至少有 3 个数的两两之差是 3 的倍数 分析 因为任一整数除以 3 时余数只有 0 1 2 三种可能 所以 7 个整数 中至少有 3 个数除以 3 所得余数相同 即它们两两之差是 3 的倍数 如果问题所讨论的对象有无限多个 抽屉原理还有另一种表述 把无限 多个东西任意分放进 n 个空抽屉 n 是自然数 那么一定有一个抽屉中放进 了无限多个东西 抽屉原理的内容简明朴素 易于接受 它在数学问题中有重要的作用 许 多有关存在性的证明都可用它来解决 一 抽屉原理和六人集会问题一 抽屉原理和六人集会问题 1958 年 6 7 月号的 美国数学月刊 上有这样一道题目 证明在任意 6 个人的集会上 或者有 3 个人以前彼此相识 或者有三个 人以前彼此不相识 这个问题可以用如下方法简单明了地证出 在平面上用 6 个点 A B C D E F 分别代表参加集会的任意 6 个人 如果两人以前彼此认识 那么就在代表他们的两点间连成一条红线 否则连一 条蓝线 考虑 A 点与其余各点间的 5 条连线 AB AC AF 它们的颜色不 超过 2 种 根据抽屉原理可知其中至少有 3 条连线同色 不妨设 AB AC AD 同为红色 如果 BC BD CD3 条连线中有一条 不妨设为 BC 也为红色 那 么三角形 ABC 即一个红色三角形 A B C 代表的 3 个人以前彼此相识 如果 BC BD CD3 条连线全为蓝色 那么三角形 BCD 即一个蓝色三角形 B C D 代表的 3 个人以前彼此不相识 不论哪种情形发生 都符合问题的结论 图 1 六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例 这个 简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论 这些结论构成了组合数 学中的重要内容 拉姆塞理论 从六人集会问题的证明中 我们又一次看 到了抽屉原理的应用 二 抽屉原理与二 抽屉原理与 电脑算命电脑算命 电脑算命 看起来挺玄乎 只要你报出自己出生的年 月 日和性别 一按按键 屏幕上就会出现所谓性格 命运的句子 据说这就是你的 命 其实这充其量不过是一种电脑游戏而已 我们用数学上的抽屉原理很容易 说明它的荒谬 如果以 70 年计算 按出生的年 月 日 性别的不同组合数应为 70 365 2 51100 我们把它作为 抽屉 数 我国现有人口 11 亿 我们把 它作为 物体 数 由于 1 1 21526 51100 21400 根据原理 2 存在 21526 个以上的人 尽管他们的出身 经历 天资 机遇各不相同 但他们却 具有完全相同的 命 这真是荒谬绝伦 在我国古代 早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬 如清代陈其 元在 庸闲斋笔记 中就写道 余最不信星命推步之说 以为一时 注 指 一个时辰 合两小时 生一人 一日生十二人 以岁计之则有四千三百二十人 以一甲子 注 指六十年 计之 止有二十五万九千二百人而已 今只以一大 郡计 其户口之数已不下数十万人 如咸丰十年杭州府一城八十万人 则举 天下之大 自王公大人以至小民 何啻亿万万人 则生时同者必不少矣 其间 王公大人始生之时 必有庶民同时而生者 又何贵贱贫富之不同也 在这里 一年按 360 日计算 一日又分为十二个时辰 得到的抽屉数为 60 360 12 259200 所谓 电脑算命 不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别 一一存放在各自的柜子里 谁要算命 即根据出生的年月 日 性别的不同的 组合按不同的编码机械地到电脑的各个 柜子 里取出所谓命运的句子 这种 在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当 是对科学的亵渎 第六节第六节 帕斯卡三角形与道路问题帕斯卡三角形与道路问题 苏珊很为难 她步行去学校 路上老是遇到斯廷基 斯廷基 嘿嘿 苏 珊 我可以陪你一起走吗 苏珊 不 请走开 苏珊心想 我有办法了 每天早上我走不同的路线去学校 这样斯廷基就 不知道在哪儿找到我了 下面这张地图表示苏珊的住所和学校之间的所有街道 苏珊去学校时 走路的方向总是朝南或朝东 她总共有多少条路线呢 苏珊 我真想知道有多少条路线可走 让我想一想 要算出多少条路线 看来并不简单 嗯 啊哈 一点不难 简单得很 苏珊想到了什么好主意呢 她的推理如下 苏珊 在我家这个角点上写一个 1 因为我只能从这一 点出发 然后在与此相隔一个街区的两个角点上各写一个 1 因为到那里只有 一条途径 现在 我在这个角点上写上 2 因为到达那里可以有两条途径 苏 珊发现 2 是 1 加 1 之和 她忽然领悟 若到某一个仅有一条途径 则该角点上 的数字为前一个角点上的数字 若有两条途径 则为前两个角点上的数字之和 苏珊 瞧 又有四个角点标上了数字 我马上把其他角点也标上数字 请你替苏珊把剩下的角点标上数字 并且告诉她步行到学校共有多少条不同 的路线 苏珊的家 H 1 1 1 2 1 3 1 1 3 学校 G 剩下的 5 个点 自上而下 从左至右分别标以 1 4 10 5 15 最后一 点上的 15 表示苏珊去学校共有十五条最短路径 苏珊所发现的是一种快速而简单的算法 用来计算从她家到学校的最短路 径共有多少条 要是她把这些路径一条一条地画出来 然后再计数 这样肯定 麻烦 还容易出错 如果街道的数目很多 那么这种方法根本就行不通 你不 妨把这十五条路线都画出来 这样你就更能体会到苏珊的算法是多么地有效了 你对这种算法是否已经理解 可以再画一些不同的街道网络 然后用这种 算法来确定从任意点 A 到另一任意点 B 的最短路线共有多少条 网络可以是矩 形网格 三角形网格 平行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格 也可以用其 他方法 例如组合公式 求解 但这种方法十分复杂 需要很高的技巧 在国际象棋棋盘上 车 从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共 有多少条 就像苏珊给街道交点标上数字一样 把棋盘上所有格子也都填上数 字 于是问题就迎刃而解了 车 只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动 便可以求出共有多少条最短 路径 如图所示 1836 12033079217163432 1728 84 210462924 1716 1621 56 126252462 792 1515 35 70 126210 330 1410 20 35 56 84120 13610 15 21 2836 12345678 车 1111111 把整个棋盘正确标号 根据所标的数字 一眼就能看出在棋盘上从一个角 出发到任意一角 有多少条最短路线 右上角的数字是 3432 所以 车 从一 角到对角线的另一角的最短路径共有 3432 条 让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二 使其成为如下图所示的 阵列 此三角形上的数字与著名的帕斯卡三角形 我国叫做杨辉三角形 的数字 是相同的 当然 计算街道路径条数的算法 恰恰就是构造帕斯卡三角形所依 据的过程 这种同构现象使得帕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭的源泉 1 11 121 1331 14641 利用帕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数 即求 a b 的任意次 幂 同样也可以用来解出初等概率论中的许多问题 请注意 上图中自顶部至 底部 从边沿一格来说是 1 随着向中间移动 数字逐渐增加 也许你见过根 据怕斯卡三角形所制成的一种装置 在一快倾斜的板上 成百个小球滚过木钉 进入各格的底部 全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线 因为到达每个 底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数 显然 苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构 设有一个边长 为 3 的立方体 分成 27 个立方体单元 把它看成棋盘 处于某一个角格上的 车 可以向三个坐标上的任何位置作直线移动 试问 车 到空间对角线的 另一个角格有多少条最短路径 第七节第七节 数数 独独 数独是个数字解谜游戏 完全不必要用到算术 会用到的只是推理与逻辑 所以要玩报章 杂志上的数独题目时 只要有一支笔就可以开始了 对于数独游戏的解法 通常采用直观法和候选数法 我们在这里主要介绍 直观法 直观法 顾名思义 就是通过对谜题中现有的数字进行分析 继而逐一确 定剩余空格中的数字的方法 它是最常用并且相对简单的方法 对于比较容易 的谜题 可以快速求解并收到良好的效果 但是遇到比较复杂的题目 直观法 就稍显力不从心了 经常在报章 杂志上看到的数独谜题 一般就算再难都可以用直观法来解 决 你只要有相对锐利的眼光和一定的逻辑分析能力 就可以准确地把空余的 数字逐个填出来 实际上 直观法就是对数独游戏规则的充分利用 它不需要 任何辅助工具 从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题 绝不猜测 数独直观法解题技巧主要有 基础摒除法 唯一解法 唯余解法 区块摒除法 单元摒除法 余数测试法 一 基础摒除法 一 基础摒除法 基础摒除法就是利用的数字 1 9 在每一行 每一列 每一个九宫格都 只能出现一次的规则进行解题的方法 基础摒除法可以分为行摒除 列摒除 九宫格摒除 实际寻找解的过程为 寻找行摒除解 找到了某数在某行可填入的位置只余一个的情形即找到了 该数在该行中的填入位置 寻找列摒除解 找到了某数在某列可填入的位置只 余一个的情形即找到了该数在该列中的填入位置 寻找九宫格摒除解 找到了 某数在某一个九宫格可填入的位置只余一个的情形即找到了该数在该九宫格中 的填入位置 利用基础摒除法解题的过程就是依次从数字 1 9 在行 列 九宫格寻 找能放入该数唯一的一个位置 需要综合用到行摒除 列摒除 九宫格摒除的 方法 例如 利用基础摒除法解决数独问题 利用基础摒除法确定题目如下 B2 C8 E7 F6 I5 的数字 吗 题目如下 29 8 5 58 7 1 9 3 78 6 3 94 5 1 7 9 68 35 分析 见左图 A9 9 则 行其它格排除 9 G1 9 第 1 列排除数字 9 D3 9 第 3 列排除数字 9 由基础摒除法 第 A1 所在的九宫格内 9 只有一个唯 一的位置 即确定 B2 9 分析 见左图 A4 9 则 4 列其它格排除 9 G1 9 第 G 行排除数字 9 H9 9 第 H 行排除数字 9 由基础摒除法 第 G4 所在的九宫格内 9 只有一个唯 一的位置 即确定 I5 9 分析 见左图 A4 9 则 4 列其它格排除 9 D3 9 第 D 行排除数字 9 I5 9 第 5 列排除数字 9 由基础摒除法 第 D4 所在的九宫格内 9 只有一个唯 一的位置 即确定 F6 9 分析 见左图 A4 9 则 A 行其它格排除 9 B2 9 第 B 行排除数字 9 H9 9 第 9 列排除数字 9 由基础摒除法 第 A7 所在的九宫格内 9 只有一个唯 一的位置 即确定 C8 9 分析 见左图 C8 9 则 8 列其它格排除 9 D3 9 第 D 行排除数字 9 F6 9 第 F 行排除数字 9 H9 9 第 9 列排除数字 9 由基础摒除法 第 D7 所在的九宫格内 9 只有一个唯 一的位置 即确定 E7 9 确定 F6 I5 所在位置的数字作为练习 二 唯一解法 二 唯一解法 例如 1 当某行已填数字的宫格达到 8 个 那么该行 剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字 了 这个数字称为行唯一解 A 行已经填入了 8 个数字 A 行只有数字 3 没有 出现过 所以 A9 3 这是行唯一解 2 第 1 列已经添入 8 个数字 第 1 列只有数 字 5 没有出现过 所以 E1 5 这是列唯一解 3 在 A8 所在九宫格区域已经添入 8 个数字 只有数字 三 唯余解法 三 唯余解法 唯余解法就是某宫格可以添入的数已经排除了 8 个 那么这个宫格的数字 就只能添入那个没有出现的数字 唯余解法道理非常简单 但在实际使用是比 较困难 要注意识别 例如 A5 的值是多少 其实这就是唯余解法的原理 很简单吧 但是实 际使用 时就不会容易发现了 能使用唯余解法确定 B7 的值吗 能确定 E9 A9 B9 C9 的值吗 本题题目 531 8 7 8 4 9 96 1 5 7 4 5 3 67 5 4 8 1 7 3 6 由区块摒除法可以得出 E9 9 在区块摒除法没 有举这个例子 这里补充 由唯余解法 C9 2 同样 可得出 B9 4 A9 8 四 区块摒除法四 区块摒除法 区块摒除法是基础摒除法的提升方法 是直观法中使用频率最高的方法之 一 所谓区块 就是将行分成 3 个三个相连的小方块构成 列也是分成 3 个三 个相连的小方块构成 九宫格同样被看成由 3 个三个相连的小方块构成 如下 面示意图 区块摒除法的核心思想如下面解释 以行为例 对于在列也是相同的道理 假如 G1 G3 黄色区域区块其中之一是数字 9 则 H4 H6 蓝色区域可能含有数字 9 否则 I4 I6 绿色区域含有数字 9 假定我们已确定 G1 G3 黄色区域区块其中之一是 数字 9 H4 H6 蓝色区域含有数字 9 则在 I7 I9 绿色区域一定含有数字 9 如果再通过其它 方法确定 I7 I9 绿色区域中某两个宫格不能为数字 9 则就能确定数字 9 在 I7 I9 区块的具体位置 例如 能使用区块摒除法确定 F6 的数字吗 本题题目 81 2 37 81 4 1 72 63 73 6 92 6 4 6 9 17 D2 2 则 E1 E3 蓝色区块 或 F1 F2 绿色区 块必包含数字 2 又有 B1 2 利用列摒除法 E1 F1 不能为数字 1 有 F2 F3 已填有数字 所以 E2 E3 蓝色区块必有数字 2 由上面得出黄色区块 蓝色区块包含数字 2 这 是典型的区块摒除法 得到绿色区块必包含数字 2 又 G4 2 F5 已添入数字 所以 F6 2 五 单元摒除法五 单元摒除法 单元摒除法是比较基本的排除方法 下面举例解释 能确定 A8 的数字吗 本题题目 8 92 5 3 6 1 9 8 7 9 82 5 2 4 6 35 4 1 7 79 由 D5 7 得出 D87 H9 7 得出 G8 H8 I87 显然 A8 7 六 余数测试法 六 余数测试法 所谓余数测试法就是在某行 列或九宫格所填数字比较多 剩余 2 个或 3 个时 在剩余宫格填入数字进行测试的解题方法 例如 本题题目 32 7 1 89 2 9 64 8 245 513 7 31 74 5 6 3 8 6 在 B 行 C 行剩余未填的数字只有两三个了 这 时可以使用余数测试法进行解题 我们看 B 行 B3 可能添入的数为 5 或者 6 我们 从 5 开始测试 我们在 B3 添入 5 进行测试 得到左图 没有得出 出错的推断 所以 B3 5 可能是正确的判断 如果能 判断出 B36 则