数学北师大版九年级下册确定二次函数关系式的常见题型.doc

确定二次函数关系式的常见题型及解法确定二次函数的关系式，既是数学教学重点，也是教学的难点，学生学习不易掌握在全国各地的中考考试中是必考内容，它可出现在选择题、填空题中，而且基本上都会出现在最后的压轴题中。解题的基本思想方法是待定系数法和数形结合方法，根据题目给出的具体条件或结合图形，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数下面就确定二次函数关系式的常见题型及解法如下。一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a 0； 2、x的最高次数为2次例1、若 是二次函数，则m = 解：由m2+ m0得:m 0，且 m 1 由m22m 1 = 2得m =1 或m =3 m = 3 练习 1.若是关于x的二次函数，则a= 二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一例2、写出一个开口向下的二次函数的表达式_ 分析：根据给出的条件，所以这道题只需满足中的a0即可,如y=-x2+2x+1（注：答案不唯一）练习 1.写出一个对称轴为x=2的二次函数的表达式_三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x-h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x +h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m其平移的规律是：h值左负右正；k值上正下负（或左加右减、上加下减）由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变 例3.（2013毕节地区）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）Ay=（x1）2+3B.y=（x+1）2+3Cy=（x1）23D.y=（x+1）23考点：二次函数图象与几何变换分析：由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减【答案】选A点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键四、用待定系数法确定二次函数关系式例4.已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），求此二次函数的解析式。分析：利用待定系数法把A（1，0），C（0，3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x3；解答：解：二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），解得，二次函数的解析式为y=x2+2x3；例5.抛物线与x轴交于A，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x= ，求抛物线的解析式。分析：根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点再由待定系数法求解即可；解答：解：设抛物线的解析式把A（2，0）C（0，3）代入得：解得：即注 当已知二次函数的图象的对称轴为x=x0时，可设它的解析式为y=a(x-x0)2+n，这样只需求两个特定系数a，n2.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3【答案】C例6 已知二次函数的图象y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0）求这个二次函数解析式分析：根据抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），再整理即可， 解答：解：抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0）抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），即y=x2+2x+3，例7 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），求抛物线的函数表达式。分析：把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解解法：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3；小结：用待定系法确定二次函数关系式时，要灵活运用顶点式、交点式和一般式。一般步骤是：五、数形结合法数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的例11.已知在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式分析：在RtAOB中，根据AO的长和BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且BOC=BOA=30，过C作CDx轴于D，即可根据COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式练习1 （2013眉山压轴题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：以点A为直角顶点过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；以点P为直角顶点此时点P只能与点B重合；以点E为直角顶点此时点P亦只能与点B重合（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x3（2）存在APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：以点A为直角顶点P（2，3）；以点P为直角顶点P（3，0）；以点E为直角顶点点P只能与