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实验20 几何图形的线性变换 - 111 -实验20 几何图形的线性变换背景知识1872年德国数学家克莱茵（F.Klein）在德国爱尔兰根大学的一次学术报告中提出，几何学的任务就是研究在一定的几何变换（这些变换组成一个群）下图形的不变性质。比如，欧几里德平面几何学里的变换是平面图形的平移、转动、轴对称，这这些变换下，长度、角度保持不变。克莱茵斯所阐述的这一著名观点被称为爱尔兰根纲领。一般地，如果有一种法则，将平面上每个点对应于唯一的一个点，则成为平面上的变换。称为的像。平面上的图形由点组成，因而平面上每个变换将每个图形变到某个图形，称为的像。在平面上建立了直角坐标系之后，每个点由它的坐标来代表，其中是一对实数。平面上的变换将每个点变到点，的横坐标和纵坐标都是的函数：只要给定了两个函数和，就决定了一个几何变换，它将坐标为的点变到坐标为的点。设平面曲线的参数方程为其中是函数的定义域，则曲线在变换下的像的参数方程为实验目的 观察线性变换下几何图形的变化情况，以及在这些变换之下哪些性质保持不变。预备知识 线性变换、向量矩阵乘法实验内容(1) 观察在旋转变换 下，平面直线段和曲线段在该变换下的图形；(2) 任意选定一个2阶方阵，观察在线性变换下，平面直线段和曲线段在该变换下的图形；(3) 任意选定一个2阶方阵，观察在线性变换下，平面有界区域在该变换下的图形。实验步骤 【Step1】：任选一个，决定一个线性变换，画出平面上的一个直线段或其它曲线，计算它们在线性变换下的坐标，并画出图形，改变的值，重做几遍；【Step2】：任意选定一个二阶方阵A，由它确定了一个线性变换，观察平面直线段或其它曲线在该变换下的图形，注意这样一些问题：（1） 直线是否仍变成直线？平行直线是否仍变成平行直线？平行四边形是否仍变成平行四边形？（2） 两点之间的距离经过变换是否保持不变？如果变化了，是否所有的距离按同一比例放大或者缩小？或者，同一方向的的距离按同一比例放大或缩小？（3） 角度大小是否保持不变？矩形是否变成矩形？（4） 圆变成什么图形？是否仍变成圆？【Step3】：选定一个平面区域，矩形域或圆域，画出它在某个线性变换下的图形。【输出】：见图20。(1)
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