2008年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

第 1 页 共 17 页 2008 年湖北省高考数学试卷 理科 年湖北省高考数学试卷 理科 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 设 1 2 3 4 3 2 则 A 15 12 B 0C 3D 11 2 5 分 若非空集合 A B C 满足 A B C 且 B 不是 A 的子集 则 A x C 是 x A 的充分条件但不是必要条件 B x C 是 x A 的必要条件但不是充分条件 C x C 是 x A 的充要条件 D x C 既不是 x A 的充分条件也不是 x A 必要条件 3 5 分 用与球心距离为 1 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 A B C D 4 5 分 函数的定义域为 A 4 2 B 4 0 0 1 C 4 0 0 1 D 4 0 0 1 5 5 分 将函数 y sin x 的图象 F 向右平移个单位长度得到图象 F 若 F 的一条 对称轴是直线则 的一个可能取值是 A B C D 6 5 分 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作 每个场馆至少分配一 名志愿者的方案种数为 A 540 B 300C 180D 150 7 5 分 若 f x x2 bln x 2 在 1 上是减函数 则 b 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 8 5 分 已知 m N a b R 若 则 a b A mB mC 1D 1 9 5 分 过点 A 11 2 作圆 x2 y2 2x 4y 164 0 的弦 其中弦长为整数的共有 A 16 条B 17 条C 32 条D 34 条 第 2 页 共 17 页 10 5 分 如图所示 嫦娥一号 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球 在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 之后卫星在 P 点第二次变轨进 入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心 的圆形轨道 绕月飞行 若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道 和 的焦距 用 2a1和 2a2分 别表示椭圆轨道 和 的长轴的长 给出下列式子 a1 c1 a2 c2 a1 c1 a2 c2 c1a2 a1c2 其中正确式子的序号是 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 5 分 设 z1是复数 z2 z1 i 1 其中1表示 z1的共轭复数 已知 z2的实部是 1 则 z2的虚部为 12 5 分 在 ABC 中 三个角 A B C 的对边边长分别为 a 3 b 4 c 6 则 bccosA cacosB abcosC 的值为 13 5 分 已知函数 f x x2 2x a f bx 9x2 6x 2 其中 x R a b 为常数 则方 程 f ax b 0 的解集为 14 5 分 已知函数 f x 2x 等差数列 ax 的公差为 2 若 f a2 a4 a6 a8 a10 4 则 log2 f a1 f a2 f a3 f a10 15 5 分 观察下列等式 第 3 页 共 17 页 可以推测 当 k 2 k N 时 ak 2 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 12 分 已知函数 f t 将函数 g x 化简成 Asin x B A 0 0 0 2 的形式 求函数 g x 的值域 17 12 分 袋中有 20 个大小相同的球 其中记上 0 号的有 10 个 记上 n 号的有 n 个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 求 的分布列 期望和方差 若 a b E 1 D 11 试求 a b 的值 18 12 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 平面 A1BC 侧面 A1ABB1 求证 AB BC 若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 二面角 A1 BC A 的大小为 试判断 与 的大小关系 并予以证明 第 4 页 共 17 页 19 13 分 如图 在以点 O 为圆心 AB 4 为直径的半圆 ADB 中 OD AB P 是半 圆弧上一点 POB 30 曲线 C 是满足 MA MB 为定值的动点 M 的轨迹 且曲线 C 过点 P 建立适当的平面直角坐标系 求曲线 C 的方程 设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E F 若 OEF 的面积不小于 求直线 l 斜率的取值范围 20 12 分 水库的蓄水量随时间而变化 现用 t 表示时间 以月为单位 年初为起点 根 据历年数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于 t 的近似函数关系式为 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 以 i 1 t i 表示第 i 月份 i 1 2 12 同一年内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取 e 2 7 计算 21 14 分 已知数列 an 和 bn 满足 a1 其中 为实数 n 为正整数 对任意实数 证明数列 an 不是等比数列 试判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 设 0 a b Sn为数列 bn 的前 n 项和 是否存在实数 使得对任意正整数 n 都 有 a Sn b 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 第 5 页 共 17 页 2008 年湖北省高考数学试卷 理科 年湖北省高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 考点 平面向量的坐标运算 菁优网版权所有 分析 先求出向量 然后再与向量 进行点乘运算即可得到答案 解答 解 1 2 2 3 4 5 6 5 6 3 2 3 故选 C 点评 本题主要考查平面向量的坐标运算 属基础题 2 5 分 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 菁优网版权所有 分析 找出 A B C 之间的联系 画出韦恩图 解答 解 x A x C 但是 x C 不能 x A 所以 B 正确 另外画出韦恩图 也能判断 B 选项正确 故选 B 点评 此题较为简单 关键是要正确画出韦恩图 再结合选项进行判断 3 5 分 考点 球的体积和表面积 菁优网版权所有 分析 做该题需要将球转换成圆 再利用圆的性质 获得球的半径 解出该题即可 解答 解 截面面积为 截面圆半径为 1 又与球心距离为 1 球的半径是 所以根据球的体积公式知 故选 B 点评 本题考查学生的空间想象能力 以及学生对圆的性质认识 进一步求解的能力 是基础题 4 5 分 考点 对数函数图象与性质的综合应用 菁优网版权所有 分析 函数的定义域要求分母不为 0 负数不能开偶次方 真数大于零 第 6 页 共 17 页 解答 解 函数的定义域必须满足条件 故选 D 点评 不等式组的解集是取各不等式的解集的交集 5 5 分 考点 函数 y Asin x 的图象变换 正弦函数的对称性 菁优网版权所有 分析 根据题设中函数图象平移可得 F 的解析式为 进而得到对称轴方程 把 代入即可 解答 解 平移得到图象 F 的解析式为 对称轴方程 把代入得 令 k 1 故选 A 点评 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换 属基础题 6 5 分 考点 排列 组合的实际应用 菁优网版权所有 分析 根据题意 分析有将 5 个人分成满足题意的 3 组有 1 1 3 与 2 2 1 两种 分 别计算可得分成 1 1 3 与分成 2 2 1 时的分组情况种数 进而相加可得答案 解答 解 将 5 个人分成满足题意的 3 组有 1 1 3 与 2 2 1 两种 分成 1 1 3 时 有 C53 A33种分法 分成 2 2 1 时 有种分法 所以共有种方案 故选 D 点评 本题考查组合 排列的综合运用 解题时 注意加法原理与乘法原理的使用 7 5 分 考点 利用导数研究函数的单调性 菁优网版权所有 分析 先对函数进行求导 根据导函数小于 0 时原函数单调递减即可得到答案 解答 解 由题意可知 在 x 1 上恒成立 即 b x x 2 在 x 1 上恒成立 由于 y x x 2 在 1 上是增函数且 y 1 1 所以 b 1 第 7 页 共 17 页 故选 C 点评 本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题 即导数大于 0 时原函数单调 递增 当导数小于 0 时原函数单调递减 8 5 分 考点 极限及其运算 菁优网版权所有 分析 通过二项式定理 由可得 b 结合极限的性质可知 a 1 b m 由此可得 a b m 解答 解 b 结合极限的性质可知 a 1 b m a b m 故选 A 点评 本题考查二项式定理和极限的概念 解题时要认真审题 仔细解答 9 5 分 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 分析 化简圆的方程为标准方程 求出弦长的最小值和最大值 取其整数个数 解答 解 圆的标准方程是 x 1 2 y 2 2 132 圆心 1 2 半径 r 13 过点 A 11 2 的最短的弦长为 10 最长的弦长为 26 分别只有一条 还有长度为 11 12 25 的各 2 条 所以共有弦长为整数的 2 2 15 32 条 故选 C 点评 本题实际上是求弦长问题 容易出错的地方是 除最小最大弦长外 各有 2 条 10 5 分 考点 椭圆的简单性质 菁优网版权所有 分析 根据图象可知 a1 a2 c1 c2 进而根据基本不等式的性质可知 a1 c1 a2 c2 进而判断 不正确 正确 根据 a1 c1 PF a2 c2 PF 可知 a1 c1 a2 c2 解答 解 如图可知 a1 a2 c1 c2 a1 c1 a2 c2 不正确 第 8 页 共 17 页 a1 c1 PF a2 c2 PF a1 c1 a2 c2 正确 a1 c2 a2 c1 可得 a1 c2 2 a2 c1 2 a12 c12 2a1c2 a22 c22 2a2c1 即 b12 2a1c2 b22 2a2c1 b1 b2 所以 c1a2 a1c2 正确 可得 不正确 故选 B 点评 本题主要考查了椭圆的简单性质 考查了学生运用所学知识解决实际问题的能 力 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 5 分 考点 复数的基本概念 复数代数形式的乘除运算 菁优网版权所有 分析 设出复数 z1的代数形式 代入 z2并化简为 a bi a b R 的形式 令实部为 1 可求虚部的值 解答 解 设 z1 x yi x y R 则 z2 x yi i x yi x y y x i 故有 x y 1 y x 1 答案 1 点评 本题考查复数的基本概念 复数代数形式的乘除运算 是基础题 12 5 分 考点 余弦定理 菁优网版权所有 分析 利用余弦定理的变式化角为边 进行化简 解答 解 由余弦定理 bccosA cacosB abcosC bc ca ab 故应填 点评 考查利用余弦定理的变式变形 达到用已知来表示未知的目的 13 5 分 考点 函数与方程的综合运用 菁优网版权所有 第 9 页 共 17 页 分析 先通过 f x 的解析式求出 f bx 建立等量关系 利用对应相等求出 a b 最 后解一个一元二次方程即得 解答 解 由题意知 f bx b2x2 2bx a 9x2 6x 2 a 2 b 3 所以 f 2x 3 4x2 8x 5 0 0 所以解集为 故答案为 点评 本题考查了函数与方程的综合运用 函数思想和方程思想密切相关 相辅相成 为解决数学综合问题提供了思路和方法 14 5 分 考点 等差数列的性质 对数的运算性质 菁优网版权所有 分析 先根据等差数列 ax 的公差为 2 和 a2 a4 a6 a8 a10 2 进而可得到 a1 a3 a5 a7 a9 2 5 2 8 即可得到 a1 a10 6 即可求出答案 解答 解 依题意 a2 a4 a6 a8 a10 2 所以 a1 a3 a5 a7 a9 2 5 2 8 log2 f a1 f a2 f a3 f a10 6 故答案为 6 点评 本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则 属基础题 15 5 分 考点 归纳推理 菁优网版权所有 分析 观察每一个式子当 k 2 时 第一项的系数发现符合 第二项的系数发现都 是 第三项的系数是成等差数列的 所以 第四项均为零 所以 ak 2 0 解答 解 由观察可知当 k 2 时 每一个式子的第三项的系数是成等差数列的 所以 第四项均为零 所以 ak 2 0 故答案为 0 点评 本题考查了归纳推理 由特殊到一般 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 12 分 第 10 页 共 17 页 考点 两角和与差的正弦函数 三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的定义域和值 域 菁优网版权所有 分析 1 将 f sinx f cosx 代入 g x 分子分母分别乘以 1 sinx 1 cosx 去掉根号 再由 x 的范围去绝对值可得答案 2 先由 x 的范围求出 x 的范围 再由三角函数的单调性可得答案 解答 解 sinx cosx 2 由 得 sint 在上为减函数 在上为增函数 又 当 即 故 g x 的值域为 点评 本小题主要考查函数的定义域 值域和三角函数的性质等基本知识 考查三角恒 等变换 代数式的化简变形和运算能力 17 12 分 考点 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 菁优网版权所有 分析 1 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 P k 可出分布列 再由期望 方差的定义求期望和方差 2 若 a b 由期望和方差的性质 E aE b D a2D 解方程组可求出 a 和 b 解答 解 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 分布列为 01234 P 第 11 页 共 17 页 由 D a2D 得 a2 2 75 11 即 a 2 又 E aE b 所以 当 a 2 时 由 1 2 1 5 b 得 b 2 当 a 2 时 由 1 2 1 5 b 得 b 4 或即为所求 点评 本题考查概率 随机变量的分布列 期望和方差等概念 以及基本的运算能力 18 12 分 考点 空间中直线与直线之间的位置关系 棱柱的结构特征 直线与平面所成的角 与 二面角有关的立体几何综合题 菁优网版权所有 分析 本小题主要考查直棱柱 直线与平面所成角 二面角和线面关系等有关知识 同 时考查空间想象能力和推理能力 1 若要证明 AB BC 可以先证明 AB 平面 BC1 由线面垂直的性质得到线线垂直 2 要判断直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 二面角 A1 BC A 的大小为 的大小关系 可以先做出二面角的平面角 再根据三角函数的单调性进行解答 也可以根据 1 的结论 以以点 B 为坐标原点 以 BC BA BB1所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所 示的空间直角坐标系利用空间向量 求出两个角的正弦值 再根据三角函数的单调性解 答 解答 解 证明 如图 过点 A 在平面 A1ABB1内作 AD A1B 于 D 由平面 A1BC 侧面 A1ABB1 且平面 A1BC 侧面 A1ABB1 A1B 得 AD 平面 A1BC 又 BC 平面 A1BC 所以 AD BC 因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 则 AA1 底面 ABC 所以 AA1 BC 又 AA1 AD A 从而 BC 侧面 A1ABB1 又 AB 侧面 A1ABB1 故 AB BC 解法 1 连接 CD 则由 知 ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角 ABA1是二面角 A1 BC A 的平面角 即 ACD ABA1 于是在 Rt ADC 中 在 Rt ADB 中 由 AB AC 得 sin sin 又 所以 第 12 页 共 17 页 解法 2 由 知 以点 B 为坐标原点 以 BC BA BB1所在的直线分 别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设 AA1 a AC b AB c 则 B 0 0 0 A 0 c 0 于是 设平面 A1BC 的一个法向量为 n x y z 则由 得 可取 n 0 a c 于是与 n 的夹角 为锐角 则 与 互为余角 所以 于是由 c b 得 即 sin sin 又 所以 第 13 页 共 17 页 点评 线线垂直可由线面垂直的性质推得 直线和平面垂直 这条直线就垂直于平面内 所有直线 这是寻找线线垂直的重要依据 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思 考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 本题也可以用空间向量来解决 其步骤是 建立空间直角坐标系 明确相关点的坐标 明 确相关向量的坐标 通过空间向量的坐标运算求解 19 13 分 考点 轨迹方程 双曲线的定义 直线与圆锥曲线的综合问题 菁优网版权所有 分析 以 O 为原点 AB OD 所在直线分别为 x 轴 y 轴 建立平面直角坐标系 由题意得 MA MB PA PB 2 AB 4 由此可知 曲线 C 的方程 依题意 可设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理 得 1 k2 x2 4kx 6 0 由此入手能够求出直线 l 的斜率的取值范围 解答 解 解 以 O 为原点 AB OD 所在直线分别为 x 轴 y 轴 建立平面直 角坐标系 则 A 2 0 B 2 0 D 0 2 P 依题意得 MA MB PA PB 2 AB 4 曲线 C 是以原点为中心 A B 为焦点的双曲线 设实半轴长为 a 虚半轴长为 b 半焦距为 c 则 c 2 2a 2 a2 2 b2 c2 a2 2 曲线 C 的方程为 第 14 页 共 17 页 解 依题意 可设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理 得 1 k2 x2 4kx 6 0 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E F 设 E x1 y1 F x2 y2 则由 式得 x1 x2 当 E F 在同一支上时 S OEF S ODF S ODE OD x1 x2 OD x1 x2 当 E F 在不同支上时 S OEF S ODF S ODE OD x1 x2 OD x1 x2 综上得 S OEF 于是由 OD 2 及 式 得 S OEF 若 OEF 面积不小于 2 即 则有 k2 2 解得 综合 知 直线 l 的斜率的取值范围为且 k 1 第 15 页 共 17 页 点评 本小题主要考查直线 圆和双曲线等平面解析几何的基础知识 考查轨迹方程的 求法 不等式的解法以及综合解题能力 20 12 分 考点 分段函数的应用 函数模型的选择与应用 利用导数求闭区间上函数的最值 菁优网版权所有 分析 1 分段求出水库的蓄求量小于 50 时 x 的取值范围 注意实际问题 x 要取整 2 一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期 则 V t 的最大值只能在 4 10 内 达到 然后通过导数在给定区间上研究 V t 的最大值 最后注意作答 解答 解 当 0 t 10 时 化简得 t2 14t 40 0 解得 t 4 或 t 10 又 0 t 10 故 0 t 4 当 10 t 12 时 V t 4 t 10 3t 41 50 50 化简得 t 10 3t 41 0 解得 又 10 t 12 故 10 t 12 综合得 0 t 4 或 10 t 12 故知枯水期为 1 月 2 月 3 月 4 11 月 12 月共 6 个月 知 V t 的最大值只能在 4 10 内达到 由 V t 令 V t 0 解得 t 8 t 2 舍去 当 t 变化时 V t 与 V t 的变化情况如下表 t 4 8 8 8 10 V t 0 V t 极大值 由上表 V t 在 t 8 时取得最大