2018版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版.docx

1.6三角函数模型的简单应用1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(重点)2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点)基础初探教材整理三角函数的实际应用阅读教材P60P64所有内容，完成下列问题.1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.2.y|sin x|是以为周期的波浪形曲线.3.解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s3sin，那么单摆来回摆的振幅为_厘米，一次所需的时间为_秒.【解析】因为s3sin，所以振幅为A3(厘米)，周期T4(秒).【答案】34小组合作型三角函数模型简单的实际应用如图161，某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.图161(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量. 【导学号：00680027】【精彩点拨】可设yAsin(x)b(A0，0)来求解.【自主解答】(1)设动物种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0，0)，则解得A100，b800.又周期T2(60)12，y100sin800.又当t6时，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100sin800.(2)当t2时，y100sin800750，即当年3月1日动物种群数量约是750只.解三角函数应用问题的基本步骤再练一题1.已知某地一天从416时的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4,16.(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】(1)当x14时函数取最大值，此时最高温度为30 ，当x6时函数取最小值，此时最低温度为10 ，所以最大温差为30 10 20 .(2)令10sin2015，得sin，而x4,16，所以x.令10sin2025，得sin，而x4,16，所以x.故该细菌能存活的最长时间为小时.三角函数模型在物理学中的应用已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？【精彩点拨】确定函数yAsin(x)中的参数A，的物理意义是解题关键.【自主解答】列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示.(1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数yAsin(x)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.再练一题2.弹簧挂着的小球做上下振动，它在t s时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度h cm由函数关系式h3sin确定.(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出函数的图象(0t)；(2)求小球开始振动(即t0)时的位移；(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移；(4)经过多少时间小球往复振动一次？(5)每秒钟小球能往复振动多少次？【解】(1)函数h3sin，0t的图象如图所示.(2)令t0，得h，所以小球开始振动时的位移为 cm.(3)结合图象可知，最高点和最低点的坐标分别是，所以小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是3 cm和3 cm.(4)由图可知周期T，即经过 s小球往复振动一次.(5)f，即每秒钟小球能往复振动次.探究共研型数据拟合问题探究在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？【提示】(1)根据原始数据给出散点图.(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.某港口的水深y(m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图162所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数yAsin tb的图象.(1)试根据以上数据，求出yAsin tb的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?图162【精彩点拨】(1)从拟合曲线可知：函数yAsin tb的周期；由t0时的函数值，t3时取得的最大值，进而可求得，A，b的值.(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5711.5(m)的时段.【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此12，.又当t0时，y10；当t3时，ymax13，b10，A13103，所求函数的表达式为y3sin t10(0t24).(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于74.511.5(m).令y3sin t1011.5，可得sin t，2kt2k(kZ)，12k1t12k5(kZ).取k0，则1t5，取k1，则13t17；而取k2时，25t29(不合题意，舍).从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.1.本题中没有明确函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线.2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系.再练一题3.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据.t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数yf(t)的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？ 【导学号：70512018】【解】(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)Acos tb，并且周期T12，.由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.A0.5，b1.ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪爱好者开放，cos t11，cos t0，2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ).0t24，故可令中k分别取0,1,2，得0t3或9t15或210，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】C3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)504si