数学人教版九年级上册二次函数中的相似三角形问题.doc

二次函数与相似三角形的综合问题宜良八中 陈红二次函数与相似三角形的综合问题也是上海中考数学试卷中常见的热点问题如：2012年的最后第二题，就是二次函数与相似三角形相结合的综合问题先来看这个问题：2012年中考第23题：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点、，与轴交于点，点在线段上，点在第二象限，垂足为（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段、的长（用含的代数式表示）；（3）当 =时，求的值解：（1）二次函数图像经过点A（4，0），B（-1，0），解得这个二次函数的解析式为（2）易证EDFDAO，在R tADE中，即，点A的坐标为（4，0），OA=4，DF=2，OF=t-2（3）由（1）得，点C的坐标为（0，8）延长CE交x轴于点G，设G点的坐标为（x，0）， =，CG= AG，解得，GO=6由已知，可得点F在线段OD上，又OF=t-2，FC=OC-OF=10- t，EFGO，解得【点评】本题是利用二次函数图像上的点组成图形与相似形结合，主要是运用了相似三角形中线段的比例关系来解决问题. 难点是角相等这个条件的运用，如何由角的关系转化为边的关系.下面我们来看解答这类问题的具体方法：ABOxyCBDBEB例题1 如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点A（3，3），一次函数的图像经过点A和点B（6，0）（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图像与相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图像相交于点E，DOE=45，求点D的坐标分析：第（1）小题用待定系数法确定两个函数的解析式；第（2）小题利用CDOOED得比例式，设点D坐标建立方程解决解：（1）设二次函数解析式为， 点A（3，3）在二次函数图像上，二次函数解析式为 设一次函数解析式为，一次函数的图像经过点A（3，3）和点B（6，0），一次函数解析式为（2）OC=OB，BOC=90，OCB=45，DOE=45，OCD=DOE又DE/轴，COD=ODE，CDOOED，设点D的坐标为（），点E的坐标为（）， 点C（0，6），CO=6，点D的坐标为 【点评】本题以二次函数为载体，结合了一次函数，观察、发现图中的相似三角形，运用相似三角形边的关系建立方程，从而求出点的坐标例题2 如图，已知点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，点C（2，1）在二次函数的图象上，判断ACO与CBO之间的大小关系解：点C（2，1）在二次函数的图象上， 函数解析式为. 当时, , A(1,0), B(5,0).yOCOAOBOx ，又AOC=COB，AOCCOB，ACO=CBO. 【点评】本题由二次函数图像上的点，确定线段的长度，从而利用边的关系判定三角形相似，得出角相等，这是函数图像问题中证明角相等常用的方法.yxOCBA例题3 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且ABO的余切值为3如果这个函数图像的顶点为C，求证：ACB=ABO解：根据题意，得b=1+b+cc= -1B（0，-1）过点A作AHy轴，垂足为点HABO的余切值为3， 而AH=1，BH=3 BO=1，HO=2 b=2所求函数的解析式为 由，得顶点C的坐标为（1，-2），BO=1 ABCAOBACB=ABO【点评】本题由于点A在函数图像上，所以点A的坐标满足函数解析式，从而求得点B的坐标，由，可知点A在第二象限由点B的坐标和ABO的余切值为3，就可以画出线段AB再过点A作y轴的垂线，求出点A的坐标，由点A的坐标就可求出这个二次函数的解析式，从而得到顶点C的坐标然后与上题类似，利用边的关系得到相似三角形，故问题解决例题4 如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点A和点B，二次函数的图像经过A、B两点如果点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，求tanCAB的值解：由题意，得点B的坐标为（0，6）m=6一次函数的解析式为yxOABC解：由题意，得点A的坐标为（8，0）二次函数的解析式为 点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5， 点C的坐标为（5，6）作CHAB，垂足为点H点B与点C的纵坐标相等，BCx轴 CBH=BAO又CHB=BOA=90，CHBBOAOB=6，OA=8，AB=10 CH=3，BH=4，AH=6【点评】由于本题二次函数解析式的常数项是确定的，所以直接可以得出它的图像与y轴的交点坐标解决本题的关键是利用二次函数的解析式确定点C坐标，在求三角比时，运用了相似三角形的方法，当然还可以运用面积的方法来解【这类问题的解题反思】在解决二次函数与相似三角形的综合问题过程中，主要是运用二次函数的解析式和图形的对称性以及相似三角形相关知识，往往还会涉及方程、距离公