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【精品】最优控制总结 最优控制理论总结宫庆义xx.6.301.最优控制问题可用下列泛函表示:0()minu t00(),fx t(),(),L x t u t t d t. (1)()s t(),(),f x t u t t,()x t (2)(),fx t0ftftfJtx t?xt?=?+=?=?2.最优控制的应用类型: (一)积分型性能指标:0(),(),L x t u t t d tfttJ= (1)最小时间控制:00ftftJdttt=? (2)最少燃耗控制:01()fmtjtjJu t dt= (3)最少能量控制:0()()t u t dtftTtJu= (二)末值型性能指标:(),fx tfJt?=? (三)复合性能指标: (1)状态调节器:011()()()()()t Ru tdt()22ftTTTfftJx tFx tx t Qx tu?=+ (2)输出跟踪系统:1J=01()()()()()t Ru tdt()()e t()z t()22ftTTTffte tFete tQe tuyt?+=?3.欧拉-拉格朗日方程:0LdLxdtx?=4.不同边界情况下的横截条件:0(,)L x x tdt?fttJ=横截条件与边界条件ft固定()x tf固定00()x t,()x tffxx=()x tf自由00()x t,ftLxx?=0ft自由()x tf自由00()x t,0ffTttLLxLx?x?x?=?=0()x tf约束00()x t,()x t(),fc t()0fTftLxLc?x?x?=+?=注:若0()x tmin(,)g x x tdt?.(,)f xx t0fttJs t=?(,)L xx(,)g xx t()(,)t f xx tTt+=?5.用变分法求最优解的必要条件0()00minu t()?(,)L xu tdt.()(,),()f xu t x t(),fx t(,)L xu t(,)f xu tfttfTJst x txtH?=+=?=?=0?正则方程极值条件边界条件与横截条件H变化律(ft自由)ft自由末端约束Hx?Hx?=?=?Hu?=000()x t,(),fx t()t()x t?()x t?fTfffxt?=+0()TfffH ttt?=?末端自由00()x t,()()x tffxt?=?()ffH tt?=?末端固定00()x t,()xx tffx=()ffH tt?=?例题: (1)求通过点(0,0)及(1,1)且使10(2)Jxx dt?=+取极值的轨迹*()x t解:欧拉-拉格朗日方程:dxdt2 (2)0x?=即0x?x?=()coshsinhx tatbt=+由初始条件: (0)00xa=?=末端条件:1 (1)1sinh1xb=?=因而极值轨迹为:*1()sinhsinh1x tt= (2)求使指标10(?23)Jxx dt?=+取极值的轨迹*()x t,* (0)0x=解:这是终端自由的情况,欧拉-拉格朗日方程为:dxxdt()2230+=?即223x?x?C+=令()x t?atb=+由 (0)00xb=?=又末端自由,横截条件为:2310fttLx?x?x?=?=+=即2230aa+=得:0a=或23a=?,*()x t0,0J=对应局部极小,*24(),327x ttJ=?=对应局部极大 (3)设系统状态方程:xu=?边界条件为: (0)1,()x t0,ffxt=自由性能指标为:xxftfJtu dt=+要求确定最优控制*u,使J最小解:这是ft自由问题,末端状态固定,()0fx t=是满足约束集的特殊情况,即(),fx t()x t0fft?=?=?(),fx tfftt?=?哈密顿函数:212Huu+=正则方程:0HHx?ux?=?=?控制方程:0Huuu+?=?=?()1ffH tt?=?=?即:221()t()1ft0()t22ff?+=?=由正则方程:()0t=?所以()2t=于是*()u t=?2再由正则方程:xu=?可得()2x ttc=?+由初始条件 (0)1x=得1c=故最优轨迹为:*()x t21t=?+*2()02ffx tt=?= (4)设系统的状态方程为:()()x t()x t?u t=?+边界条件为: (0)1,()x t0fx=,求()u t,使2201()2ftJxu dt=+为最小解:221 (2)()Hxux u?+=+协态方程和控制方程为:Hxx?=?=?+?Huu+?=0即u=?故可得正则方程:()()x t()tx t?=?()()x t()tt+=?拉氏变换:() (0)()()ssX sxXs?=?()s (0)()sX ss?+(=?解代数方程得:11()s (0) (0) (2) (2) (2) (2)11() (0) (0) (2) (2) (2) (2)sxsssssX sxssss+=?+?+?=?+?+?拉氏反变换:()()()()222222221()t (0) (21) (21) (0)221()x t (0) (21) (21) (0)22tttttttteexeeeeeex?=?+?+?=?+?由: (0)1,()x t0fx=得:2222 (21) (21)te (0)ffffttteee?+?=?22*2222221 (21) (21)te()()t (21) (21)22ffffttttttteeu teeeee?+?=?=?+?+?注:拉氏变换表象函数()F s原函数()f t11ns1 (1)!ntn?21sa+ate?31()()sa sb+1atbteeba?4()()scsa sb+1()()atbtca ecb e?ba? (5)设系统状态方程为:122()()()()x t?x tx t?u t=初始条件为:12 (0) (0)1xx=,末端条件为:12 (1)0 (1)xx=自由要求确定最优控制*()u t,使泛函1201()2Ju tdt=取极小值解:边界条件222() (1)0 (1)ftx?=?哈密顿函数:(,)L xu t(,)fxu tTH+=212212uxu+=正则方程:12112()t0()t()tHHxx?=?=?=?状态方程:1222()()()()tx t?x tx t?=?极值条件:0Hu?=?20u+=即:*2()()tu t=?边界条件:12 (0)1 (0)1xx=1222 (1)0()t (1)0 (1)fxx?=?对正则方程和状态方程进行拉氏变换:11222211221() (0)()() (0)()s()s (0)0()s (0)()ssX sxXssX sxss?=?=?=?解以上代数方程得:11221222112123234111()s (0)()s (0) (0)1111111() (0) (0)() (0) (0)sssX sXssssssss=?=?=+?+拉氏反变换:2312122111()1 (0) (0)2?6()t (0) (0)x ttttt=+?+=利用末端条件:1212 (1)0, (1)0 (0)= (0)6x=?=最优状态轨迹:*1()x t2313ttt=+?+最优协态:*2()6 (1)tt=?最优控制:*2()()t6 (1)tu t=?=? (6)设系统的状态方程为:010()x t?()x t()001u t?=+?指标泛函:2201()2Ju tdt=边界条件:10 (0) (2)10xx?=?求使指标泛函取极值的极值轨线*()x t和极值控制*()u t解:121212221,2Tfxx?guffux?1?=拉格朗日标量函数:212122()()2TLgfuxx?ux?+=?欧拉方程:1111122222000LdLaxdt xLdLatbxdt xLdLuuat b?udt u+?=?=?+?=?由于状态约束方程:22223212112111262x?uat b?xatbtcx?xatbtcxatbtctd=?+=?+=?+代入边界条件:10 (0) (2)10xx?=得:73,12abcd=于是极值轨线:*132*22()0.51.751()33.5()1.5?3.51x ttttu ttx ttt?+=?+*x= (7)设性能指标泛函:201ftJx dt?=+ (0)1,x()x t()c t2ffft=?求使泛函为极值的最优轨线*()x t及相应的*,ftJ解:21Lx=+?欧拉-拉格朗日方程:2222220,()x t111LdLdx?x?CCx?aatbxdt xdtCx?x?=?=?=?=+?+?由 (0)1x=得:1b=由横截条件:22()1 (1)0()x t?111ffTfttLx?Lc?x?x?x?ax?x?+?=+?=?=?=+最优轨线为:*()x t1t=+当ftt=时,()x t()c tff=即:12fftt+=?,求得末端时刻*12ft=将*f(),x tt代入指标泛函,可得最优性能指标*22J= (8)设系统方程为:122()()()()x t?x tx t?u t=初态:12 (0) (0)0xx=末端时刻:1ft=末端约束:12 (1) (1)1xx+=性能指标:1201()2Ju tdt=求使J最小的最优控制*()u t和相应的最优轨线*()tx解:2121()t0,()?()t (1) (1)12ffLuxx?=+?xx212212Huxu+=由协态方程:1110()tHax?=?=?2122()tHatbx?=?=?=?+?由极值条件:220Huuat b?u+?=?=?=由状态方程:2222321211()2111()262x?uat b?x tatbtcx?xatbtcx tatbtctd=?+=?+=?+由初态:12 (0) (0)00xxcd=?=由目标集:12 (1) (1)10496xxab+?=?=根据横截条件:1212 (1) (1) (1) (1)xx?=?即:121 (1) (1)2ab=?=于是解得:36,77ab=?=?最优解为:*3() (2)71u tt=?最优轨线:*12() (6)14x ttt=?*23() (4)14x ttt=?6.连续系统极小值原理必要条件:性能指标末端状态正则方程极小值条件边界条件与横截条件H变化律(ft自由)0(),ft(,)x uffttJtLtdt?=?+x末端约束THHHL?=?+=?xxf*minuHH=00()t,(),ft0()tffTftt?x?=?=+xxxx*f()fTtH ttt?+=?末端自由00()t()t()tff?x=?xx*f()fH tt?=?例题: (1)最短时间控制问题:状态方程:122,x?xx?u=初始条件:101220 (0) (0) (0)xxxx?=?x=末端条件:12()()0ffx tx t=约束控制:()10fu ttt求使性能指标0ftfJdtt=取极小的最优控制.解:1221THLfxu+=+=+协态方程:110Hx?=?=?212Hx?=?=?12()t()taatb=?+选择u使H取极小2221()t0()sg n()t1()t0u t?=?2()t为t的线性函数,u最多改变一次符号当()1u t=时,状态方程的解为:22021xx()1()2x ttxx ttx tx=+=+消去t得相轨迹方程:2211()()2x tx tC=+当()1u t=?时,状态方程的解为:22021xx()1()2x ttxx ttx tx=?+=?+消去t得相轨迹方程:2211()()2x tx tC=?+相轨迹的方向总是逆时针两簇曲线中,每一簇中有一条曲线的半支进入末端状态点(原点)()1u t=的曲线簇中,通过原点的曲线方程为:22121()()()02x tx tx t=记:+()1u t=?的曲线簇中,通过原点的曲线方程为:22121()()()02x tx tx t=?记:?,+?称为开关线,其方程为:1221()()()2x tx tx t=?开关线左侧区域用R+表示,开关线右侧区域用R?表示于是最优控制律,可以表示为状态12,Tx xx=的函数,即*121,(,)1,xRu xxxR+?=? (2)最少燃料控制问题状态方程:122,x?xx?u=初始条件:101002020()()t()x txx tx?=x=末端条件:12()()0ffx tx t=约束控制:0()1fu tttt求使性能指标0()fttJu tdt=取极小的最优控制.解:122()THLfu txu+=+=协态方程:110Hx?=?=?212Hx?=?=?12()t()taatb=?+使H取得极小值,等价于求下式的极小值2()minu t()()()t u tu t+?使H取得极小值的最优控制律为:222220()t1()sg n()t()t10()1()t11()0()t1u tu tu t?=?=?当()1u t=时,2211()()2x tx tC=+(开口向右-抛物线)当()u t=?时,12211()()2x txtC=?+(开口向左-抛物线)当()ut=0时,2xx0200(),()()x txxtxxt t?=+(水平线)由状态方程得:211202111201xt10222112112121222121222221:()1()20:()()()()()()1:0()()10()()()()2ffux ttxxttxux txtCx txtx tttuxtttx txttttt=?=?+=?+=+?=+?=+?+?由以上6个方程,来解6个数: (3)设系统状态方程为:122()(),()()xt?xtxt?ut=边界条件:12121 (0) (0)0,()()4ffxxx txt=控制约束:()1ut,末端时刻ft自由求:最优控制*()ut使性能指标20()ftJu tdt=最小解:22221222121124Huxuux+?=+?由极小值条件知:2*2221()t2121()()t()t2()t2ut由协态方程:1112122()t0()t()t()t()tHaxHatbx?=?=?=?=?+?*211()()t()22u tatb?=?=代入状态方程:22232121111()()()24121()()()124xt?uat b?x tatbtcxt?xtxtatbtctd?=?=?+=?=?+由初始条件:12 (0) (0)00xxcd=?=根据末端条件:3f2f12f21()12a4b41()424fffabx tttxttt=?=?=根据H沿最优轨线变化律:2122()()()t()()()ft ut0fffffH tutxt+=解得:3f2f3 (2)31,90,3fffttabttt?=最优控制:*1()()218tu tatb?=验证:在0,ft?区间上,2()1,()t2ut满足要求最优轨线:*13*2211(),()10836xttxtt=最优性能指标:23*01()36Ju tdt?=7.对于线性连续系统,提出二次型目标函数:00011()()()()()()()t Rt utdt2=2()xt?()()A txt()(),B t ut()xt,(),(),()P tQ tftTTTffJxtPx txt QxtuxR t?=+=正定半正定0,ft t固定求:最优反馈控制,并论述如何选择二次型目标函数中的加权矩阵.1()()()()()2?HQ txtx?HR tu tB tu?解:()t()()A txt()()B tu tTTTHxtQxtut Rtut+?=+协态方程:()()()()A tTt?=?=?+?控制方程:1()()()()0()()t B t()()TTtu tRt?=+=?=?横截条件:1()t()()()()xt?()2fx t?Tfffffx tPx tPxt?=由此可见,协态()t状态()xt在末端时刻ft成线性关系.设:()()()K txtt=代入状态方程:1()xt?()()A txt()()t Bt K txt()()()TB tR?=?由协态方程:()()()K txt?()()K txt()()Q txt()()()A t K tx tTt?=+=?+?将()xt?代入:1()()()K tA t()()K t BtR()t Bt K t()()()()A t K t()()xt0TTK t?Q t?+?+=()K t由下面的黎卡提矩阵微分方程确定:1()()()K tA t()()A tKt()()Kt BtR()tBtKt()()()TTK t?Q t?=?+?边界条件:()fK tP=由此可得最优反馈控制:1()()tBtKt Xt()()()()()G tx tTutR?=?=?加权阵的选择:若已知各加权变量允许的最大值为:1maxx2maxxmax,nx?和1maxu2maxmax,nuu?1maxx2maxxmax111,nQdiagx?=?,1maxu2maxmax111,nRdiaguu?=?8.最优性原理:一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质:当把其中任何一级及其及其状态作为初始级和初始状态时,则不管初始状态是什么,达到这个初始状态的决策是什么,余下的决策对此初始状态必定构成最优策略.例题: (1)系统方程为: (1)()x k()u kxk+=+, (0)x给定 (1)12xx (2)()22kJcxu k=+ (2)要求:用动态规划寻找最优控制序列 (0), (1)uu使J最小解:先考虑最后一步,即从 (1) (2)xx这时由 (1), (2)得: (2) (1) (1)xxu=+222211111 (2) (1) (1) (1) (1)2222Jcxuc xuu=+=+求 (1)u使1J最小,得:1 (1) (1) (1) (1)0 (