集合与函数复习提纲.doc

集合与函数复习提纲 一、 集合 1. 集合的表示法有列举法和描述法。 使用列举法要注意集合中的元素是_ 使用描述法时，要注意分清集合中的元素及公共属性。思考：集合(x,y)|y=x2-2x+3,xR与y|y=x2-2x+3,xR相同吗？ 2. 集合的运算 注意与的区别； 熟练使用数轴和韦恩图。 例1 判断下列结论是否正确： （1）lg1,lg10=1,0;（2）方程(x-1)2 (x-2)=0的解集是1,1,2. 例2 设集合M=m|m,又a=,那么（ ）. （A）aM （B）aM （C）aM （D）aM 例3 （1）设A=,B=,求AB、A; （2）全集I=(x,y)|x,yR,集合M=(x,y)|,集合N=,求. 例4 （1）已知集合A=y|y=x2+2x-2,xR,B=y|y=-x+2,|x|3,求AB; （2）已知集合A=(x,y)|y=x2+2x-2,xR,B=(x,y)|y=-x+2,|x|3,求AB. 例5 已知A=x|x2-ax+a2-19=0,B=,C=,且AB,AC=,求a.练习11. 已知I为全集，M，NI，若MN=N，则( ). 2. 集合,则（ ）. （A）M=N （B）MN （C）MN （D）MN=3. 设S，T是两个非空集合，且ST，TS，令X=ST，那么SX等 于（ ）。 （A）X （B）T （C） （D）S4. 集合1，2，3的子集总共有（ ）. （A）7个 （B）8个 （C）6个 （D）5个5. 已知集合A=y|y=x2-4x-3,xR,B=y|y=x+3,0x7,则AB是（ ）. （A）-7,+（B）-7,10（C）(6,9) （D）(-1,-2),(6,9) 二、 函数的定义、图象和性质 1掌握函数与反函数的基本概念，深化对函数概念的理解什么叫函数？下面三个图象是否表明y是x的函数？ 图象与每一条垂直于x轴的直线至多一个公共点 图象表示y是x的函数 什么样的函数有反函数？函数有反函数函数的图象 深化对函数概念的理解，首先要摆脱函数即解析式的认识，真正明确函数的三要素（定义域、值域、对应法则）在认识函数概念中的重要地位。 例1已知函数 y = f(x),xa,b，那么集合(x,y)|y = f(x),xa,b(x,y)|x = 2中的元素个数是（ ）（A）1 （B）0 （C）0或1 （D）1或2 分析：这是一道以集合语言表达的问题，集合中的元素不是实数，而是实数对（x，y），其交集的元素应该由y = f(x)和x =2来确定，但是y = f(x)未给出具体的解析式，因此只能从函数的概念上进行考虑。 从函数观点看，上述交集中元素的个数，实际上是函数y = f(x)的图像与直线x =2的交点的个数。如果认为交点个数是1，并且认为这是根据函数定义中的“唯一确定”的规定而得的，这是不正确的。原因在于没有注意函数的定义域，2是否在函数的定义域内，题中并未给出。因此，当2a,b时，f(2)没有定义，这时其公共点的个数是0。因此本题应选（C）。 例2 判断下列函数是否有反函数，若有，则求出反函数： （1）y=cosx; （2）y=x2-2x-1,x(-,0). 例3 判断下列命题是否正确： （1）一个单调函数必有反函数，一个有反函数的函数必是单调函数； （2）函数与其反函数的图象如果有交点，则交点必在直线y=x上; （3）函数与其反函数的图象如果有公共点，则该点关于直线y=x的对称点也是这两个图象的公共点； （4）一个单调函数与其反函数的图象如果有公共点，则公共点必在直线y=x上. 例4 函数的反函数的定义域是_. 例5 已知，求的值. 练习21. 判断下列函数是否有反函数，若有，则求出反函数： (1)y=sinx,x(0,); (2)y=; (3)y=; (4); (5).2. 求函数的反函数的定义域.3. 求函数的反函数的单调减区间. 2掌握函数图象的变换与画法 复习图象变换 平移变换 压缩变换 对称变换 例1 先说出下列函数图象的特点，再画图象： (1); (2)y=x2-2|x|+3; (3); (4)y=|x2-1|; (5)y=sin(x-). 3函数奇偶性 判断奇偶性，即判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x).应注意，要对定义域中的所有x都成立才能下断言. 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)y=; (2)f(x)=; (3)y=ln(x+). 例3 对于定义在R上的函数f(x)，总可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和.若f(x)为已知，求g(x)及h(x). 练习31. 画出下列函数的图象： (1)y=; (2)y=; (3)y=.2. 方程|y|=1-|x|表示曲线围成的图形的面积等于_.3. 函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是_,为奇函数的充要条件是_.4. 已知f(x)=,且f(-2)=10,那么f(2)等于_.5. 设f(x)是R上的奇函数，且当x(-,0时，f(x)=x(1-x),那么当 x(0,+)时,f(x)=_. 4 函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为X，区间MX，若对任意的、M,且，总有f()f(),则称y=f(x)是M上的增函数；若对任意的、M,且f(),则称y=f(x)是M上的减函数.M叫做单调区间. 若将任意改为存在，结论如果？ 例1 用定义证明f(x)=x3在（-,）上是增函数 .(下面证明是否正确？） 证明一 设0, f()-f()=-=(-)(+), 0,0,0,0, (-)(+)0,即 f()-f()0. 设 00,0,0,0, (-)(+)0,即 f()-f()0, f(x)在(-,)上是增函数. 证明二 设-0. f()-f()0, f(x)在(-,)上是增函数. 例2 求函数y=的递减区间. 例3 比较下列各函数值的大小： （1）； （2）， . 练习41. 函数的单调下降区间是（ ）. （A）(-,-3 （B）-3,+) （C）(-,-1 （D）-1,+)2. 在区间（0,1）上为增函数的是（ ）. (A)y= (B) (C)y= (D)y=-x+2x+13. 当x1，则a的取值范围是( ) 3. 已知函数在2,+上递减，则a_.4. 函数的值域为R，则k的取值范围是_.5. 已知关于x的方程有实根，则实数 a 的取值范围是_.6. 求函数的单调区间，并证明你的结论.7. 函数在区间0,2上最小值是3，则实数a的值为_.8. 函数定义域是0，3，值域是1，5，求a,b的值.9. 设a为实数，函数(I) 讨论f(x)的奇偶性；(II) 求f(x)的最小值.10. 的定义域是0，3，值域是1，5，求a, b的值.11. 已知 t 是方程 x+lgx = 3 的解，u 是方程的解,则 t + u = _.12. 函数y = f(x)是偶函数，且是周期为 2 的周期函数. 当x2,3时，f(x)= x - 1, 在y = f(x)的图象上有两点A，B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间1,3上，定点C的坐标为(0,a)（其中a2）.求ABC面积的最大值（用a表示）.13. 已知函数f(x)是定义在(-,1)上的减函数，试问是否存在实数 k，使不等式对任意实数 x 恒成立？若存在，求出 k 值；若不存在，说明理由.14. 已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：(I) 求f(0), f(1)的值；(II) 判断f(x) 的奇偶性，并证明你的结论；(III) 若求数列un的前n项和.单元练习三1. 已知f(a+x)=f(ax),则y=f(x)的图像_; 函数y=f(a+x)与 y=f(ax)的图像_.2. 定义在区间（）的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0，+上的图像与f(x)的图像重合.设ab0,给出下列不等式： (1) f(b)- f(-a) g(a) -g(-b) (2) f(b)- f(-a) g(b)- g(-a) (3) f(a)- f(-b) g(b)- g(-a)其中成立的是_.3. 已知函数在,+上递减，则a_.4. 已知函数在0,1上递减，则a_.5. 奇函数f(x)在定义域(-1,1)内单调递减，又f(1- a) + f(1- a2)0,求a的取值范围.6. 函数是偶函数的充要条件是 7. 已知求的值.8. 是锐角，试比较sin2与的大小.9