论文勾股定理证明.doc

哈尔滨师范大学学 年 论 文题 目 勾股定理的证明及其应用学 生 *指导教师 * 副教授年 级 *级专 业 *系 别 *学 院 *哈尔滨师范大学*论文提要 在我国，把直角三角形的两直角的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。长写作 千百年来勾股定理都是几何学中的明珠，所以它充满魅力，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家就有二十多种证明方法，这是任何定理无法比拟的，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊 而非常著名。这里我们来学习一下梁卷明老师奇特的证明方法，梁卷明老师的伟大发现给勾股定理的证明再次揭开一层神秘的面纱，使广大数学爱好者对这流芳千古的数学问题有了更多的认识，我们为梁老师感到骄傲、自豪，祝贺梁老师勾股定理的证明及其应用*摘 要：中学古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“数形统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数学关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡尔解析几何的发明，正是中国这种传统思想在几百年停顿后的重现与继续。”中国广西柳城县实验中学数学高级教师梁卷明老师于2009年3月28日下午发现勾股定理的一种美妙的证明方法。关键词：勾股定理 数形变换 平面平移数学思想方法是数学思想和数学方法的统称。所谓数学思想，是指现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。所谓数学方法是指人们从事数学活动时所使用的方法，即用数学语言描述与刻划事物的状态（一）古希腊对勾股定理的发现与证明:毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580公元前500）是一个古希腊人的数学家。早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体毕达哥拉斯学派。最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一百头牛作为牺牲献给天神。所以，希腊人和意大利人把勾股定理也叫做“百牛定理”。关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得（公元前300年左右）所著的几何原本第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”其证明是用面积来进行的如图 1，可证（二）中国古代对勾股定理的发现:我国最早关于勾股定理的证明，目前人们认为是后汉三国时期的吴国数学家赵爽（现在没有任何史料证明赵爽的生卒年，其时间大约为公元300年左右）对周髀算经的注释。如图2所示，图中的四个直角三角形的面积，加上最小的正方形的面积，等于介于大正方形与小正方形之间的那个正方形的面积。化简得：（三）梁卷明老师的伟大发现：勾股定理：如图，直角三角形ACB中，BCA=90,则有：BC2+AC2=AB2.梁卷明证明： 如图,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，又过点P作PT垂直AC于点T，连结SR,由AB=RB,CB=SB,CBA=RBS=90-RBC，可得：ABCRBS（SAS），从而BSR=BCA=90,又BSQ=90,所以BSR=BSQ，故点Q必在SR上！又由AB=PA, ACB=PTA=90,CBA=TAP=90-CAB，可得：ABCPAT（AAS），所以：PATABCRBS，进一步又易知：AM=AC=PT, MN=AC=TQ, NB=QR, AB=PR, 且MAB=TPR=90-BAC(或APT),M=PTQ=90,N=TQR=90,NBA=360-N-M-MAB=360-TQR-PTQ-TPR=QRP,所以梯形ABNM梯形PRQT.故有：S正方形ACNM+S正方形CBSQ=SABK+S梯形ABNM+S梯形KQSB=SABK+S梯形PRQT+S梯形KQSB= SABK +(S四边形PRKT+SRQK）+S梯形KQSB= SABK + S四边形PRKT +（SRQK+S梯形KQSB）= SABK + S四边形PRKT +SRSB= SABK + S四边形PRKT +SPTA=S正方形BAPR .即得：BC2+AC2=AB2.梁卷明老师是广西柳城县实验中学数学高级教师,全国初等数学研究会理事，柳州市数学学会理事。梁老师以奇特的思维方式解决多年来数学史上的这个火热的题目 ，而且这种方法不需要任何的计算，只要把两个全等的图形各进行一次平移即可得到，此种方法是前人不曾有过的，它使勾股定理的证明更加的完善，更加的神秘，他的这一伟大发现也给国人增光添彩，给无数的数学爱好者带起了多少年来对数学热题、难题研究的热爱，多年来，梁老师一直致力于中学数学研究，以独特的方法培育出很多精英，他的子弟遍布大江南北，辛勤的梁老师早已桃李满天下，梁老师在文学方面也有很深的研究，让我们一起恭祝梁老师的伟大发现，同时也希望以后会有更多的数学爱好者在数学问题方面有更多更好的发现。（四）勾股定理的应用勾股定理可以解决直角三角形的许多问题，在现实生活和数学中有着广泛的应用（1）理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决航海中距离问题；（2）判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题；（3）解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想，用代数方法解题；（4）圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形，构造直角三角形，利用勾股定理解决；（5）其它涉及直角三角形的问题。例1、如图所示，一旗杆在离地面5 m处断裂，旗杆顶部落在离底部12 m处，问旗杆折断前有多高?分析：旗杆垂直地面，所以ABC是直角三角形，根据勾股定理，可得AC2BC2=AB2解：由题意可知C=90，AC2BC2=AB2又BC=5m，AC=12 m，AB2=AC2BC2=12252=14425=169，AB=13(m)旗杆折断前的高度为BCAB=513=18(m)例2、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米分析： 环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间，线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题解：如图所示，将圆柱的侧面沿AB展开，得到长方形AABB，则AB=AB=5米，AA=BB=12米，A=90因此沿AB建梯子，梯子最短在RtAAB中，AB2=AA2AB2=12252=169AB=13(米)答：梯子最短需13米例3、在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高?分析：如图所示，一只猴子经过的路径BCA，共走了1020=30(m)，另一只猴子经过的路径是BDA，也走了30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决解：如图所示，设BD=x，则CD=BDBC=x10BCCA=BDDA=30，AD=30BD=30x在RtADC中，AD2=CD2AC2，(30x)2=(x10)2202，解得x=5CD=x10=15(m)答：这棵树高15 m小结：此题的关键是正确地画出图形，运用勾股定理及方程的思想解决问题对于实际问题关键是根据题意，画出几何图形，建立几何模型再构造直角三角形，运用勾股定理解决（五）我们怎样向发达国家学习？ 数百年来，勾股定理在数学界一直是炙手可热的话题，有很多优秀的数学家及其爱好者为之倾倒，尤其以国外的居多，勾股定理的证明已经有几百种不同的方法，人们还在不停的探索、寻找，因为这个定理在数学中的应用实在是太重要了，中国西周商高所提供的测量方法是“勾股术”：“以为勾广三，股修四，径隅五。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（后来也称弦长）便是五。据说，在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量，赵爽用“形数统一”的思想方法也给出了相应的证明方法，仅仅在中国就有上百种对勾股定理的证明，但是国外的证明方法也有很多值得我们去认真学习的地方，比如“毕达哥拉斯定理” “驴桥定理”， “埃及三角形”等都是对勾股定理有力的证明，其方法美妙之处值得我们每一个数学爱好者去学习，所以在以后的学习当中我们要认真的学习国内外的方法。 （六）我们应该向历史学习什么？国外的很多成绩值得我们认真去思考，学习，我们应该放低自己的心态，认真专研，以开放的胸怀和姿态，向发达国家学习，但是也不要忘记自己的思想方法，即使是不对的方法我们也要认真去分析研究，以防以后我们在这样的问题上出现差漏，对于历史留给我们的数学方法我们要以“取其精华，去其糟粕”的思想去对待。更多的找到古人留下的有用的方面结合现代人的努力，我相信不久的将来会有更多的数学难题迎刃而解，我相信在不久的将来会有更多的我们中国人自己发现的思维方法去解决更多数学界上仍旧没有解决的问题，为国人增光添彩。同时也会有更多的中国人的名字出现在世界著名的著作、杂志、报刊上等。（七）我们怎样在勾股定理证明及数学研究领域赶超发达国家取得更多优异成绩？我认为应该更多的去汲取别人的思想，结合自己的思想方式去寻找新的途径，不要走其他人走过的路，即使是他人错误或者是失败的问题，我们也不要嘲笑，应该借鉴，防止以后我们在类似的问题上出现重大的错误问题，这样以来也是我们的一个前进，在数学问题研究上也是如此，更多的借鉴古人的伟大成果，开辟新的途径，尤其是在发达国家的学术上要有更多的专研，多听一些比较正规的思想学术报告和有关国内外权威的报刊、杂志等，在学习解题的思维上提高我们自己。即使是错误的思维我们也要学习，以备以后学习中可以用到（八）总结：1.勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90）转化为数量关系，即三边满足2.利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；3.利用添加辅助线的方法构造直角