微积分第二章-函数极限与连续答案.doc

函数极限与连续函数的性质习题解答1 用函数极限的定义证明：（1）证明： 欲使易见当时，有于是，只要即时，有成立。取故对对有 ，即（2）证明： 要使不等式 成立，解得 取，于是有即（3）。证明：2. 求下列极限：(1) 解：或：(2) 解：(3) 解：(4) 解： 3. 求解下列各题：(1)已知极限，确定与. 解：已知 成立，从而 解得当时，极限不存在，于是(2) 讨论极限是否存在？解：在点的左右两侧附近，当时有于是有=当（限定）时，有故由夹逼定理得从而有即所以不存在。4证明下列各题：（1）设利用 求证：证明：不妨设则有注意到故由夹逼定理知（2）证明在上一致连续.证明：对有从而在上一致连续。又在连续，从而在上一致连续。故在上一致连续。（3）证明在上不一致连续.证明：取其中正整数充分大使得则有所以在上不一致连续.5. 试举出定义在上的函数的例子，使仅在三点处连续，而其余的点都是的第二类间断点。解：令，其中为狄利克雷函数，在点附近，易见有界，故有，即f在x=点连续。类似可证f在x=1，2点连续。另一方面，取有理点列 有 取无理点列 有所以在点不存在左右极限，故以为其第二类间断点.6. 求证：方程有且仅有一个根.证明：考虑因为所以使得又所以使得由零点存在定理，使得，即.由，对因为，有即函数是单调递增的，因此只有一个根.7. 设在上连续，对，总存在使得求证：至少存在一点使得证明：用反证法. 如果函数在上没有零点，则函数在上也没有零点, 所以.因为在上连续，根据闭区间上连续函数的性质，必存在最小值，即存在点使得由题设条件知，在内存在使得这与是最小值矛盾，所以函数在上至少有一个零点。直接法：取，根据题中条件，存在，使得（假设）；类似地，存在，使得（假设）。依次下去，存在，满足存（假设），易知 。因为数列有界，所以存在收敛子列，记，则，因为函数在处连续，所以。8设且有界，若，则,，使得.证明：使得，取，则，使得.由于，根据介值定理可知 ，使得.9.设 证明：函数在上一致连续当且仅当函数在上一致连续。证明：先设在一致连续。 因为 所以 因为在一致连续，所以 因为在一致连续，所以 令，若 则只有两种可能：1） 从而 因为2）从而因为 所以 综上所述，可知函数在上一致连续。再设在一致连续。因为所以由上面的论述可知，函数在上一致连续。10证明：函数在区间上一致连续的充要条件是对区间上的任何两个数列与，当时，有.并证明函数在上非一致连续.证明：“”. 设函数在区间上一致连续，即有又知，对上述有从而有即.“”. 用反证法.假设在上非一致连续，即有 取有取有取有从而在区间上构造出两个数列与.显然，但,与已知条件矛盾.故函数在区间上一致连续.根据上述一致连续的必要充分条件，有函数在区间非一致连续的充要条件是在区间上存在某两个数列与，当时，有.下面证明函数在上非一致连续.证明：设这样在上构造出两个数列与，有但是.故函数在上非一致连续.11设函数在区间连续并有界。证明：对于任意的数，可以找到序列满足，且。证明：令。（1）若存在，使得对任给的，都有（或）。如果T0，取xn=M+nT，此时xnM，xn+1= xn+T，f(xn+1)-f(xn) =f(xn+T)-f(xn) = g(xn) 0则数列f(xn)单调递增；如果T0，都存在y1,y2M，不妨设y1y2，